第十章 课时分层评价54 概率与其他知识的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价54　概率与其他知识的综合问题 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：4个元素的集合的所有子集共24＝16个，设此集合为{a，b，c，d}，事件A：“所取子集中含有3个元素”，则事件A的基本事件个数为4个，即{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，所以P＝＝.故选C. 2.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元.从题中条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天.设日销售量为20个的3天分别记为a，b，c，日销售量为21个的2天分别记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种，其中选出的2天的日销售量都为21个的情况只有(A，B)1种，所以所求概率为P＝.故选A. 3.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0～25 dB(分贝)，并规定测试值在区间(0，5]为非常优秀，测试值在区间(5，10]为优秀.对500人进行了听力测试，从中随机抽取了50人的测试值作为样本，制成如图频率分布直方图，从总体的500人中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0，10]内的概率为(　　) A.0.2 B.0.8 C.0.02 D.0.08 答案：A 解析：根据频率分布直方图可知，样本中测试值在区间(0，10]内的频率为1－(0.06＋0.08＋0.02)×5＝1－0.8＝0.2，以频率估计概率，故从总体的500人中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0，10]内的概率为0.2.故选A. 4.在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a，b的值，使方程ax2＋2bx＋1＝0有2个不相等的实数根的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：(a，b)的可能取值为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共12种，其中使ax2＋2bx＋1＝0有2个不相等的实数根，即4b2＞4a，b2＞a的有8个，所以P＝＝.故选D. 5.全球智能手机市场销量持续增长乏力已经是不争的事实，但折叠屏手机却走出逆势，成为行业唯一增长的高端机品类.如图是某数据公司统计的2023年第一季度中国折叠屏手机市场份额.现有2023年第一季度中国折叠屏手机市场份额超过5％的品牌折叠屏手机各一部，从中任取2部手机，则其中有A品牌折叠屏手机的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意，知市场份额超过5％的折叠屏手机品牌有A，B，C，D，且现有这四个品牌手机各1部，共4部，从中任取2部手机，基本事件有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，其中有A品牌折叠屏手机的是AB，AC，AD，共3种，所以所求概率为P＝＝.故选B. 6.(多选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买. 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × 根据表中数据，下列结论中正确的有(　　) A.顾客购买乙商品的概率最大 B.顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2 C.顾客在甲、乙、丙、丁4种商品中同时购买3种商品的概率约为0.3 D.顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2 答案：BCD 解析：对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；对于B，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为＝0.2，故B正确；对于C，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以估计顾客在甲、乙、丙、丁4种商品中同时购买3种商品的概率为＝0.3，故C正确；对于D，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以估计顾客仅购买1种商品的概率为0.183＜0.2，故D正确.故选BCD. 7.已知a，b∈{－2，－1，1，2}，若向量m＝(a，b)，n＝(1，1)，则向量m与n所成的角为锐角的概率是　　　　. 答案： 解析：向量m与n所成的角为锐角等价于m·n＞0，且m与n的方向不同.m·n＞0，即a＋b＞0，满足此条件的向量m有(－1，2)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，其中m＝(1，1)或m＝(2，2)时，与n同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，又m的取法共有16种，所以向量m与n所成的角为锐角的概率为＝. 8.(新定义)二进制是以2为基数代表系统的二进位制，通常用0和1表示.二进制数011(2)化为十进制的计算公式如下：011(2)＝0×22＋1×21＋1×20＝3.若从二进制数11(2)，00(2)，10(2)，01(2)中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于2的概率为　　　　. 答案： 解析：由题意得，11(2)＝3，00(2)＝0，10(2)＝2，01(2)＝1，所以只有11(2)对应的十进制数大于2，所以任选一个二进制数所对应的十进制数大于2的概率为. 9.(双空题)用红、黄、蓝三种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是　　　　，3个矩形颜色都不同的概率是　　　　. 答案：　 解析：所有可能的样本点共有27(个)，如图所示： 记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A中的样本点有3个，故P＝＝.记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B中的样本点有6个，故P＝＝. 10.(13分)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得的成绩，且前5位同学的成绩如下： 编号n 1 2 3 4 5 成绩xn 70 76 72 70 72 (1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s； (2)从编号前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率. 解：(1)因为这6位同学的平均成绩为75分， 所以×(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90， 这6位同学成绩的方差s2＝×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，所以标准差s＝7. (2)从编号前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩的样本点有：(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10种. 恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的有： (70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4种， 故所求的概率为＝0.4. 即恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率为0.4. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.四张卡片的正面分别写上y＝｜cos x｜，y＝tan x＋2sin x，y＝｜sin x｜＋sin ｜x｜，y＝sin x＋cos x＋｜sin x－cos x｜，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：y＝｜cos x｜的图象是由y＝cos x的图象x轴下方的部分向上翻折形成，故周期为π；y＝tan x的周期为π，y＝2sin x的周期为2π，故y＝tan x＋2sin x的周期为2π；y＝sin ｜x｜不是周期函数，故y＝｜sin x｜＋sin ｜x｜不是周期函数，y＝sin x＋cos x＋｜sin x－cos x｜＝画出函数图象，如图所示， 根据图象知函数周期为2π.设四张卡片分别为1，2，3，4，则共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)6种选择，满足条件的只有1种，故所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为.故选D. 12.(多选)某高校承办了第七届世界智能大会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组，得到如下表格.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.则(　　) 组号 分组 频率/组距 第一组 [45，55) a 第二组 [55，65) b 第三组 [65，75) 0.045 第四组 [75，85) 0.020 第五组 [85，95] a A.a＝0.005 B.b＝0.025 C.若本次志愿者选拔录取率为19％，则录取分数线为80 D.现采用分层随机抽样的方法，从第四、五组的志愿者中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，则选出的2人来自同组的概率为 答案：ABD 解析：由题意可知10a＋(0.045＋0.02)×10＝0.7，(2a＋b＋0.045＋0.02)×10＝1，解得a＝0.005，b＝0.025，故A、B正确；由题表得成绩在[75，85)和[85，95]的频率分别为0.020×10＝0.2和0.005×10＝0.05，若本次志愿者选拔录取率为19％，则录取分数线应落在第四组，设录取分数线为x，则0.02×(85－x)＋0.05＝0.19，解得x＝78，故C错误；成绩在[75，85)和[85，95]的频率的比值为＝4，故应从第四组和第五组中分别选取4人和1人，分别设为a1，a2，a3，a4和b1，则从这5人中随机抽取2人的样本空间包含的样本点有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a4，b1)，共10个，记事件A表示“2人来自同组”，则事件A包含的样本点有，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共6个，所以P＝＝，故D正确.故选ABD. 13.我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果.已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为　　　　. 答案： 解析：因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，所以小明父亲的基因型可能是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为，，.当小明父亲的基因型是AA时，因为小明母亲的血型为AB型，所以小明的基因型是AA，AB，它们对应的概率均为，则小明是A型血的概率为×＝；当小明父亲的基因型是AB时，因为小明母亲的血型为AB型，所以小明的基因型是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为，，，则小明是A型血的概率为×＝；当小明父亲的基因型是BB时，因为小明母亲的血型为AB型，所以小明的血型不可能是A型.所以小明是A型血的概率为＋＝. 14.(15分)为培养青少年的阅读兴趣、养成阅读习惯、提高阅读能力，不断增强思想道德素质和科学文化素质，某市中小学(幼儿园)实施“大阅读工程”.某学校有小学生600人，初中生400人，为了解全校学生的课外阅读时间，学校采用分层随机抽样的方法，抽取了100名学生的阅读登记册，对11月和12月(按60天计算)的课外阅读时间进行统计调查，并将样本中的小学生和初中生按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，得其频率分布直方图如图所示. (1)活动规定：小学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时，若该校小学生课外阅读的平均时间低于规定时间，则学校应适当增设阅读课.根据以上抽样调查数据判断该校是否需要在小学部增设阅读课(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)从课外阅读时间不足10小时的样本中随机抽取3人，求其中至少有2名小学生的概率. 解：(1)由题图得小学生的课外阅读时间在[30，40)内的频率为1－0.05－0.3－0.4－0.05＝0.2， 故样本中小学生11月和12月的课外阅读时间的平均数为5×0.05＋15×0.3＋25×0.4＋35×0.2＋45×0.05＝24(小时)，所以平均每人每天课外阅读时间为＜0.5，故按活动规定该校需要在小学部增设阅读课. (2)小学生中课外阅读时间不足10小时的人数为×100×0.005×10＝3，初中生中课外阅读时间不足10小时的人数为×100×0.005×10＝2.记小学生的3人分别为a1，a2，a3，初中生的2人分别为b1，b2，从这5人中随机抽取3人，有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种情况，其中至少有2名小学生的有7种情况，所以所求概率为. 15.(5分)班级举行知识竞猜闯关活动，设置了A，B，C三个问题.答题者可自行决定答题顺序.甲有60％的可能答对问题A，80％的可能答对问题B，50％的可能答对问题C.记答题者连续答对两题的概率为p，要使得p最大，他应该先回答(　　) A.问题A B.问题B C.问题A，B和C都可以 D.问题C 答案：D 解析：①若先回答问题A，则答题顺序可能为A，B，C和A，C，B，当答题顺序为A，B，C且连对两题时，p＝0.6×0.8×(1－0.5)＋(1－0.6)×0.8×0.5＝0.4；当答题顺序为A，C，B且连对两题时，p＝0.6×0.5×(1－0.8)＋(1－0.6)×0.5×0.8＝0.22.所以先回答问题A，连对两题的概率为0.4＋0.22＝0.62；②若先回答问题B，则答题顺序可能为B，A，C和B，C，A，当答题顺序为B，A，C且连对两题时，p＝0.8×0.6×(1－0.5)＋(1－0.8)×0.6×0.5＝0.3；当答题顺序为B，C，A且连对两题时，p＝0.8×0.5×(1－0.6)＋(1－0.8)×0.5×0.6＝0.22.所以先回答问题B，连对两题的概率为0.3＋0.22＝0.52；③若先回答问题C，则答题顺序可能为C，A，B和C，B，A，当答题顺序为C，A，B且连对两题时，p＝0.5×0.6×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.6×0.8＝0.3；当答题顺序为C，B，A且连对两题时，p＝0.5×0.8×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.8×0.6＝0.4.所以先回答问题C，连对两题的概率为0.3＋0.4＝0.7.因为0.7＞0.62＞0.52，所以要使p最大，应先回答问题C.故选D. 16.(17分)为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村旅游项目.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图. (1)若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数； (2)从(1)中的5人中随机抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，请列出所有的样本点，并求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率； (3)为吸引游客，该村特推出两种促销方案： 方案一：每满80元可减8元； 方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折. 若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠. 解：(1)由题图可知，消费金额在[80，100)内的“水果达人”的人数为200×20×0.007 5＝30，消费金额在[100，120]内的“水果达人”的人数为200×20×0.005 0＝20，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，则这5人中消费金额不低于100元的人数为5×＝2. (2)消费金额在[80，100)内的3个“水果达人”记为A，B，C，消费金额在[100，120]内的2个“水果达人”记为a，b. 所有样本点有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种， 2人中至少有1人消费金额不低于100元的有7种， 所以2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率为. (3)由题可知该游客要购买110元的水果. 若选择方案一，则需支付110－8＝102(元)， 若选择方案二，则需支付50＋(80－50)×0.9＋(100－80)×0.8＋(110－100)×0.7＝100(元)， 所以应该选择方案二更优惠. 学科网（北京）股份有限公司 $