第十章 课时分层评价52 事件的相互独立性-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价52　事件的相互独立性 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.若P＝，P＝，P＝，则事件A与B的关系是(　　) A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.无法判断 答案：B 解析：因为P＝，所以P＝，又P＝，所以事件A与事件B不对立.又因为P＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但一定不互斥.故选B. 2.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则事件M与N相互独立，P(M)＝＝，P(N)＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.故选C. 3.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙的考试成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人的考试成绩互不影响，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为(　　) A.0.42 B.0.28 C.0.18 D.0.12 答案：D 解析：由题意知，甲、乙的考试成绩未达到优秀的概率分别为0.4，0.3，由于两人的考试成绩互不影响，所以甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为0.4×0.3＝0.12.故选D. 4.某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，且互不影响，则他最终通过面试的概率为(　　) A.0.7 B.0.91 C.0.973 D.0.981 答案：C 解析：由题意知，小王最终通过面试的概率P＝0.7＋0.3×0.7＋0.3×0.3×0.7＝0.973.故选C. 5.(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是(　　 ) A.2个球都是红球的概率为 B.2个球中恰有一个红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球不都是红球的概率为 答案：ABD 解析：对于A，P＝×＝，故A正确；对于B，P＝×＋×＝，故B正确；对于C，P＝1－×＝，故C错误；对于D，P＝1－×＝，故D正确.故选ABD. 6.(多选)在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则(　　) A.事件B与事件C是互斥事件 B.事件A与事件B是相互独立事件 C.P(A)P(B)P(C)＝ D.P(ABC)＝ 答案：BC 解析：对于A，事件B与事件C有可能同时发生，故不是互斥事件，故A错误；对于B，易知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，因为P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B是相互独立事件，故B正确；对于C，易知P(C)＝，所以P(A)P(B)P(C)＝，故C正确；对于D，事件ABC表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故P(ABC)＝，故D错误.故选BC. 7.在某次射击比赛中，甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为　　　　. 答案： 解析：若三人均未击中目标，则概率为××＝，所以目标被击中的概率P＝1－＝. 8.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不影响.已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为　　　　. 答案： 解析：记师傅加工2个零件都是精品的概率为P(A)，则P(A)＝×＝，徒弟加工2个零件都是精品的概率为P(B)，则师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝，解得P(B)＝，故徒弟加工2个零件都是精品的概率为. 9.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且每个开关是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率为　　　　. 答案： 解析：记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D开关闭合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条线路同时断开的概率为P()P(＝××(1－×)＝，所以灯亮的概率为1－＝. 10.(13分)某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节.现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是，，，，且每个环节是否通过互不影响.求： (1)此人进入第四环节才被淘汰的概率； (2)此人至多进入第三环节的概率. 解：(1)由相互独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四环节才被淘汰的概率为×××＝. (2)此人进入第一环节被淘汰的概率为1－＝；此人进入第二环节被淘汰的概率为×＝；此人进入第三环节被淘汰的概率为××＝，所以此人至多进入第三环节的概率为＋＋＝. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.一次射击比赛中，若某选手连续2次未击中目标，则该选手中止射击.已知甲每次击中目标的概率是，且甲每次射击是否击中目标相互之间没有影响，则甲恰好射击5次后被中止的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：甲每次击中目标的概率是，则甲没有击中目标的概率是1－＝.甲恰好射击5次后被中止的情况是前2次至少击中目标1次，第3次击中目标，第4，5次均没有击中目标，所以甲恰好射击5次后被中止的概率为×××＝.故选A. 12.(多选)已知出租车司机从饭店到火车站途中经过三个交通岗.假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，则(　　) A.这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为 B.这位司机到达火车站途中只遇到一次红灯的概率为 C.这位司机一路都未遇到红灯的概率为 D.这位司机一路遇到两次红灯的概率为 答案：ACD 解析：对于A，概率P1＝××＝，故A正确；对于B，概率P2＝××＋××＋××＝，故B错误；对于C，概率P3＝××＝，故C正确；对于D，概率P4＝××＋××＋××＝，故D正确.故选ACD. 13.(双空题)猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.假设每道灯谜被同一个同学猜对的可能性都相等.任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为　　　　；若甲、乙、丙三位同学中至少有一个人猜对的概率为，则n的值为　　　　. 答案：　10 解析：设事件A＝“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B＝“任选一道灯谜，乙猜对”，事件C＝“任选一道灯谜，丙猜对”，则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝，故P()＝，P()＝，P()＝1－，“甲、乙两位同学恰有一个人猜对”即A ＋B，且A B互斥.每位同学独立竞猜，故A，B相互独立，则A与，与B，均相互独立，所以P(A ＋B)＝P(A )＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.设事件D＝“甲、乙、丙三位同学中至少有一个人猜对”，则＝，所以P(D)＝1－P()＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－××＝，解得n＝10. 14.(15分)为践行健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时.求： (1)甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率. 解：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝. (1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况.都付0元的概率为P1＝×＝；都付2元的概率为P2＝×＝；都付4元的概率为P3＝×＝. 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率P＝P1＋P2＋P3＝. (2)设“甲、乙两人所付的租车费用之和为4元”为事件A，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元.所以P(A)＝×＋×＋×＝，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为. 15.(5分)小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：记“小刚正确解答A，B，C三道题”分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且P(D)＝P(E)＝a，P(F)＝.恰好能答对两道题为事件DE ＋D F＋EF，且DE ，D F，EF两两互斥，所以P(DE ＋D F＋EF)＝P(DE )＋P(D F)＋P(EF)＝P(D)P(E)P()＋P(D)P()P(F)＋P()P(E)P(F)＝a×a×＋a×(1－a)×＋(1－a)×a×＝，整理得(1－a)2＝，他三道题都答错为事件，故P()＝P()P()P()＝(1－a)2×＝(1－a)2＝.故选C. 16.(17分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.求： (1)甲连胜四场的概率； (2)需要进行第五场比赛的概率； (3)丙最终获胜的概率. 解：(1)甲连胜四场的概率为＝. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场，其概率为；乙连胜四场，其概率为； 丙上场后连胜三场，其概率为.所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜，其概率为；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，. 因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $