第十章 课时分层评价48 有限样本空间与随机事件-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价48　有限样本空间与随机事件 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.下列事件中，随机事件的个数为(　　) ①三角形的内角和为180°；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：A 解析：①三角形的内角和为180°是必然事件，②三角形中大边对大角，大角对大边是必然事件，③三角形中两个内角和可能小于90°，可能等于90°，可能大于90°，是随机事件，④三角形中任意两边的和大于第三边是必然事件，所以随机事件的个数为1.故选A. 2.从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：B 解析：由题意，M＝{甲乙，甲丙，甲丁}，所以事件M含有3个样本点.故选B. 3.投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是(　　) A.一枚是3点，一枚是1点 B.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 C.两枚都是4点 D.两枚都是2点 答案：B 解析：投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是“一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点”.故选B. 4.一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为(　　) A.10 B.15 C.16 D.17 答案：C 解析：为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，需满足k－1≥7＋8，即k的最小值为16.故选C. 5.(多选)袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是(　　) A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球标号都大于3 D.取出的两球标号的和为8 答案：ABC 解析：取出的两球标号为3和7是基本事件，故A正确；取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是基本事件，故B正确；取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是基本事件，故C正确；取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7，3和5，是两个样本点，故D不正确.故选ABC. 6.(多选)在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是(　　) A.5件都是正品 B.至少有1件次品 C.有3件次品 D.至少有3件正品 答案：AB 解析：在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”“至少有1件次品”，都是随机事件，故A、B符合题意；在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，故C不符合题意；在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，故D不符合题意.故选AB. 7.现有一项关于运动与降低血压之间关联性的试验研究，试验将志愿者分为人数相等且为偶数的两组，第一组每天静坐1小时，第二组每天快走1小时，每组一半人服用降压药，另一半服用安慰剂.用a，b，c和d分别表示静坐的、快走的、服用降压药的和服用安慰剂的志愿者.若从这些人中随机抽取1人，则该试验的样本空间为　　　　. 答案：{ac，ad，bc，bd} 解析：由题意可知，该试验的样本空间为{ac，ad，bc，bd}. 8.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝　　　　. 答案：{0，2，4，6，8} 解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0. 9.连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面朝上的情况.事件A＝“正面朝上的次数不超过反面朝上的次数”中含有　　　　个样本点. 答案：4 解析：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则A＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，即事件A中含有4个样本点. 10.(13分)有两个质地均匀的正四面体玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用x表示第1个正四面体玩具向下一面的点数，y表示第2个正四面体玩具向下一面的点数，试验的样本点用(x，y)表示. (1)写出试验的样本空间Ω； (2)用集合表示下列事件：M＝“向下一面的点数之和大于3”；N＝“向下一面的点数相等.” 解：(1)样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}. (2)M＝{(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，N＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：任取2个数：(1)不取4，应为2＋3＞4.(2)取4时，1＋4＞4，2＋4＞4，3＋4＞4.综上，共包含4个样本点.故选C. 12.将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为(　　 ) A.6 B.17 C.19 D.21 答案：C 解析：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，因为方程ax2＋bx＋1＝0(a＞0)有实数解，所以Δ＝b2－4a≥0，则M＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，共含19个样本点.故选C. 13.某个部件由三个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，用x1，x2，x3分别表示元件1，元件2，元件3，则样本点表示为(x1，x2，x3)，且“1”表示元件正常工作，“0”表示元件不能正常工作，则部件能正常工作的基本事件有　　　　　　. 答案：(1，1，1)，(1，0，1)，(0，1，1) 解析：试验的样本空间可记为Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}，其中部件正常工作的基本事件有(1，1，1)，(1，0，1)，(0，1，1). 14.(15分)汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形. 小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小慧获胜. (1)写出该试验的样本空间Ω； (2)设小敏获胜为事件A，试用样本点表示A. 解：(1)每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示： 　　　第二张卡片 第一张卡片　　　　 土 口 木 土 (土，土) (土，口) (土，木) 口 (口，土) (口，口) (口，木) 木 (木，土) (木，口) (木，木) 所以Ω＝{(土，土)，(土，口)，(土，木)，(口，土)，(口，口)，(口，木)，(木，土)，(木，口)，(木，木)}. (2)能组成上下结构的汉字的样本点为(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木). 所以A＝{(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)}. 15.(5分)将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，观察取到的小正方体的情况，若事件B为“从小正方体中任取1个，恰有两面涂有颜色”，那么事件B含有　　　　个样本点. 答案：12 解析：每条棱的中间位置上有一个是两个面涂有颜色的小正方体，共12个. 16.(17分)某城市围绕“强化依法治水，携手共护母亲河”这一主题，开展了形式多样、内容丰富的活动，进一步增强了全民保护水资源、防治水污染、节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计这300名业主评分的众数和中位数； (2)现用分层随机抽样的方法从评分在[90，95)和[95，100]内的业主中抽取5人，然后从抽出的这5名业主中任意选取2人进行访谈，写出这个试验的样本空间. 解：(1)第三组的频率为1－(0.020＋0.025＋0.030＋0.035＋0.050)×5＝0.200， 所以a＝＝0.040. 因为0.025×5＋0.035×5＋0.200＝0.500，所以这300名业主评分的中位数为85，众数为＝87.5. (2)由频率分布直方图，知评分在[90，95)内的人数与评分在[95，100]内的人数的比为3∶2，所以用分层随机抽样的方法抽取5人，其中评分在[90，95)内的有3人，评分在[90，100]内的有2人. 记评分在[90，95)内的3人分别为A1，A2，A3，评分在[95，100]内的2人分别为B1，B2，则试验的样本空间为{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}. 学科网（北京）股份有限公司 $