模块质量检测 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂单元双测卷（人教B版）

参考 D ,EN庄平面ABC,AHC平面ABC,∴.EN∥平 面ABC. 又M,N分别为BD,DC的中，点，.MN∥BC ,MN庄平面ABC,BCC平面ABC,.MN∥平 面ABC. 又MN∩EN=N,MNC平面EMN,ENC平 面EMN, ∴.平面EMN∥平面ABC 又EFC平面EMN,∴.EF∥平面ABC. (2)连接DH,取CH的中点G,连接NG,则NG∥ DH.NG-7DH. 由(1)可知，EN∥平面ABC, ∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的 距离相等 又△BCD是边长为2的等边三角形，'DH⊥BC, 又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD= BC,DHC平面BCD, ∴.DH⊥平面ABC,∴.NG⊥平面ABC. 又DH=3,NG=E 21 又AC=AB=3,BC=2,∴.AH=2√2， 1 S△AC=Z·BC·AH=2VE,.VEAnC=VNA ·Sam·NG= 1 模块质量检测 (A卷) 1.B[因为-号-一1一所以复数：的 虚部为-1.] 2.D[由正弦定理。 B将，nA=号nB= 号sin45°三之又因为b≥，故A30. ·5 答案 3.A[将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即 为球的直径，而长方体的对角线长为√12十（√6）2+32 =4,即球的半径为2，故这个球的表面积为4π2 =16元.] 4.C[由题得=54i=一a一5i,由于复教=5-@ 在复平面内对应的点在第三象限，所以厂a<0, -50, >0.所以“复数之=5a在复平面内对应的点在 第三象限”是“a>0”的充要条件.] 5.D[当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以 平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的 判定可知②正确：空间中垂直于同一条直线的两条直 线可以相交也可以异面，故③不对：若两个平面垂直， 只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另 一个平面垂直，故④正确.] 6.C[在△ABC中，因为asin A=bsin B+(c-b)sinC,由 正弦定理可化简得a2=b2+c2-bc,所以b2十c2一a2 =,向余资定理符sA十正-名从而A 2bc =号故选C] 7.A[设圆台较小底面的半径为r,由题意知另一底面 的半径R=3r.所以S侧=π(r十R)l=x(r十3r)X3= 84π，解得r=7.] 8.A[如图，取BD的中点为E,BC的中，点为O,连接 AE,OD,EO,AO.因为AB=AD,所以AE⊥BD 由于平面ABD⊥平面BCD,所以AE⊥平面BCD.因 为AB=AD=CD=1,BD=反，所以AE=号，E0= 子，所以A0-9.在R△BDC中，OB=-OC-OD ,所以四面体ABCD的外接球的球心为O, 2 半径为且 ，所以该球的体积V=生x 3元 2 数学B版· 9.AD[=1+③i=3 2i 名故B,AD正确，而C 中三角形式应为cos )+ism(看）门 10.ACD[A错误.由m⊥a,a⊥3可知m∥g或mCR. 又n∥B,所以m与n的位置关系不确定.B正确.因 为a⊥3，设a∩3=l,在l上取，点O,过O在a内作OA ⊥1，则OA⊥3，又n⊥3，所以OA∥.过O在3内作 OB⊥l,则OB⊥a,又m⊥a,所以OB∥m.∠AOB是 二面角a一1-3的平面角，由a⊥3知∠AOB=90°， 所以m⊥1.C错误.由面面垂直的性质定理可知，因 为缺少nCB,所以无法推出n⊥a.D错误，m与位 置关系不确定.门 1,BC[在△ABC中，inB=,0<B<∴B=吾或 经，当B=吾时，△ABC为直角三角形b=a·smB -9当B-等时A=C- 3 6,a=c=1.由余弦定理得 =02+2-2aos经=3∴6=5.故选BX.] 12.ABC[因为AH⊥平面A1BD,BDC平面A1BD, 所以BD⊥AH.又BD⊥AA1,且AH∩AA1=A. 所以BD⊥平面AA1H.又AHC平面AA1H. 所以A1H⊥BD,同理可证BH⊥A1D, 所以点H是△ABD的垂心， A正确. D A 因为平面A1BD∥平 面CB1D1, Hi 所以AH⊥平面CB1D1,B D 正确。 易证AC⊥平面A1BD. 因为过一，点有且只有一条直线与已知平面垂直. 所以AC1和AH重合.故C正确. 因为AA1∥BB1,所以∠A1AH为直线AH和BB1 所成的角.因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°， 故D错误.] 13.解析：复数之=m-1十(3-m)i(m∈R)在复平面上对 应的点的坐标为(m一1,3一m),如果该点落在x轴 上方，则有3一m>0,解得m3. 答案：（一0∞，3） 必修第四册 14.解析：由已知条件和正弦定理得：3a=5b,且b十c =2a, 则a=号c=2a一=安c e0sC=42+2-c2- 2ab 2, 2π 又0<C<π，因此角C= 3 答案： 15.解析：a+i=(a+)-D=b-ai,(2-iD2=4- -2 4i-1=3-4i,a+bi(a,b∈R)与(2-i)2互为共轭 复数，b=3,a=-4. 答案：一43 16.解析：①中取BC中点E,连接AE,DE. AB=AC,BD=CD,∴.AE⊥BC,DE⊥BC. .AE∩DE=E,∴.BC⊥平面ADE,.BC⊥AD. ④中过A向平面BCD内作垂线，垂足为O,连接 BO,CO,DO,可证O为△BCD的垂心..BC⊥DO. 又BC⊥AO,∴.BC⊥平面ADO,∴.BC⊥AD. 答案：①④ 17.解：因为之=1十i,所以之2=2i, 所以+a+b_2i+a+ai+b_a+2)i+(a+ z2-之+12i-1-i+1 1 =a+2-a+6i=1-i所以+2=1 (a+b=1. 所以/=1， b=2. 18.解：(1)在△ABC中，由正弦定理，得 a 6. 32√6 2√6 sin A sin B''sin A sin 2A 2sin Acos A' ..cosA=6 3 (2)由余弦定理a2=b2十c2-2 bccos A,得 g=(25+d-2x2c×5. 则c2-8c+15=0.∴.c=5或c=3. 当c=3时，a=c,,∴.A=C 由A+B+C=元，知B=受，与a2+2≠矛盾， .c=3舍去.故c的值为5. 19.解：证明：(1)取BD的中点O,连接CO,PO(图略)， 因为CD=CB,所以△CBD为等腰三角形，所以BD ⊥CO. 0 参考 因为PB=PD,所以△PBD为等腰三角形，所以BD ⊥PO 又PO∩CO=O,所以BD⊥平面PCO. 因为PCC平面PCO,所以PC⊥BD. (2)由E为PB中点，连接EO,则EO∥PD, 又EO过平面PAD,PDC平面PAD,所以EO∥平面 PAD. 由∠ADB=90°，以及BD⊥CO,所以CO∥AD, 又CO过平面PAD,ADC平面PAD,所以CO∥平 面PAD. 又CO∩EO=O,所以平面CEO∥平面PAD, 而CEC平面CEO,所以CE∥平面PAD. 20.解：(1)在△ABC中，由cosA=-4 1 可得sinA=⑤ 4 由5aAc=2 sinA=3V15,得c=2 又由b-c=2,解得b=6,c=4. 由a2=b2+c2-2 bccos A,可得a=8. sin A sin C,得sinC=⑤ 由 8 (2)cs(2A+晋）=os2A·cos吾-sim2A·simg =5(2cs2A-1)-7×2sinA·osA 2 =5-7级 16 21.(1)证明： 连接OE,如图所示. O、E分别为AC、PC中点，∴OE∥PA. ,OEC平面BDE,PA寸平面BDE,∴.PA∥平 面BDE. ,PO⊥平面ABCD,∴.PO⊥BD.在正方形ABCD 中，BD⊥AC, 又PO∩AC=O,∴.BD⊥平面PAC.又BDC平 面BDE,∴.平面PAC⊥平面BDE ·6 答案 (2)解：取OC中点F,连接EF.,E为PC中点， .EF为△POC的中位线，∴.EF∥PO.又POL平 面ABCD, .EF⊥平面ABCD,,OF⊥BD,OE⊥BD. .∠EOF为二面角E-BD一C的平面角，∴∠EOF =0:在R△0EF中.0F=20C-子AC-9。 ∴.EF=OF·tan3o°=a,∴.OP=2EF=6 6a. 6a= VpcD=÷Xa2XSa=8a3 22.解：(1)如图所示，连接BD,由ABCD是菱形且 ∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形.因为E是 CD的中点，所以BE⊥CD.,CD∥AB,∴.BE⊥AB. PA⊥平面ABCD,∴.PA⊥BE..PA∩AB=A, ,.BE⊥平面PAB. 又，BEC平面PBE,∴.平面PBE⊥平面PAB. D (2)BE⊥平面PAB,∴.BE⊥PB. ∴.∠ABP是二面角A一BE一P的平面角. 在R△PAB中，AB=1,PA=5,∠ABP,8-5, .∠ABP=60. .二面角A一BE—P的大小是60°. 模块质量检测 (B卷) 1.B[:年=2+i,区=1+i)2+iD=1+3i .之=1-3i.] 1 2.C[,S△ABC= 2 acsin B=2,∴c=42. 由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B=25,∴.b=5. 由正弦定理2R= mB5V2(R为△ABC外接圆的半 b 径).故选C.] 3.A[sin(A+B)=sinC=cosC→tanC=l,,C∈(0， C=至，又osC=Q+ 2ab -→ab=2√2， S△Ac=absin C=1.]数 新高考 模块质量检测 学 同步单元双测卷 A卷·基础达标卷 (时间：120分钟，满分：150分)》 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a, 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 b,c,若asin A=bsin B+(c一b)sinC,则角A的 合题目要求的.) 值为 整 1.复数=1-i) 1+i (ⅰ为虚数单位)的虚部为 A晋 B￥ c.晋 n号 A.1 B.-1 7.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 C.±1 D.0 3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台 如 2.在△ABC中，已知a=√2，b=2,B=45°，则角A 较小底面的半径为 ( ( A.7 B.6 A.30°或150 B.60°或120 C.5 D.3 C.60 D.30 8.如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD= 即 3.一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂 CD=1,BD=√2，BD⊥CD,将其沿对角线BD 直，其长分别为1，√6,3，其四面体的四个顶点在 折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD, 一个球面上，则这个球的表面积为 若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该 A.16元 B.32x 球的体积为 C.36π D.64π 4.若a∈R,则“复数=5一a在复平面内对应的 i 点在第三象限”是“a>0”的 A.充分不必要条件 2 B.3x B.必要不充分条件 C.充要条件 C.②x D.2x 3 D.即不充分也不必要条件 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20 5.给定下列四个命题： 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平 部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得 夺 行，那么这两个平面相互平行； 0分.) ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这 9.对复数x 1+√3i ( ☒ 两个平面相互垂直： 2i ,下列说法正确的是 ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； A.z=1 ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的 B.在复平面内对应的点 交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中，为真命题的是 ( C.化为三角形式为cos g-isin A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ D.=31 22 33 10.已知直线m,n与平面a,3,下列说法错误的是 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.) A.m⊥a,n∥3且a⊥3，则m⊥n 17.(本小题满分10分)已知x=1十i,a,b∈R,若 B.m⊥a,n⊥3且a⊥3，则m⊥n 之2+az+b=1-i,求a,b的值。 x2-之+1 C.a∩3=m,n⊥m且a⊥3，则n⊥a D.m∥a,n∥3且a∥3，则m∥n 11.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对 的边，若a=1nB-号C-吾则6的值为 A.1 B 2 C.5 D. 2 12.在正方体ABCD-A1B,C,D,中，过点A作平 面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，正 确的是 A.点H是△ABD的垂心 B.AH⊥平面CB,D 18.(本小题满分12分)在△ABC中，a=3,b= C.AH的延长线经过点C 2√6，B=2A. D.直线AH和BB1所成的角为45 (1)求cosA的值； 题号 1 3456 789101112 (2)求c的值. 答案 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分.) 13.已知复数之=m一1+(3-m)i(m∈R)对应的 点在x轴上方，则m的取值范围是 14.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为 a,b,c.bc=2a,3sin A=5sin B, 则角C= 15.若(a,6CR)与(2-)互为共轭复数，则 a= ,b= 16.对于四面体ABCD,给出下列四个命题： ①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD:②若 AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB1 AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD, BD⊥AC,则BC⊥AD. 其中真命题的序号是 (写出所有真命 题序号) ·34· 19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P一ABCD 20.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A,B,C 中，∠ADB=90°，CB=CD,点E为棱PB的中 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为 点 3E,b-c=2,c0sA=-子 (1)求a和sinC的值； (2)求cms(2A+)的值. B (1)若PB=PD,求证：PC⊥BD; (2)求证：CE∥平面PAD. ·35· 21.(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方 22.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P一 形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD,底 ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形， 面边长为a,E是PC的中点. ∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面 (1)求证：PA∥平面BDE;平面PAC⊥平 ABCD,PA=√3. 面BDE; (2)若二面角E-BD一C为30°，求四棱锥 P一ABCD的体积. D- (1)证明：平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角A一BE一P的大小. 些 ·36·