第11章 立体几何初步 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数 新高考 第十 学 同步单元双测卷 A (时间：120分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.如图所示的几何体是柱体的有 翠 ① ② ③ ④ A.1个 B.2个 如 C.3个 D.4个 2.用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长 方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是 h A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.球 3.如图，若△OA'B'是水平放置的△OAB的直观 图，则△OAB的面积是 A -6-4-20 x A.6 B.3√2 C.6√2 D.12 毁 4.如图，已知在正方体ABCD一A1B1C1D1中，1C 平面AB1CD1,且1与BC1不平行，则下列结 论一定不成立的是 ( D 总 盖 A.l与AD平行 B.I与AB异面 C.1与CD所成的角为30°D.l与BD垂直 5.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A,B, C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD和平面ABC所成的角的大小为 ( A.30° B.45 C.60 D.90° 章 立体几何初步 卷·基础达标卷 钟，满分：150分) 6.如图，在棱长为1的正方体ABCD一AB,CD 中，E是棱BC上的一点，则三棱锥B,一C,D,E 的体积等于 () C③ 6 D.青 7.一个四面体的所有棱长都为√2，四个顶点在同 球面上，则此球的体积为 ( ) A受 B.元 C 20 D.√3π 8.如图，已知正方体ABCD一 D A1B,CD,,M,N分别是 A B A,D,D1B的中点，则 M ( ) A.直线A1D与直线D1B 垂直，直线MN∥平面ABCD B.直线A,D与直线D,B平行，直线MN⊥平面 BDD B C.直线A,D与直线D,B相交，直线MN∥平面 ABCD D.直线AD与直线D,B异面，直线MN⊥平面 BDD B 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得 0分.) 9.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面a, 使得 A.aCa,bCa B.aCa,b∥a C.a⊥a,b⊥a D.a∥a,b∥a 25· 10.关于直线m,n与平面a,3有下列命题() A.若m∥a,n∥3且a∥B,则m∥n B.若m⊥a,n⊥3且a⊥3，则m⊥n C.若m⊥a,n∥3且a∥B,则m⊥n D.若m∥a,n⊥3且a⊥3，则m∥n 11.如图所示，直线PA垂直于P ⊙O所在的平面，△ABC内 接于⊙O,且AB为⊙O的直 径，点M为线段PB的中点， 现有结论中正确的是( A.OM∥平面PAC B.平面PAC⊥平面PBC C.OC⊥平面PAC D.BC⊥PC 12.在正方体ABCD-AB,CD1中，E,F分别是 线段A1B1,B1C1上与端点不重合的动点，AE =B,F,有下面四个结论，其中正确的是() A.EF⊥AA B.EF∥AC C.EF与AC异面 D.EF∥平面ABCD 题号 1 34 5 6 7 91011 12 答案 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分.) 13.如图，若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它 们的高都与一个球的直径相等，则圆柱、圆锥、 球的体积之比为 14.若一个底面边长为9，侧棱长为、5的正六棱柱 的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积 为 15.若圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则其侧 面积为 ,体积为 16.如图，PA⊥平面ABC,∠ACB=90°，且PA= AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的 正切值等于 ·2 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)如图，是从上下底面处在 水平状态下的棱长为a的正方体ABCD一 AB,C,D,中分离出来的. 0 小 D 9C1 A B (1)∠DC,D1在图中的度数和它表示的角的真 实度数都是45°，对吗？ (2)∠A,C,D的真实度数是60°，对吗？ (3)设BC=1cm,如果用图示中这样一个装置 来盛水，那么最多能盛多少体积的水？ 6· 18.(本小题满分12分)如图，在三棱锥P一ABC 中，平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=90°，点 D,E在线段AC上，且DE=EC,PD=PC,点 F在线段AB上，且EF∥BC.证明：AB⊥平 面PFE. D 19.(本小题满分12分)如图，正方体ABCD A'B'C'D'的棱长为a,连接A'C',A'D,A'B, BD,BC,CD,得到一个三棱锥.求： D (1)三棱锥A'一BCD的表面积与正方体的表 面积的比值； (2)三棱锥A'一BCD的体积. 20.(本小题满分12分)已知六棱锥P一 ABCDEF,其中底面ABCDEF是正六边形， 点P在底面的投影是正六边形的中心，底面 边长为2cm,侧棱长为3cm,求六棱锥P ABCDEF的表面积和体积. D 27· 21.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC一 AB,C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC,AA= AC=2,BC=1,E,F分别是AC1,BC的 中点. (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)求证：C,F∥平面ABE; (3)求三棱锥E一ABC的体积. 22.(本小题满分12分)如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC ∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE. E (1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP∥ 平面EAB?请证明你的结论 (2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角 0的余弦值. 28·数学B版· 第十一章立体几何初步 (A卷) 1.B[①③⑤不是柱体，②是圆柱，④是以左、右面为底 面的棱柱.故选B.] 2.C[用一个平面去截一个几何体，截面可以是长方形 排除D,截面也可以是圆，排除A,B,故选C.] 3.D[由直观图可得△OAB为直角三角形，且AO=6, OB=4,∠AOB=90°，所以△OAB的面积12.] 4.A[因为AD∥BC∥BC1,且1与B1C1不平行，所 以1与AD不平行.] 5.B[当三棱锥D-ABC的体积最大时，平面DAC⊥ ABC,取AC的中点O,连接OD,OB(图略)，则△DBO 是等腰直角三角形，即∠DBO=45°.] 6.D[三棱锥B1一CD1E的体积即为三棱锥D1 B1C1E的体积，三棱锥D1一B1C1E的底面积为S= 7高为1，所以所求体积为了×号×1=日] 7.C[法-和下图，AD=A0=号AD=9S0 3 VSN-A0=子.=（号E-R)2+ 2 R要球的体积为停 D D ① ② 法二：构造棱长为1的正方体如上图，则C1A1BD为 棱长为√2的正四面体，正方体的外接球也为正四面体 的外接球.此时球的直径为√， 因此球的体积为， 2元.] 8.A[连接AD1,易证M在AD1上，在正方形 ADD1A1中，AD1⊥A1D AB⊥平面ADDA1→ A1DC平面ADD1A1) A1D⊥平面D1AB) AB⊥A1D,AB∩AD1=A→ D1BC平面D1AB A1D⊥D1B,在正方形AA1D1D中， MN∥AB D M-MA) →MNt平面ABCD→MN∥平面ABCD, D N=NB ABC平面ABCD 必修第四册 B 取AA1交点E,连接NE,易证EB=ED1,ED=EB, 且N为BD1,B1D的交点，故NE⊥平面BDDB1, MN与NE相交，故MN与BDD1B1不垂直，故选 择A.] 9.BD[两直线a,b可能平行和异面，若异面A不成 立，C不成立.] 10.BC[A中，两直线也可能相交异面，B、C正确，D中 m与n可能垂直.] 11.ABD[M为中点，∴.OM∥PA,故A正确，又PA⊥ 平面ABC,.PA⊥BC,在圆上BC⊥AC,.BC⊥平 面PAC,故B,D,正确，C错误.] 12.AD[如图. D E'B D C B 由于AA1⊥平面A1BC1D1,EFC平面A1B1C1D1, 则EF⊥AA1,所以A正确；当E,F分别是线段 A1B1,B1C1的中点时，EF∥A1C1,又AC∥AC1,则 EF∥AC,所以C不正确；当E,F不是线段A1B1, B1C1的中点时，EF与AC异面，所以B不正确；由 于平面A1B1CD1∥平面ABCD,EFC平面 A1B1CD1,所以EF∥平面ABCD,所以D正确.] 13.解析：设球的半径为R,则V柱=πR2·(2R)=2xR3, V维=3R2·2R=号xR,Vg=专R 故V:V:Va=2R:是R:号R =3:1:2. 答案：3：1：2 14.解析：2R 6 2)2+(6)2=2√5， 4 R=3,V球=3R3=4V3元 答案：4√5π 15.解析：设圆锥的母线长为1，高为h,底面半径为r,由 底面周长为2πr=6π，得r=3,所以圆锥的侧面积为 54 参考 S=rl=xX3X8=24x,又h=√-r2=√/82-32 √5丽，由圈维的体积公式可得V=子h=3V丽元 答案：24π3√55元 16,解析：不妨将几何体放在如图所示的正方体中，则 PB与AC所成的角等于PB与PQ所成的角.设正 方体的棱长为a,连接BQ,则在△BPQ中，PQ=a, BQ=√2a 所以tan∠BPQ=√2. 答案√2 17.解：(1)对； (2)对： (3)由题意知，以平面B1CD1为水平面，可盛最多体 积的水，此时V=-Ve-Bpc=Ve-ncv,=号X号 ,1 X1X1X1=若(cm3). 二最多能盛日cm的水。 18.证明：由DE=EC,PD=PC知，E为等腰三角形 PDC中DC边上的中点，故PE⊥AC. 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC= AC,PEC平面PAC,所以PE⊥平面ABC 因为ABC平面ABC,所以PE⊥AB. 因为∠ABC=90°，EF∥BC,故AB⊥EF. 从而AB与平面PFE内的两条相交直线PE,EF都 垂直，所以AB⊥平面PFE. 19.解：(1)因为ABCD-A'B'CD'是正方体， 所以A'B=A'C'=A'D=BC=BD=C'D=√2a, 所以三棱维A-BCD的表西积为4X名×a×号 ×√2a=2√3a2, 而正方体的表面积为6a2,故三棱锥A'一BCD的表 面积与正方体的表面积的比值23。-B 6a2 3 (2)三棱锥A'-ABD,C'-BCD,D-A'D'C', B-A'BC'是完全一样的. 故V三拉经A-CD=V正方体一4V三梭维A-ABD= 。-4x×2Xa= ·5 答案 20.解：先求底面正六边形的面积， S六边形ABCDEF=6S△OBC=6X -×2×2sin60 =6√3(cm2), S6=6Sam=6XxZX2X,√PC-(受 2 =6√/32-1z=12√2(cm2), ∴Sp-ABCDEF=S六边形ARCDEF十S树面 =(6√5+12√2)(cm2). 在Rt△POC中， PO=√PC-OC=√PC-BC=√9-4=√5(cm), V大我P维-AIDEF=子Sh=子×6厅×后 =2√15(cm3). 21.(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面 ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC, 所以AB⊥平面B1BCC1. 所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)证明：取AB的中点G,连接EG,FG,如图. G 因为E,F分别是A1C,BC的中点， 所以FG/AC,且PG=号AC 因为AC∥A1C1,且AC=A1C1, 所以FG∥EC,且FG=EC. 所以四边形FGEC1为平行四边形， 所以CF∥EG. 又因为EGC平面ABE,C1F吨平面ABE, 所以CF∥平面ABE, (3)解：因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以AB=√AC2-BC=√5 所以三棱锥E-ABC的体积V=子S△Ac·AA 号×2×Bx1×2- 31 22.解：(1)线段BC的中点就是满足条件的点P. 证明如下： 取AB的中点F,连接DP,PF,EF,则FP∥AC, FP-ZAC. 数学B版· 取AC的中点M,连接EM,EC,因为AE=AC且 ∠EAC=60°， 所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC.所以四边 形EMCD为矩形， 所以ED=MC=子AC.又因为ED/AC,所以ED,∥ FP且ED=FP, 所以四边形EFPD是平行四边形，所以DP∥EF, 而EFC平面EAB,DP丈平面EAB,所以DP∥平面 EAB. (2)过C作CG∥AB,过B作BG∥AC,CG∩BG=G, 连接GD. E D M A B G 因为ED∥AC,所以ED∥BG,所以B,E,D,G四点 共面，所以平面EBD与平面ABC相交于BG, 因为CD⊥AC,平面ACDE⊥平面ABGC, 所以CD⊥平面ABGC, 又因为BGC平面ABGC,所以BG⊥CD, 又BG⊥GC,CD∩GC=C,所以BG⊥平面CDG,所 以BG⊥DG, 所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二 面角0，设AB=AC=AE=a, 则GC=AB=a,DC=EM=2a,所以GD 所以cos0=cos∠DGC=GC-2 7 第十一章 立体几何初步 (B卷) 1.C[(1)不是棱台，(2)不是圆台，(3)是棱锥，(4)是棱 柱，故选C.] 2.B[因为平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH ∩平面ABFE=EF, 平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG. 同理EH∥FG,所以四边形EFGH的形状是平行四 边形.] 5 必修第四册 3.D[,△ABC的直观图是等腰直角三角形A'B'C', ∠B'A'C'=90°，A'O'=1,.A'C'=√2.根据直观图平 行于y轴的长度变为原来的一半，△ABC的高为 AC=2A'C'=2√2.故选D.] 4.D[因为m⊥a,l⊥m,l丈a,所以l∥a.同理可得1∥ R.又因为m,n为异面直线，所以a与B相交，且1平行 于它们的交线.故选D.] 5.D[设正方体的棱长为Q,则被锥的体积V=}× 号XaXaXa-=答，又正方体的你积V,=0,所以 V1:V2=1:6.] 6.C[取AC的中点E,CD的中点F,则EF=,BE ,BF=9.:△BEF为直角三角形，s0= EF 21 7.A记△ABC的外接圆圆心为O1,由AC⊥BC,AC =BC=1,知0，为AB的中点，且AB=2,0,C=2, 21 文球的半径为1，所以OA=OB=OC=1,所以OA2+ 0B2=AB,0,=9,于是0+0，Ce=0,所以 有OO1⊥O1C,OO1⊥AB,进而OO1⊥平面ABC,所以 o=g5ac·0=子·名11·竖- 2 得故选入] 8.C[由题意知，正三角形ABC的外接圆半径为 √22一1=√3，则AB=3,过点E的截面面积最小时，截 西是以AB为直径的司藏西而积S×(侵)广-学] 9.ACD[设a∩B=a,若直l∥a,且l中a,ltB,则l∥a, 则l∥B,因此a不一定平行于B,故A错误：由于l∥a, 故在a内存在直线1'∥1，又因为⊥，所以'⊥B,故a ⊥B,所以B正确：若Q⊥B,在B内作交线的垂线I,则l⊥ a,此时l在平面3内，因此C错误；已知a⊥3，若a∩3=， l∥a,且l不在平面a,3内，l∥a,则l∥B,因此D错误.]