9.1.3 正、余弦的综合运用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂课时作业（人教B版）

界第九章解三角形 数课时 9.1.3 正 学作业 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.已知锐角△ABC的面积为3√3，BC=4,CA 3,则角C的大小为 A.75 B.60 C.45 D.30 2.△ABC中，BC=2,B=5,当△ABC的面积 等于时，si加C等于 A号 B C③ 3 3.在△ABC中，∠ABC=至AB=E,BC=3, 则sin∠BAC= ( A.00 C.30 10 B.0 10 D. 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,且b+c2=a2+bc.若sin Bsin C=sin2A,则 △ABC的形状是 ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 5.(多选题)在△ABC中，内角A,B,C所对的边 分别为a,bc,若只 +-名，则△ABC可 a2+c2-b2 以是 ( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 6.(2021·全国甲卷（文）)在△ABC中，已知B =120°，AC=√/19，AB=2,则BC=( A.1 B.√2 C.5 D.3 7.已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a6c,且c-8=ab,C=哥，则部合的值为 8.(2021·全国乙卷（理）)记△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,面积为5，B=60°， a2+c2=3ac,则b= 9.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, c.若a=√7，b=2,A=60°，则sinB= _C= 课时作业乡 、余弦的综合运用 间 纠错空间 10.(2021·新高考I卷)记△ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c,已知b=ac,点D在 边AC上，BDsin∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b: (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 11.在△ABC中，a2+b2-mc2=0(m为常数)， 且osA+osB=cosC,求m的值. "sin A sin B sin C 方法总结 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,6c,A为锐角，lg6+1g -=1g sin A- -1g√2，则△ABC为 ( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 13.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a十2. (1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三 角形？若存在，求出a的值：若不存在，说明 理由. 3· 世数学B版 空 数课时 间 9.2正弦定理 学 纠错空间 作业 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.如图所示，为测一树的高度，测量者在地面上 选取A,B两点，从A,B两点分别测得树尖的 仰角为30°，45°，且A,B两点之间的距离为 60m,则树的高度为 30°45 B A.(15+3√3)m B.(30+15√3)m C.(30+30√3)m D.(15+30√3)m 2.若水平面上点B在点A南偏东30°方向上，则 在点A处测得点B的方位角是 ( A.60 B.120 方法总结 C.150 D.210° 3.某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300 米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏 东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向 上，则两灯塔A,B间的距离为 ( ) A.500米 B.600米 C.700米 D.800米 4.有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改 变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法 将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度 (单位：m)是 A.5 B.10 C.10√2 D.10√5 5.(多选题)某人向正东方向走了xkm后向右 转了150°，然后沿新方向走了3km,结果离出 发点恰好√3km,则x的值为 ) A.5 B.2√3 C.2 D.3 6.如图所示，在地面上共线的三点A,B,C处测 得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB =BC=60m,则建筑物的高度为 必修第四册 与余弦定理的应用 30°>4 60° 45☒ B A.15√6m B.20√6m C.25√6m D.30√6m 7.作用在同一点的三个力F,F2,F3平衡，已知 F,=30N,F2=50N,F1与F2之间的夹角是 60,则F,与F,之间的夹角的正弦值为 8.一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小 虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另 只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发 点，那么x= 9.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰 角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则 甲楼的高是 米，乙楼的高是 米 10.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建 部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环 保标志，小李、小王设计的底座形状分别为 △ABC,△ABD,经测量AD=BD=7米，BC =5米，AC=8米，∠C=∠D.求AB的 长度参考答案 2.C [eos B= 号-女B=60] 2×3×2 3.B[设边长为5,7,8的对角分别为A,B,C,则A<B C .oA+C-os+C=120.] 4.A[由1十0sA=,得c0sA=名，根据余弦定 理，得+2Q2=么，则c2=a2十b.所以三角形为 2bc 直角三角形.故选A,] 5.D[:AB·AC=|AB|AC1cos<AB,AC),由向量模 的定义和余弦定理可得出AB=3,|AC|=2,os(AB, A=C-子故店.衣-3×2×号 2ABXAC 37 2· 6.AC[由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccos A, .4=b2+12-6b,即b2-6b+8=0, .b=2或b=4.] 7.解析：由已知：a2-c2=b2+bc,∴.b2+c2-a2=-bc, 2+c2-a2 1 2bc -2’ 由余弦定理c0sA=一了A=120 答案：120 8.解析：.b+c=7,∴c=7-b. 由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B, 即=4+(7-)2-2X2X(7-)×(-子） 解得b=4. 答案：4 9.解析：(1)AMP=AB2+BM-2BM·BA·cosB, 即12=4+BM-2BM·2·2 所以BM2-2BM-8=0→BM=4,所以BC=8 所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cOsB= 4+64-228·7-68-16=52. 故AC=2√13. (2)由余弦定理得cos∠MAC=AC+AM-MC 2AM·AC 52+12-16 48-2√39 2X2V13×2√138√3913 答案：2523丽 13 163:由+公 所以a>b>c,所以A=120°，所以a2=b2+c2 2 bccos120°， 即0+402=P+6-402-26(6-40×(（专）即 b2-10b=0,解得b=0(舍去)或b=10.所以b=10,a =14, c=6. 1.解：2r2-3x-2=01=2=-名 又'cosC是方程2x2-3.x-2=0的一个根 ·4 课时作业马 ..cos C=-1 2 由余孩定理可得：2=a2+-2ab·（) (a+b)2-ab 则：c2=100-a(10-a)=(a-5)2+75 当a=5时，c最小且c=√/75=5√3，此时a十b十c= 10+5√5，.△ABC周长的最小值为10十5√3. 12.解析：因为sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)= o∠BAD=22 3 所以在△ABD中，有BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos.∠BAD, 所以BD2=18+9-2X32X3×2yE=3,所以BD 3 =√5. 答案：W3 13.解：由已知得cos∠DBC=5Y7 14,cosC=2 7, 14,sinC=v② 从而sin∠DBC=YI, 7 ∴cos∠BDA=cos(∠DBC+C)=5YF.2VF2 14 7 4 .②T1 分=2 .∠BDA=60° 9.1.3正、余弦的综合运用 1.B[35=名×4X3 in CinC=复：△ABC 为锐角三角形，.C=60°，故选B.] 1 2.B[由正弦定理得S△ABC=2·AB·BC·siB= 号AB=9AB=1.AC2=AB+B2-2AB· BC·c0sB=1十4-4X2=3AC=5,再由正弦 sin C 3.C[由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2 ABXBC× -2+9-2XX3×号-51AC=瓜.由正孩 cos A sin B-sin A'.sin A BCsin B 定理，得AC BC 3② 2 AC √5 -3 4.C[由+c2=a2+c及余孩定理，知A=子，又由 sin Bsin C=sin2A及正弦定理，得bc=a2=b2+c2 bc,所以(b-c)2=0,即b=c,所以△ABC为有一个内 角为于的等腰三角形，即为等边三角形.故选C.] 品加[尚后-牛菩及会黄定理，释能 只中号-0界所以由正孩定现，释 2bccos A' sin B 世数学B版 O、只，所以有sn2A=sin2B,从而2A=2B或2A于 2B=元，即A=B或A十B=受.故选AB.] 6,D[知道一角和二边，求第三边显然用余弦定理， cs1w子- Zac a2+2a-15=0, 利用十字叉乘法→(a-3)(a十5)=0，所以a=3, 故选D.」 7.解析：由余弦定理，得c2-b2=a2-2 abcos C=a2-ab =ab,所以a=26,所以由正孩定理，得合-号=2 答案：2 &.解析：由SaAc=acsin B,.得B=acsin60,即， 1 ac,得ac=4,所以a2+c2=3ac=12, 则由余弦定理，得b2=a2+c2-2 accos60°=12-2×4 ×2=8,所以b=2厄 答案：22 9,解析：本小题考查正孩定理、余孩定理，由入 品B得s血B=nA=, a 7 由a2=b2+c2-2 bccos A,得c2-2c-3=0, 解得c=3(舍负). 答案： 3 10.解析：(1)证明：在△ABC中，由正弦定理得，BD·b =ac,又b2=ac,所以BD·b=b2,即BD=b, (2)若AD=2DC,则AD=号6，DC=3b, 在△ABD中，由余弦定理得cOs∠ADB= DA2+DB2-AB2 侣)+9- 2DA·DB 在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC= DB2+DC2-BC2 2DB·DC 2630 国为∠ADB+∠B0C=,所以3+6 +(-d =0,即b2=2a2+c2, 又2=ac,所以号ac=2a2+c2,即6a2-1lac+3x2 0,即(3a-c)·(2a-3c)=0,所以3a=c或2a=3c. 当3a=c时，尚号=22+2，得a2=3b2,2=9a2 =3b2, 在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC 4 必修第四册 BA2+BC2-AC2a2+c2-62 2BA·BC 2·a·c 1b2+362-62 3 3 2·b2 =1>1,不成立， 2·b2=6 当2a=3c时，号8=2a2+, 得2=62，c2=号. 在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC BA2+BC2-AC2a2+c2-62 2BA·BC 2·a·c 昌+号- 3 7 2·b2 2·P2综上，所求 cos∠ABC=2: 7 答案：1)见解析（公 11.解：由余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C,得a2+b2 c2+2 abcos C,由a2+b-mc2=0,得c2+2 abcos C= mc2,即2 abcos C=(m-1)c2.结合正弦定理，得2sin Asin B cos C=(m-1)sin2C,又由cosA+cosB= sin A sin B C,得os Asin+cos Bsin A_SmA十B》」 cos C sin Asin B sin Asin B 号，即sin Asin Bcos C-=sim2C,得m-1=2,所以 m=3. 12.D[因为gb十g=lgmA=-g厄，所以g名 =lg sin A=1g 竖所以=， 且nA=因为A为锐角，所以A=于 2 所以a2=b2+c2-2bcc0sA=B+2b2-2bX26×2 =,所以a=b,所以B=于，所以C=受，故△ABC 为等腰直角三角形.故选D.] 13.解：(1)2sinC=3sinA,∴.2c=3a,又c=a+2, .∴.a=4,b=5,c=6. sA-“家4寻，在△C中行 =3 2bc sin A=7 4 △ABC面积S=csnA-l5 4 (2)由△ABC为钝角三角形，b=a十1，c=a十2，得c 边最大，所以C角最大 osC=2+c_2+(a+D2(a+2》2<0, 2ab 2a(a+1) 得a2-2a-3<0, 所以-1<a<3,因为a为正整数， 所以a=1或a=2, 当a=1时，b=2,c=3,此时a十b=c,与题不符 ∴.存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形.