月考卷 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂单元双测卷（人教B版）

参考 +26=4, ∴.a=2,b=1,.z=2+i..z=2-i (2a-b=3, 之_2+i(2+i)2_3+4: 5 =5+5” 18.解：(1)设之=a十bi(a、b∈R),则之2=a2-b2+2abi, 由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a= b=一1，所以x=1+i或之=一1一i. (2)当之=1十i时，之2=2i,之一2=1-i,所以A(1, 1)、B(0,2)、C(1,-1),所以S△ABC=1. 当之=-1-i时，之2=2i,之-之2=-1-3i, 所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC =子X2X1=1.综上S△Ac=1. 19.解：1)因为=2i+10-21=10=103-卫=3-i, 3+i3+i 10 所以|x|=√10 (2)因为(3-i)(3-i+a)=(3-i)2+(3-i)a=8+3a- a+6i=b+i,所以8+3a=, -(a+6)=1,b=-13. 20.解：设1=x十yi(x、y∈R), .(3+i)1=(3+i)(.x+yi)=3.x-y+(x+3y)i, .x+3y=0,∴.x=-3y. 1=x十yi_（x十i)(2-iD_（-3y十yi)(2-iD .2=2干2+i 5 5 =-y十yi, |22=5√2，.22=50，.(-y)2+y2=50, .y=±5， 当y=5时，之2=-5+5i,当y=-5时，2=5-5i. 21.解：(1)因为=15-51=15-5i15-5i0(3-4D (2+i)23+4i(3+4i)(3-4i) =2575i-1-3i,所以1·2=(2-3i)(1-3i)= 25 -7-9i. (2)由之一1|=1知，之在以(2，一3)为圆心，以1为 半径的圆上，如图：之2在复平面内对应的点为 B(1,-3), 0 B.A 所以当之对应的点为A(3,一3)时，之一之2的最大值 为2. 答案 22.解：(1)由题意知△<0，.16-4p<0,解得p>4. 又x1x2=p,x1x2=x1x1=|x1|2=25,p=25. (2)x1十x2=一4，x1x2=p.若方程的判别式△≥0， 即p≤4时，方程有两个实数根x1,x2, 则|x1-x212=(.x1+x2)2-4.x1x2=16-4p=4,解 得p=3: 若方程的判别式△<0，即p>4时，方程有一对共轭 虚根x1x2, 则|x1-2=|√4p-16=√4p-16=2,解得p=5. 故实数p的值为3或5. 月考卷 (A卷) 1.D[(1+i)(2-i)=2-i+2i-2=3+i.] 2.D[-sin50°+icos50°=cos(90°+50)+isin(90° +50),∴.arg=140°.] 3.D[在锐角△ABC中，sinC= zBC·CA 9 2 X0X 2,C=60, AB=√BC2+AC2-2BC·ACcos C J62+32-2×6×3X2 =27 cos B=BC2+AB2-AC2 2BC·AB _62+(√27)2-32_5 2X6X√27 2 ∴.B=30°.] 4.A[由余弦定理得 s∠CA=Kc-表-] 2BC·AC 5.C[法-：因为+2i=D十2i=-i (1-i)2 十2i=i,所以之=1，故选C 法二：因为+1计0+D-所 1+i 6.D[设这两边分别为a,b(a>b),则a一b=2, 又两边夫角的余弦为号，则两边夹角的正孩为号， ÷7bX号=14a6=35a=7,6=5.] 9 数学B版·必修第四册 7.B[.x=3+4i,∴.x|=√/32+42=5， <arg(2-i)<2xarg(3-i)+arg(2-i)= 2 '.之=3+4i-5-(1-i)=(3-5-1)+(4+1)i =-3+5i. 2k,取k=1,得arg(3-i)+arg(2-iD=15 4 ∴复数之在复平面上的对应点在第二象限.] 答案 8.A[如图所示，由已知条件 北 可得，∠CAB=30°， 40°0 15.解析：易知 -1 +i '1-√2i ∠ABC=105°， 2018 √2+i 2019 AB=40×3=20mmie, 659 所以之 =(-i)2018 -2i B .∠BCA=45°. +2019 由王袋定理可特S BC =2+i3=-1-i, 之=一1十i,则的虚部是1，x=√2. ..BC 20× 答案：1√2 -=10√2(n mile).] 2 16.解析：由已知3sinA=5sinB,利用正弦定理可得 2 3a=5b. 9.BC[因为复数1=a十2i,2=2-i,且|x1|=|2, 由3a=5b,b十c=2a,利用余弦定理得cosC= 所以a2+4=4+1,解得a=士1，故选BC.] 10.BCD [:cosA=+2-a2=2+2-bc 2ab 2bc 2bc 答案：导 6+ 1a2-5a-6=0, 2bc ->0,又0°<A<180°，∴.0°<A 17.解：(1)当之为实数时，则有 a2-1≠0， <90°.] (a=-1或a=6, 1.D[网为所以=器郎特 b 20 .当a=6时，之为实数. (a≠±1， sinB=子因为>a,所以B>A,故B有两解，所以 1a2-5a-6≠0， (2)当之为虚数时，则有 a2-1≠0， cosB=±5.] 3 a≠-1且a≠6：a≠士1且a≠6， a≠±1， 12.BC[对于A,之1，之2可能是相等复数，故A错误；对 即当a∈(-o∞，-1)U(-1,1)U(1,6)U(6,+∞) 于B,若之1和2是共轭复数，则相加为实数，不会为 时，之为虚数 虚数，故B正确；对于C,由a十bi=a一bi得b=0,故 a2-5a-6≠0， C正确，对于D,由题可知A(一1,2)，B(1,-1), (3)当之为纯虚数时，则有 a2-7a+6=0, C8,-2,建立等式{1十)=8；解程=1故D a2-1 2x-y=-2, (y=4, a2-1≠0， 错误.] (a≠-1且a≠6， 不存在实数a,使之为纯虚数. 13.解析：由(a+i)(1+i)=bi得a-1+(a+1)i=bi,即a a=6且a≠±1， -1=0,a十1=b,解得a=1,b=2,所以a十bi=1 18.解：(1)(1+3i)·之=(1+3i)·(3+bi)=(3-3b)+ +2i. (9+b)i. 答案：1+21 因为(1十3i)·之是纯虚数， 14.解析：(3-i)(2-i)=5-5i 所以3-3b=0,且9十b≠0，所以b=1,所以之=3十i. 5[o(-)+isim(-)]: 2w站g:8书-7号号- arg[(3-i)(2-]<ang(3-<2m, 2 所以（得）+（吉）了=E 50· 参考 1以解：0》由短客得器背-子由正我定理得，号 -asB=是in2B=是1 in合，所以cosB-3 co.摩oB=是iinB=号 5 由题意知：a2cos2B=9, 所以a2=25,得a=5或a=-5(舍去).所以a=5. (2②)因为S子acmB=2,所以，由S=10得c=5 应用余弦定理得：b=√a2+c2-2 accos B=2√5. 故△ABC的周长1=a+b+c=2(5+√5). 20.解：设之=a十bi(a,b∈R), 01=2,2=i,2=2i 21 :|z=2√2，则a2+b=2√2. ① |之-|=之-x2|,即a-2+bil=|a十(b-2)i, W(a-2)2+b2=√a2+(b-2)2. ② 由①@得{=2支a-2, b=2,b=-2. .之=2+2i或之=-2-2i. 21.解：(1)因为cos2C+2√2cosC+2=0, 所以2cos2C+2√2cosC+1=0,即（√2cosC+1)2 =0, 所以cosC= 又C∈(0，，所以C- 2 (2)因为c2=a2+b2-2 abcos C=3a2+2a2=5a2, 所以c=5a,即sinC=5sinA,所以sinA=二sinC 5 =0 10 因为S△ABc三absin C,且S△AC=2 sin Asin b, 所以？alsin C=号sin Asin B.所以 ab sin Asin Bsin C =反.即(c)广sinc=E, c2=√2sinC=1,∴.c=1 22.解：(1)证明：.m∥n,∴asin A=bsin B. aa·员=b:杂(2R为△ABC外接国直径)， .a2=b2,.a=b, ∴.△ABC为等腰三角形. (2)由题意可知m·p=0,即a(b一2)十b(a-2)=0. a+b=ab.又c=2,C=子 ·5 答案 故由余弦定理得4=a2十b2-ab=(a十b)2-3ab, .(ab)2-3ab-4=0,∴.ab=4或-1（舍）， ∴.S△ABC= 2 absin C=×4Xsin吾-E 1 故△ABC的面积为√5. 月考卷 (B卷) (m2+m+1=3, 1.A[因为名1=2，所以 解得m=1 (m2+m-4=-2. 或m=-2, 所以m=1是名1=2的充分不必要条件.] sin A sin B sin C-2R-8,.'.sin C=c 2.C[ b 8 Snc-absin C-ahe-16. 1 1616 3.C[由正弦定理得(c-b)(c十b)=(c-a)a,即c2+a2 -2=ac,2 accos B=ac,cosB=2又0<B<x,因此 B=号] 4.D[由m+i=1+i(m,n∈R),∴.m=1且n=1.则 m+孤-1士i=0士》2=.] m-ni 1-i 2 5.B[3一i=2[s(-石)+in(-)门顺时针方 向旋转5，即得 &=2[cas(-吾)+im（吾)]÷(o亭+im吾) =2[co（-)+isim（-)门=-2i.] 6.B[=1+il=E,arg1+)=平0对应复 数的辐角主值为交，又模为、瓦“对应复数为] 7.B[设BC=a,则BM=MC=号.在△ABM中，AB2 =BM2+AM2-2BM·AM·cos∠AMB,即72= 702+4-2x号X4Xcos∠AMB, ① 在△ACM中，AC2=AP+CMP-2AM·CM· cos∠AMC, 即62=4+a2+2X4×号×cos∠AMB, ② ①+@得P+682=++02,所以a=丽.] 8.C如图所示，设塔高OA=h, 在Rt△AOC中，∠ACO=45°， 则OC=OA=h.数 新高考 学 同步单元双测卷 （时间：120分每 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 整 1.(1+i)(2-i)= A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 2.复数-sin50°+icos50°的辐角主值为( A.50 B.320° 如 C.40° D.140 3.已知锐角△ABC的面积为9yE 2 BC=6,CA= 3,则角B的大小为 ( A.60 B.90 C.45 D.30 4.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=6,则 cos∠BCA的大小为 A号 B. 4 1 C.3 D. 9 5.设x 1-i 1+ +2i,则z A.0 c.1 D.√2 6.三角形的两边之差为2，夹角的余弦为亭，该三 茵 角形的面积为14，那么这两边分别为 A.3,5 B.4,6 C.6,8 D.5,7 7.设x=3+4i,则复数x=x-x一(1一i)在复平 面上的对应点在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿 南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处， 在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方 月芳卷 A卷·基础达标卷 ,满分：150分) 向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北 偏东65°，那么B,C两点间的距离是() A.10√2 n mile B.10√3 n mile C.20√2 n mile D.20√3 n mile 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得 0分.) 9.已知i为虚数单位，复数x1=a十2i,x2=2一i,且 z1=z2,则实数a的值为 () A.0 B.1 C.-1 D.2 10.在△ABC中，若a2=bc,则角A不可能是 () A.锐角 B.钝角 C.直角 D号 11.在△ABC中，a=15,b=20,A=30°，则cosB ) 2 A.- &号 C n号 12.下列命题正确的是 () A.复数1,2的模相等，则之1，之2是共轭复数 B.之1，之2都是复数，若名1十2是虚数，则名1不 是之2的共轭复数 C.复数x是实数的充要条件是x=(之是之的 共轭复数) D.已知复数x1=-1十2i,2=1一i,之3=3-2i (i是虚数单位)，它们对应的点分别为A, B,C,O为坐标原点，若OC=xOA+yOB (x,y∈R),则x十y=1 题号 1 23456789101112 答案 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分.) 13.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)= bi,则a+bi= 14.arg(3-i)+arg(2-i)= 1-i 2018 2019 15设复数之= √2+i 1+i ,其中i 1-√2i 为虚数单位，则之的虚部是 16.在△ABC中，若b+c=2a,3sinA=5sinB,则 角C= 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)已知复数=a-7a+6 a-1 (a2一5a一6)i(a∈R),试求实数a取什么值 时，z分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数 18.(本小题满分12分)已知复数之=3十bi(b∈ R),且(1+3i)·x为纯虚数. (1)求复数之； (2)若w=2千求复数w的模w. 18· 19.(本小题满分12分)设△ABC的内角A、B、C 所对的边长分别为a、b、c,且acos B=3,bsin A =4. (1)求边长a; (2)若△ABC的面积S=10,求△ABC的周 长l. 20.(本小题消分12分尼知复数=2产=i,并 且|z=2√2，x一=z-2,求之. 19· 21.(本小题满分12分)在△ABC中，角A,B,C所 对的边分别为a,b,c.cos2C+2√2cosC+2 =0. (1)求角C的大小： (2)若b=2a,△ABC的面积为 2 sin Asin B, 求sinA及c的值. 22.(本小题满分12分)已知△ABC的角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n (sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若m∥n,求证：△ABC为等腰三角形； (2)若mLp,边长c=2,C=号，求△ABC的 面积. 些 20·