第10章 复数 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数 新高考 第十章复数 学 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 8.设之为复数，且x的辐角主值为受，2一2的辐角 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 主值为，则复数之为 ( 1.设a,b∈R,i是虚数单位，则“ab=0”是“复数 整 A.3-2+i B.2-√5+i a十为纯虚数”的 C.-1+√3i D.1+ A.充分不必要条件 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20 B.必要不充分条件 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 C.充要条件 部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得 如 D.既不充分也不必要条件 0分.) 2.复数x= 1+22019 1一丽（行为虚数单位）的共轭复数在 9.对于下列四个命题，正确的是 A.任何复数的模都是非负数； 复平面内对应的点在 B.如果复数=5i,x2=√2-3i,之=-5i, A.第一象限 B.第二象限 之4=2一i,那么这些复数的对应点共圆 C.第三象限 D.第四象限 C.|cos0+isin0的最大值是√2，最小值为0 3.若复数之满足2x十之=3-2i,其中i为虚数单 D.x轴是复平面的实轴，y轴是虚轴 位，则之= A.1+2i B.1-2i 10.若复数x=cos 十iin登i是能数单位)，复 C.-1+2i D.-1-2i 数之2的实部、虚部分别为a,b,则下列结论不 4.若z=cos0+isin0(i为虚数单位)，则使之2= 正确的是 -1的值可能是 A.ab0 B.a2+b≠1 A晋 B C分- D合-E c晋 D答 11.已知2十ai,b+i(a,b∈R)是实系数一元二次 方程x2+px十q=0的两根，则p,q的值为 5.若复数x=lg(m2-2m十2)+i·lg(m2+3m- ( 3)为实数，则实数m的值为 A.p=-4 B.q=5 夺 A.1 B.-4 C.p=4 D.q=-5 C.1或-4 D.以上都不对 12.设名1，之2为复数，则下列结论中正确的是 6.已知3一√3i=:·(一2√5i),那么复数之在复平 面内对应的点应位于 A.若十>0，则>一 A.第一象限 B.第二象限 B.x1-x2|=√/（x1十22)2-42122 C.第三象限 D.第四象限 C.之1一1是纯虚数或零 7.若x∈C且|x+2-2i=1,则x-2-2i-3的 D.1·2=|1·x2 最小值是 ( 题号 2 4 8 1011 12 A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 13 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 18.(本题满分12分)已知复数之满足|x=√2，x 20分.) 的虚部是2. 13.已知实数m满足不等式log2m+4i≤5，则m (1)求复数x: 的取值范围为 (2)设之，之2，之一z2在复平面上的对应点分别为 14.已知复数名=3-i,2是复数一1十2i的共轭 A、B、C,求△ABC的面积. 复数，则复数1一的虚部等于 214 15.若动点P对应的复数为x,且满足|之一4i=2, 则之的辐角主值的范围为 ,之取得 最大值时，之=一 16.已知复数x=a十i(a,b∈R)且色十 b 3十，则复数之在复平面对应的点位于第 5 象限。 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)已知(1+2i)z=4+3i,求x 及一 ·14… 19.(本小题满分12分)已知复数=1++25一D 20.(本小题满分12分)已知名1、之2为复数，(3十i) 3十i (1)求x; 为实数=且-5巨，求 (2)若z(之十a)=b十i,求实数a,b的值. ·15· 21.(本小题满分12分)已知复数名=2-3i,之2= 22.(本小题满分12分)已知关于x的方程x2+4x 15-51,求： 十p=0(∈R)的两个根是x1,x2. (2+i)2 (1)若x1为虚数且x1|=5,求实数p的值； (1)1·22. (2)若|x1一x2=2,求实数p的值. (2)若之∈C,且之一之1|=1，求|之-x2|的最 大值. ·16·参考 3+25_(3+2i0(2+3n=13i=i,所以z的 法二：z=2-3i=(2-3)(2+37)13 共轭复数为一1. 答案：一i 14,解析：原式=(2+2.)-[（与）2]1=(2-D √2 i1=2-i+i=2. 答案：2 15.解析：原式=2i(-1-_25-2i=51 1+3 4 22i ·虚郭为一了实部为号 16.解析：a,b∈R,且名=1-bi,则a=(1-biDa-iD =(1-b)-(1+b)i, =1-b:.=2, 0=1+b,(b=-1, .|a+bi=|2-il=√22+（-1)2=√5. 答案：w5 17.解：设≈=a+bi(a,b∈R),则(a+bi)(a-bi)-3i(a bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i. 根据复数相等的定义，得 a2+b2-3b=1, -3a=3, .之=-1或之=-1+3i. 18.解：(1)根据复数相等的充要条件，得 (m2+5m+6=2, 解得m=-1. (m2-2m-15=-12, (2)根据共轭复数的定义，得 (m2+5m+6=12, 解得m=1. (m2-2m-15=-16, (3)由题意，知m2-2m-15>0,解得m<-3或m> 5,故实数m的取值范围为(-∞，一3)U(5,十∞). 19.解：.之2+a之+b=(1+i)2+a(1+i)+b=a+b+(2 +a)i,x2-之+1=(1+i)2-(1+i)+1=i, :+a+=(2+a)-(a+bi=1-i 之2-之十1 2+a=1 解得=1， (a+b=1,b=2. 20.解：设之=a十bi(a,b∈R). |x=1+3i-x,.√a2+b2-1-3i+a+bi=0, 答案 即Va2++a-1=0, (b-3=0, 解得=一4， .之=-4+3i, (b=3, :1+i2(3+42-20-7+240-24+25=3+4i 2x 2(-4+3i)4-3i 21.解：(1)设之=bi(b∈R且b≠0)，则之=-bi, 因为之-之|=2√5，则|2bi=2√3，即b=√3，所以b =士√5，所以之=士√③i. (2)设之=a十bi(a,b∈R),则之=a一bi, 因为之-之|=2√5，则|2bi=2√5， 即|b=√3，之-之2=a+bi-(a-bi)2=a-a2+b2+ (b+2ab)i.因为之-之2为实数，所以b+2ab=0,因为 b1=尽，所以a=-2: 1 所以之 +(±)2=图 112 2 2 22.解：由题意，得之1 3 a+5 -(10-a2)i, 则+5-10-2+己。+(a-5i (+2a）+c2+2a-15i 因为名1十2可以与任意实数比较大小， 所以之1+2是实数，所以a2+2a-15=0, 解得a=-5或a=3. 又因为a十5≠0，所以a=8所以=号十i 之2=-1+i. 所以0Z=(食1）0z=(-1,1).所以0Z·02 号×(-1D+1x1=号 第十章复数 (B卷) 1.B[由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0，b=0或a=0,b =0a十产=a一i不一定为纯虚数：若a十冬=a一 为纯虚数，则有a=0且b≠0，这时有ab=0.综上，可 知选B.] 2.B1士-A-1i22=-合-2 1-i20191+i 2 则=了十受引在复半面内对应的点在第二象限，故 选B.] 数学B版· 3.B[设之=a十bi(a,b∈R),则之=a-bi.故2z十之= 3a=3, 2(a十bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,所以 解得 1b=-2, (a=1, 所以之=1-2i.故选B.] b=-2, 4.D [.'z2=cos20-sin20+2isin 0cos 0=cos 2 0+ isin 20, /cos20=-1, (sin28=0, 0=kx十受(k∈Z),故选D] 5.C[由已知，得 (m2-2m+2>0 (lg(m2+3m-3)=0 -2m+2>0 解得m=1或-4.] (m2+3m-3=1 6.A[因为3-i=之·(-2V5),所以之=3-图 -2√5i 8-一m2m-+-=名+停共对应的点的 (-25i)(2√5i) 12 坐标为（日号）在第一象限] 7.B[|x十2-2i=1表示圆心为点(-2,2)，半径为1 的圆，而之一2-2i表示圆上的点到点(2,2)的距离， 其最小值为3，.之-2-2i-3的最小值为0.故 选B.] 8.D[设g=r(os夸+isin音）： -2=(os答+isim） =2+r(os号+isin）r(os晋+in） =1+√5i.] 9.ABD[A正确，因为若x∈R,则|z≥0，若之=a十bi (b≠0，a,b∈R),则z=√a2十b>0.B正确.因为之1= √5，z2=√/(w2)2+(3)2=5,3|=√5，z4=5, 这些复数的对应点均在以原点为圆心，√5为半径的圆 上，C错误.因为cos0+isin8=√cos20+sin20=1为 定值，最大、最小值相等，都是1.D正确.] 10.ABD[g2=(eos是+isin意)'=cos若+isin若 +6=∴号=故BD不正 22 确，C正确.] 必修第四册 11.AB[由条件知2十ai,b十i是共轭复数，则a=一1， b=2,即实系数一元二次方程x2十p.x十g=0的两个 根是2士i,所以p=-[(2+i)+(2-i)]=-4,g=(2 +i)(2-i)=5.] 12.CD[举例说明：若之1=4十i,2=2-2i,则号=15 十8i,之号=一8i,好十号>0，但号与一之号都是虚数，不 能比较大小，故A错；因为之1一之22不一定等于（之 一2)2，故之1一之2与√(1十2)2-4212不一定相 等，B错；设之1=a十bi(a,b∈R),则=a-bi,故2 -1=2bi,当b=0时是零，当b≠0时，是纯虚数，C 正确，D显然正确.] 13.解析：由题意知m>0,(1og2m)2十16≤25，即 (10g2m)2≤9，-3≤10g2m≤3，所以2-3≤m≤22，即 ≤m≤8. 1 答案[哈] 1 4 10 4 36,共虚部为专 20 答案言 15.解析：如图，复数之对应的点在以(0,4)为圆心，半径 为2的国上.由图可知，哥≤g<经=6i时，： 取得最大值. 2 ↑y 3 最大辐角 最小辐角 x 0 答案：[]6 1解析：a.6∈R且品十Pg品即0生+ 2 b1+2i》_3i..5a+5ai+2b+4hi=15-5i, 5 2 (5a+2b=15 ,解得 a=7 \5a+4b=-5 (b=-10 .复数之=a十bi=7-10i在复平面内对应的点位于 第四象限。 答案：四 17.解：设之=a十bi,则之=a-bi(a,b∈R), ∴.(1+2i)(a-bi)=4+3i.∴.(a+2b)+(2a-b)i= 4+3i. 48 参考 +26=4, ∴.a=2,b=1,.z=2+i..z=2-i (2a-b=3, 之_2+i(2+i)2_3+4: 5 =5+5” 18.解：(1)设之=a十bi(a、b∈R),则之2=a2-b2+2abi, 由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a= b=一1，所以x=1+i或之=一1一i. (2)当之=1十i时，之2=2i,之一2=1-i,所以A(1, 1)、B(0,2)、C(1,-1),所以S△ABC=1. 当之=-1-i时，之2=2i,之-之2=-1-3i, 所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC =子X2X1=1.综上S△Ac=1. 19.解：1)因为=2i+10-21=10=103-卫=3-i, 3+i3+i 10 所以|x|=√10 (2)因为(3-i)(3-i+a)=(3-i)2+(3-i)a=8+3a- a+6i=b+i,所以8+3a=, -(a+6)=1,b=-13. 20.解：设1=x十yi(x、y∈R), .(3+i)1=(3+i)(.x+yi)=3.x-y+(x+3y)i, .x+3y=0,∴.x=-3y. 1=x十yi_（x十i)(2-iD_（-3y十yi)(2-iD .2=2干2+i 5 5 =-y十yi, |22=5√2，.22=50，.(-y)2+y2=50, .y=±5， 当y=5时，之2=-5+5i,当y=-5时，2=5-5i. 21.解：(1)因为=15-51=15-5i15-5i0(3-4D (2+i)23+4i(3+4i)(3-4i) =2575i-1-3i,所以1·2=(2-3i)(1-3i)= 25 -7-9i. (2)由之一1|=1知，之在以(2，一3)为圆心，以1为 半径的圆上，如图：之2在复平面内对应的点为 B(1,-3), 0 B.A 所以当之对应的点为A(3,一3)时，之一之2的最大值 为2. 答案 22.解：(1)由题意知△<0，.16-4p<0,解得p>4. 又x1x2=p,x1x2=x1x1=|x1|2=25,p=25. (2)x1十x2=一4，x1x2=p.若方程的判别式△≥0， 即p≤4时，方程有两个实数根x1,x2, 则|x1-x212=(.x1+x2)2-4.x1x2=16-4p=4,解 得p=3: 若方程的判别式△<0，即p>4时，方程有一对共轭 虚根x1x2, 则|x1-2=|√4p-16=√4p-16=2,解得p=5. 故实数p的值为3或5. 月考卷 (A卷) 1.D[(1+i)(2-i)=2-i+2i-2=3+i.] 2.D[-sin50°+icos50°=cos(90°+50)+isin(90° +50),∴.arg=140°.] 3.D[在锐角△ABC中，sinC= zBC·CA 9 2 X0X 2,C=60, AB=√BC2+AC2-2BC·ACcos C J62+32-2×6×3X2 =27 cos B=BC2+AB2-AC2 2BC·AB _62+(√27)2-32_5 2X6X√27 2 ∴.B=30°.] 4.A[由余弦定理得 s∠CA=Kc-表-] 2BC·AC 5.C[法-：因为+2i=D十2i=-i (1-i)2 十2i=i,所以之=1，故选C 法二：因为+1计0+D-所 1+i 6.D[设这两边分别为a,b(a>b),则a一b=2, 又两边夫角的余弦为号，则两边夹角的正孩为号， ÷7bX号=14a6=35a=7,6=5.] 9