月考卷 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数 新高考 学 同步单元双测卷 (时间：120分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.x1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,x2= 墨 3一2i,则“m=1”是“x1=x2”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 如 2.已知圆的半径为4，a,b,c为该圆的内接三角形 的三边，若abc=16√2，则三角形的面积为 A.2√2 B.8√2 h C.√2 n号 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,且Sb sin A ,则B等于 c-a sin C+sin B A.6 元 c D. 4 4.已知i是虚数单位，m,n∈R,且m十i=1十ni,则 毁 m+ni m-ni A.-1 B.1 C.-i D.i 5.已知复数3一√对应的向量按顺时针方向旋转 齒 子，所得向量对应的复数为 ( 1 A.2√3 B.-2√5i 系 C.√3-3i D.3+√3i 6.将复数1+i对应的向量OM绕原点按逆时针方 向旋转至，得到的向量为OM,那么OM对应的 复数是 A.2i B.√2i 22 D.√2+√2i 月考卷 B卷·素养提升卷 钟，满分：150分) 7.在△ABC中，AB=7,AC=6,M是BC的中点， AM=4,则BC等于 A.√21 B.√106 C.√/69 D.√/154 8.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为 45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D,测 得塔顶A的仰角为30°，则塔高为 () A.15m B.5m C.10m D.12m 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得 0分.) 2 9.若复数一千其中i为虚数单位，则下列结论 正确的是 A.之的虚部为-1 B.x=√2 C.x2为纯虚数 D.之的共轭复数为-1一i1 10.下列结论正确的是 A.在△ABC中，sinA=sin(B+C) B.在△ABC中，若cosA=cosB,则A=B C.在锐角△ABC中，若sinB=号，则B=否或 吾x D.在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充要 条件 l.复数=sin吾-icos若，若&=(n∈N),则n 的值可以是 () A.1 B.3 C.5 D.7 12.在△ABC中，若(a-ccos B)sinB=(b-ccos A) sinA,则△ABC的形状为 ( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 题号 4 5 6 78 9101112 答案 21 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分.) 13.若复数+bb∈R)所对应的点在直线十y 1-i =1上，则b的值为 14.在△ABC中，已知b=50√3，c=150,B=30°， 则边长a= 15.在△ABC中，若b=1c=5,∠C=经，则A= ,△ABC的面积S= 16.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船，船与 炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角 分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线 成30°角，则两条船相距 m. 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)(1)计算：2B+i+ 1+2i (2）+4-81二4+； + √1I-√7i (2)已知=1十i,求一3+的模。 之+1 18.（本小题满分12分)已知复数1=i(1一i)3. (1)求之1； (2)若z=1,求x一1的最大值. 22· 19.(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a一b+c) =ac. (1)求B: (2)若sin Asin C=5-1,求C. 4 20.(本小题满分12分)在△ABC中，AC=6, osB-告C- (1)求AB的长； (2)求cos（A-若的值。 23· 21.(本小题满分12分)已知复数之满足x2+2z十 40,且arg:∈（受x (1)求之的三角形式； (2)记A,B,C分别表示复数x,w,一2w在复平 面上的对应点.己知A,B,C三点成逆时针顺 序，且△ABC为等边三角形，求w. 22.(本小题满分12分)如图，我国南海某处的一 个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、 小岛C相距都为5 n mile,与小岛D相距为 3√5 n mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝 角，且nA=子 (1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小 岛所形成的四边形的面积； (2)记小岛D对小岛B与C的视角为a,小岛 B对小岛C与D的视角为3，求sin(2a+3) 的值. 24·参考 1以解：0》由短客得器背-子由正我定理得，号 -asB=是in2B=是1 in合，所以cosB-3 co.摩oB=是iinB=号 5 由题意知：a2cos2B=9, 所以a2=25,得a=5或a=-5(舍去).所以a=5. (2②)因为S子acmB=2,所以，由S=10得c=5 应用余弦定理得：b=√a2+c2-2 accos B=2√5. 故△ABC的周长1=a+b+c=2(5+√5). 20.解：设之=a十bi(a,b∈R), 01=2,2=i,2=2i 21 :|z=2√2，则a2+b=2√2. ① |之-|=之-x2|,即a-2+bil=|a十(b-2)i, W(a-2)2+b2=√a2+(b-2)2. ② 由①@得{=2支a-2, b=2,b=-2. .之=2+2i或之=-2-2i. 21.解：(1)因为cos2C+2√2cosC+2=0, 所以2cos2C+2√2cosC+1=0,即（√2cosC+1)2 =0, 所以cosC= 又C∈(0，，所以C- 2 (2)因为c2=a2+b2-2 abcos C=3a2+2a2=5a2, 所以c=5a,即sinC=5sinA,所以sinA=二sinC 5 =0 10 因为S△ABc三absin C,且S△AC=2 sin Asin b, 所以？alsin C=号sin Asin B.所以 ab sin Asin Bsin C =反.即(c)广sinc=E, c2=√2sinC=1,∴.c=1 22.解：(1)证明：.m∥n,∴asin A=bsin B. aa·员=b:杂(2R为△ABC外接国直径)， .a2=b2,.a=b, ∴.△ABC为等腰三角形. (2)由题意可知m·p=0,即a(b一2)十b(a-2)=0. a+b=ab.又c=2,C=子 ·5 答案 故由余弦定理得4=a2十b2-ab=(a十b)2-3ab, .(ab)2-3ab-4=0,∴.ab=4或-1（舍）， ∴.S△ABC= 2 absin C=×4Xsin吾-E 1 故△ABC的面积为√5. 月考卷 (B卷) (m2+m+1=3, 1.A[因为名1=2，所以 解得m=1 (m2+m-4=-2. 或m=-2, 所以m=1是名1=2的充分不必要条件.] sin A sin B sin C-2R-8,.'.sin C=c 2.C[ b 8 Snc-absin C-ahe-16. 1 1616 3.C[由正弦定理得(c-b)(c十b)=(c-a)a,即c2+a2 -2=ac,2 accos B=ac,cosB=2又0<B<x,因此 B=号] 4.D[由m+i=1+i(m,n∈R),∴.m=1且n=1.则 m+孤-1士i=0士》2=.] m-ni 1-i 2 5.B[3一i=2[s(-石)+in(-)门顺时针方 向旋转5，即得 &=2[cas(-吾)+im（吾)]÷(o亭+im吾) =2[co（-)+isim（-)门=-2i.] 6.B[=1+il=E,arg1+)=平0对应复 数的辐角主值为交，又模为、瓦“对应复数为] 7.B[设BC=a,则BM=MC=号.在△ABM中，AB2 =BM2+AM2-2BM·AM·cos∠AMB,即72= 702+4-2x号X4Xcos∠AMB, ① 在△ACM中，AC2=AP+CMP-2AM·CM· cos∠AMC, 即62=4+a2+2X4×号×cos∠AMB, ② ①+@得P+682=++02,所以a=丽.] 8.C如图所示，设塔高OA=h, 在Rt△AOC中，∠ACO=45°， 则OC=OA=h. 数学B版 在Rt△AOD中，∠ADO=30°， 则OD=√h. 在△OCD中，∠OCD=120°， CD=10, 45° 080X 由余弦定理得 40° OD2=OC2+CD2-2OC· 30 CDcos∠OCD, 即（√3h)2=h2+102-2h×10×c0s120°， .h2-5h-50=0, 解得h=10或h=-5(舍).故塔高为10m. 2 9.ABC[由题可知=1千1-i,对于A,之=1-i的 虚部为-1，对于B,z|=1一i=√2，对于C,z2=(1 -i)2=1-2i-1=-2i,为纯虚数，对于D,之=1-i的 共轭复数为之=1十i,故选A、B、C.] 10.ABD[在锐角△ABC中，若sinB=7,则B=吾， 所以C错误，A、B、D正确.] 11.CD [=sin-icos=cos（）十 isn(-夸）： &=cos号+isin夸-[cos(-5)+isin(-5)] =co(-）十iin(-）心n最小值为5.] 12.AC[法一：由正弦定理及余弦定理知，原等式可化 整理得：(a2+b-c2)b2=(a2+b-c2)a2, ∴.a2+b-c2=0或a2=b2, 故三角形为等腰三角形或直角三角形. 法二：由正弦定理，原等式可化为 (sin A-sin Ccos B)sin B=(sin B-sin Ccos A) sin A, ∴.sin Bcos B=sin Acos A,∴.sin2B=sin2A, 又A,B∈(0，π)， 2B=2A或2B+2A=元A=B或A+B=受， 故△ABC为等腰三角形或直角三角形，] (1+i)2 3.解析：复数十+6号-D0+市+62十b=b 1-i 2 +i. 所对应的点(b,1)在直线x十y=1上，.b十1=1， 解得b=0. 答案：0 必修第四册 14.解析：由余弦定理得a2十c2-2 accos30°=b2, .a2-150√5a+15000=0.解得a=100√5或50√5. 答案：100√5或50√5 1反解折：由正宾定里得如B-s如C_1X 21 bKc,B=吾，则A=吾Sac=合besinA 4 答案行 4 16.解析：设两条船所在位置分别为A,B两，点，炮台底部 所在位置为C点， 在△ABC中，由题意可知 an30=30V5(m, 30 AC= 30 BC=an45=30(m),C=30', AB2=(30√5)2+302-2×30√5×30×cos30 =900, ∴AB=30(m),即两条船相距30m. 答案：30 17.解：(1)原式= i(1+2√3i) 1+2√5i 1)1 +(4-8i)2-(4-81)2 √T-√7 =i+(-i)106+0=-1+i. 22=3+6_1+D,30++6-81-i 之+1 2+i :3+的模为2 之十1 18.解：(1).x1=i1-i)3=[1-3+3(-i)2+3(-i)] =i(1+i-3-3i)=2-2i, .|1=√22+(-2)2=2√2. (2)如图所示，由之=1可知，之 在复平面内对应的，点的轨迹是 半径为1，圆心为O(0,0)的圆， 而之1对应着坐标系中的点Z (2,一2).所以之一1的最大 值可以看成是点Z1(2,一2)到圆上的点的距离的最 大值.由图知之-1mx=|之1十r=2√2+1(r为圆 半径). 19.解：(1)因为(a十b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2 b2=-ac, 52 参考答 由余孩定理得cosB=Q2+2- =- 2ac 2, 又B∈(0°，180)，因此B=120°. (2)由(1)知A+C=60°，① 所以cos(A-C)=cos Acos C.+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos (A+ C)+2sin Asin C 22 名+2×6→- 4 2 又因为-60°<A-C<60°，故A-C=30°或A-C= -30.② 由①②得C=15°或C=45°. 20,解：因为0sB=号>0，所以0<B<,所以snB -B厂（白台）=子 由正法交理为后品所以AB=管C sin B 6② 2=5√2. 3 5 (2)在三角形ABC中A十B十C=π，所以A=π-(B +C). 于是cosA=-cos(B+C)= cos(B+T）-cos Bcos+-sin Bsin年， 又cosB=号，sinB=， 故osA=-4x9+是×2-E, 5 25 2 10 因为0<A<x,所以sinA-√1-03A=75 10 因此cos(A-吾）=oAcos吾+sinA·sin若 20 21.解：1)由2+2：+4=0，得=（-2士2 =-1士i. :arg:(受x∴=1-5i应含去， “x=-1+i=2(os5+isim）】 (2)由题意，CA对应复数为：之-（一2w)=之十2w,CB 对应复数为：w-(-2w)=3w, :|CA|=CB,C,A,B位置成逆时针顺序，又 ∠ACB=牙，“把CA对应复数接递时针方向旋转 ·53· 案 60°即得CB对应复数. 3a=(+2w)(os号+iin 将=2(os+in)代入上式 解得ω=一 g+ ,解：(1).sinA= ,且角A为钝角， 5 sA=-()=- 在△ABD中，由余弦定理得：AD2+AB2=2AD· AB·cosA=BDP AD+52-2AD:i(号) =(3√5)2，.AD2+8AD-20=0. 解得AD=2或AD=-10(舍). .小岛A与小岛D之间的距离为2 n mile.. A,B,C,D四点共圆，角A与角C互补. snC=号cosC=c0s(180°-A=-osA=合 在△BDC中，由余弦定理得： CD2+CB2-2CD·CB·cosC=BD2, CD2+53-2CD.5·号=(352， ∴.CD2-8CD-20=0, 解得CD=-2(舍)或CD=10. ∴.S四边形ABCD=S△ABD十S△cD =2ABAD·snA+2CB·CD·snC=7X5 ×2×号+号×5×10×号=3+15=18， .四个小岛所形成的四边形的面积为18平 方n mile. (2)在△BDC中，由正弦定理得：BC=BD sin a sin C' 即53y5sia sin a 3 5 .DC2十DB2>BC2,a为锐角，∴cosa= 25 5 又：sin(a+8)=sin(180°-C)=sinC=亏， 3 c0s(a+9)=cos180°-C)=-c0sC=-手 '.sin(2a+3)=sin[a+(a+3)] =sinecos(a+m+os asin(a+B)=号×（号）十 25×3=25 5525