9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂课时作业（人教B版）

世数学B版 空 数课时 间 9.2正弦定理 学 纠错空间 作业 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.如图所示，为测一树的高度，测量者在地面上 选取A,B两点，从A,B两点分别测得树尖的 仰角为30°，45°，且A,B两点之间的距离为 60m,则树的高度为 30°45 B A.(15+3√3)m B.(30+15√3)m C.(30+30√3)m D.(15+30√3)m 2.若水平面上点B在点A南偏东30°方向上，则 在点A处测得点B的方位角是 ( A.60 B.120 方法总结 C.150 D.210° 3.某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300 米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏 东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向 上，则两灯塔A,B间的距离为 ( ) A.500米 B.600米 C.700米 D.800米 4.有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改 变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法 将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度 (单位：m)是 A.5 B.10 C.10√2 D.10√5 5.(多选题)某人向正东方向走了xkm后向右 转了150°，然后沿新方向走了3km,结果离出 发点恰好√3km,则x的值为 ) A.5 B.2√3 C.2 D.3 6.如图所示，在地面上共线的三点A,B,C处测 得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB =BC=60m,则建筑物的高度为 必修第四册 与余弦定理的应用 30°>4 60° 45☒ B A.15√6m B.20√6m C.25√6m D.30√6m 7.作用在同一点的三个力F,F2,F3平衡，已知 F,=30N,F2=50N,F1与F2之间的夹角是 60,则F,与F,之间的夹角的正弦值为 8.一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小 虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另 只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发 点，那么x= 9.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰 角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则 甲楼的高是 米，乙楼的高是 米 10.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建 部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环 保标志，小李、小王设计的底座形状分别为 △ABC,△ABD,经测量AD=BD=7米，BC =5米，AC=8米，∠C=∠D.求AB的 长度 第九章解三角形 课时作业乡 11.空中有一气球D,在它正西方向的地面上有 13.如图所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条 一点A,在此处测得气球的仰角为45°，同时 直公路以100km/h的速度向东匀速行驶，汽车 空 在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B, 开动时，在A市南偏东方向距A市500km且 间 测得气球的仰角为30°，两观察点A,B相距 与海岸距离为300km的海上B处有一快艇 纠错空间 266m,计算气球的高度. 与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆 汽车的司机。 ↑北 300 500 B (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料 送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与 AB所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km,快艇应如 何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快 需要多长时间？ 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.(2021·上海卷)已知在AABC中，A、B、C所 对边分别为a,b,c,且a=3,b=2c. 方法总结 1)若A-子，求S。c的面积： (2)若2sinB-sinC=1,求△ABC的周长， ++。++。++。+年。 ·5…参考答案 9.2正弦定理与余弦定理的应用 1.C[由正弦定理及已知条件可得sim(45-30= 60 60×是 器收PB停-5所以防的高虎 30 PBsin45°=30sim45=30+30V5(m.] sin15° 2.C[方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方 向的水平角.如图所示，点B的方位角是180°一30°= 150°.故选C.] 北 3.C[由题意，在△ABC中，AC=300米，BC=500米， ∠ACB=120°.利用余弦定理可得AB2=3002+5002 -2×300×500×cos120°，所以AB=700米，故 选C. 4.C[如图，设将坡底加长到C时，倾斜角为30°，在 △ABC中，AB=10m,∠C=30°，∠BAC=75°-30 =45°. c30 人75 由正弦定理得 BC sin∠BAC sinC·即BC= AB ABsin∠BAC10XV2 sin C -=10√2(m).] 1 5.AB[如图所示，在△ABC中，AB =x,BC=3,AC=√3，∠ABC 30 50° √3 3 =30°， 由余弦定理得，AC2=AB2十BC2 -2AB·BC·cos∠ABC. 即（√3）2=x2+32-2x·3·c0s30. .x2-33.x+6=0. 解得x=2√或x=√5.] 6.D[设建筑物的高度为h,由题图知，PA=2h,PB= hPC .在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得 cos∠PBA=602+2h2-4h2,① 2×60X√2h 0+2m- cos∠PBC= 2×60×√2h .② .∠PBA+∠PBC=180°， ∴.cos∠PBA+cos∠PBC=0.③ 由①②③，解得h=30√6或h=-30√6（舍去）， 即建筑物的高度为30√6m.] 课时作业色 7.解析：本题以物理中的力的分解知识为背景，主要考 查正弦定理及余弦定理.由题意，知F3应和F1,F2的 合力F平衡.设F3与F1之间的夹角为0，作图（如 图)， F 60° F 可知当三力平衡时，由余弦定理得F3= √302+502-2×30×50×cos(180°-60)=70N,再 由正弦定理得 50 70 in(180°-0)-sin(180-60,即sin 0=50sin120°_5V3 70 14 答案 8.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点， 再爬行到B点， A0105° 0 B 135° 易知在△AOB中，AB=10cm,∠OAB=75°，∠ABO =45°，则∠AB=60°. 由正弦定理知，x=AB·sim∠AB010Xsn4 sin∠AOB sin 60 _105(cm. 3 蓄案10 cm 9.解析：甲楼的高为20tan60°=20×√5=20√3（米）：乙 接的高为20V3-20tan30°=20V5-20×5=405 3 3 (米). 答案：20√3 9府 10.解析：在△ABC中，由余弦定理得： cos C-AC+BC-AB282+52AB2 2AC·BC 2X8×5一， 在△ABD中，由余弦定理得： COs D-ADBDAB272AB 2AD·BD 2X7X7 由∠C=∠D,得cosC=cosD, 解得AB=7,所以AB的长度为7米. 11.解：如图，设CD=x, 北 西445C财+东 6030° 南1 B 在Rt△ACD中，∠DAC=45°，所以AC=CD=x. 世数学B版 在Rt△BCD中，∠CBD=30°，所以CB= CD tan 30 √5x 在△ABC中，∠ACB=90°+60°=150°， 由余弦定理得AB2=AC2十BC2-2·AC·BC· cos∠ACB, 所以262=2+62-2r5r:（号)，所 以x=38√7(m).所以气球的高度为38√7m. 12.解：1)cosA=2+c2-Q2-1=42+2-9> 2bc 2 4c2 3√7 C= 7 sax-2cmA=名×2x号×号-语 214 b (2)依题意，正孩定理：sin B-sin C→sinB=2sinC “代入计算：4snC-s血C=1→sinC=了，则smB =2 3 当B为锐角时，sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+ os Bin C-=号×22+xg1 9 [c=4E-5 a b 3 sin A sin Bsin C 6=8V2-25 3 ∴.C△ABC=42-√5+3 当B为钝角时，sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+ cos Bsin C= 2×225×1-42-5 31 3 33 9 「c=4E+5 b 3 sin A sin B sin C b=8V2+25 3 .C△ABc=42+√5+3 13.解：如图所示，设快艇以℃km/h的速度从B处出发， 沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇. 北 D →东 (1)在△ABC中，AB=500,AC=100t,BC=t,BD 为AC边上的高，BD=300. 设∠BAC-a,则sina=号，c0sa=号， 3 由余弦定理得，BC2=AC十AB2一2AB·ACcos a, 即22=10r2+502-2X00X10r·号 整理得，2=250000-80000+10000=250000 12 [片务·+（层）]+1o00-1620x16 25 =25000(}若)°+360. ·5 必修第四册 当-六即1=华时2=360，em=60 即快艇至少以60km/h的速度行驶才能把稿件送到 司机手中 (2)当v=60km/h时，在△ABC中， AB=50,AC=100×9-625,BC=60×29-375. 4 由余弦定理c0S∠ABC=AB+BC2-AC =0, 2AB·BC ∴∠ABC=90°，故快艇应以垂直AB的方向向北偏 东行驶. (3)如图所示，设快艇以75km/h的速度沿BE行驶， t小时后与汽车在E处相遇， 北 在△ABE中，AB=500,AE=100t,BE=75t,cos∠BAE 4 51 由余弦定理(75t)2=5002+(100t)2-2×500×100t ×号，整理得1=4或1=19（会）， 当t=4时，AE=400,BE=300,AB2=AE2+BE2, 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交 到司机手中，最快需要4h. 第十章复数 10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 1.B[根据定义知实部为1，虚部为-2.故选B.] 2.C[根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进 行判断.依题意，I,R,M三个集合之间的关系如下图 所示. 复数集I 纯虚数集 M 实数集 R 所以应有：MURI,(CM)UR=CM,M∩(CR) 卡0， 故A,B,D三项均错，只有C项正确.] 3.D[根据复数相等的充要条件得十1一0·解方程 (-y=0, 组即得x=-1,y=0.故选D.] 4.B[因为集合S={-1,0,1},所以2=-1∈S,i庄S, i3=-is,-2iS.] 5.ABCD[A中当这两个复数都是实数时，可以比较大 小.B若2=-1，满足之2∈R,而之=士i,不满足之∈ R.C若a=0,则ai不是纯虚数.D由纯虚数集、虚数 集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集 与实数集的并集.]