第六章 课时分层评价19 解三角形中的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价19　解三角形中的综合问题 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝(　　) A.2 B.2 C. D. 答案：D 解析：由正弦定理得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B＝sin A，所以＝.故选D. 2.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为 A.5 B.5 C.6 D.10 答案：B 解析：在△ADC中，cos ∠ADC＝＝－.因为0＜∠ADC＜π，所以∠ADC＝，所以∠ADB＝.在△ADB中，＝⇒AB＝5.故选B. 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝(　　) A. B. C.2 D.3 答案：A 解析：因为b2＋c2－a2＝bc，所以cos ∠BAC＝＝.因为B＝，所以∠BAC∈，所以∠BAC＝，所以C＝，所以＝，所以c＝×＝2.因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠BAC＝，所以∠AEB＝π－－＝，所以＝，所以AE＝＝×sin ＝×＝.故选A. 4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b－asin A＝bcos 2A，a＝1，且AC边上的中线BM＝，则c＝(　　) A.3 B. C.1或2 D.2或3 答案：C 解析：因为b－asin A＝bcos 2A，所以sin B－sin2A＝sin B(1－2sin2A)，所以sin2A＝2sin Bsin2A.因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin B＝，所以cos B＝或－.因为BM是AC边上的中线，所以＝＋)，两边平方得，｜｜2＝＋)2＝(｜｜2＋2·＋｜｜2)，即＝(c2＋2cacos B＋a2).当cos B＝时，＝(c2＋c＋1)，即c2＋c－2＝0，解得c＝1或－2(舍去)；当cos B＝－时，＝(c2－c＋1)，即c2－c－2＝0，解得c＝2或－1(舍去).综上所述，c＝1或2.故选C. 5.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝b＝3，B＝2C，则下列结论正确的是(　　) A.sin C＝ B.a＝ C.a＝c D.S△ABC＝2 答案：AB 解析：因为B＝2C，所以sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C，由正弦定理知＝.因为c＝b，所以cos C＝，sin C＝＝，即A正确；由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C，所以9＝a2＋(2)2－2a×(2)×，即a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1，若a＝3，则A＝C＝，此时cos C＝，与题意不符，所以a＝1＝，即B正确，C错误；S△ABC＝absin C＝×1×2×＝，即D错误.故选AB. 6.(多选)在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos ∠BAC＝，以下结论正确的是(　　) A.AB＝8 B.＝ C.AB＝6 D.△ABD的面积为 答案：BCD 解析：如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos2α－1＝，且0＜α＜，所以cos α＝，在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝ADcos α＝.在Rt△ACB中，AB＝＝×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理，＝＝×＝，故B正确；因为cos α＝，且0＜α＜，所以sin α＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin α＝×6×＝，故D正确.故选BCD. 7.已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2bcos B，则AC边上的中线长为　　　　. 答案： 解析：由题意结合正弦定理得sin C＝2sin Bcos B，即sin C＝sin 2B.因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝180°.当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C＋2B＝180°时，B＝30°，故A＝30°，因此a＝b.因为△ABC的面积为，所以a·a·＝，解得a＝2(负值舍去)，即a＝b＝2，c＝2bcos B＝2.设AC边的中点为D，则＝＋)，因此｜｜＝＝＝＝. 8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，A＝，·＝，AD是△ABC的角平分线，则AD的长为　　　　. 答案： 解：由A＝，·＝，得cbcos ＝，所以bc＝3.又a＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc＋bc＝12，可得b＋c＝＝.因为S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，所以bcsin ＝b·AD·sin ＋c·AD·sin ，所以AD＝＝＝. 9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝6，1≤b≤4，则sin A的取值范围为　　　　. 答案： 解析：因为C＝，a＝6，1≤b≤4，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝(b－3)2＋27，所以c2＝(b－3)2＋27∈[27，31]，所以c∈[3，]，所以由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈. 10.(13分)已知f(x)＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)(sin x－cos x)，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得到g(x)的图象. (1)求函数g(x)的解析式； (2)设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若g(B)＝1，且b＝4，求△ABC面积的最大值. 解：(1)依题意，f(x)＝sin 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－). 所以g(x)＝f(x－)＝2sin［2(x－)－］＝2sin(2x－)＝－2cos 2x. (2)由(1)知g(B)＝－2cos 2B＝1， 解得cos 2B＝－. 在锐角△ABC中，0＜B＜， 即0＜2B＜π，则2B＝，解得B＝. 由余弦定理得16＝b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac， 当且仅当a＝c＝4时取等号. 于是S△ABC＝acsin B＝ac≤4，所以△ABC面积的最大值为4. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在△ABC中，AD为∠A的平分线，D在线段BC上，若｜AB｜＝2，｜AD｜＝｜AC｜＝1，则｜BD｜＝(　　) A. B. C.2 D. 答案：B 解析：如图所示， 依题意设∠BAD＝∠CAD＝θ，由S△ABC＝S△ABD＋S△ADC可得｜AB｜｜AC｜sin 2θ＝｜AB｜｜AD｜sin θ＋｜AC｜｜AD｜sin θ，即sin 2θ＝sin θ＋sin θ＝sin θ，即2sin θcos θ＝sin θ，显然sin θ≠0，可得cos θ＝.在△ABD中，由余弦定理可得cos θ＝＝＝，解得｜BD｜＝.故选B. 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为(　　) A.8 B.6 C.3 D.4 答案：D 解析：因为BC边上的高为a，所以S△ABC＝a×a＝bcsin A，所以a2＝2bcsin A.由余弦定理得2bcsin A＝b2＋c2－2bccos A，整理得＝2sin A＋2cos A，即＋＝4sin(A＋).因为A∈(0，π)，所以A＋∈，所以当A＋＝，即A＝时，4sin (A＋)有最大值，且最大值为4.所以＋的最大值为4.故选D. 13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是　　　　. 答案：4 解析：设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x.在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6xcos θ　①.在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18xcos θ　②.联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2　③.在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　④.联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc(当且仅当3b＝c时，等号成立)，所以bc≤16，所以S△ABC＝bcsin ≤×16×＝4. 14.(15分)已知△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积S＝tan C. (1)证明：C＝2A； (2)若CD为∠ACB的平分线，交AB于点D，且a＝，CD＝1，求BD的长. 解：(1)证明：因为S＝tan C＝absin C，化简得2acos C＝b－a. 由正弦定理＝＝，得2sin Acos C＝sin B－sin A. 又sin B＝sin ＝sin ＝sin Acos C＋cos Asin C，所以2sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C－sin A，整理得sin ＝sin A. 又A，C为△ABC的内角，所以C－A＝A，即C＝2A. (2)因为CD为∠ACB的平分线，且C＝2A，所以∠ACD＝∠A＝∠DCB， 所以AD＝CD＝1. 在等腰三角形ACD中，cos A＝＝.① 又S△ABC＝S△ACD＋S△BCD， 所以absin C＝bsin A＋asin A， 则·2absin Acos A＝bsin A＋asin A， 化简得2abcos A＝b＋a. 又a＝，所以bcos A＝b＋.②. ①代入②，得6b2－5b－6＝0， 解得b＝或b＝－(舍去)， 所以cos A＝＝. 在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋a2－2CD·acos A＝1＋－2××＝，所以BD＝. 15.(5分)(多选)如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2b·sin B，∠CAB＝，若D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3，则下列说法正确的是(　　) A.B＝ B.∠ACB＝ C.四边形ABCD面积的最大值为＋3 D.四边形ABCD的面积无最大值 答案：ABC 解析：因为(acos C＋ccos A)＝2bsin B，所以由正弦定理可得(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin2B，所以sin(A＋C)＝2sin2B，所以sin B＝2sin2B.又因为sin B≠0，所以sin B＝.因为∠CAB＝，所以B∈(0，)，所以B＝，所以∠ACB＝π－∠CAB－B＝，故A、B正确；S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin ∠ADC＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC)＋AD·DC·sin ∠ADC＝×(9＋1－6cos ∠ADC)＋×3×1×sin ∠ADC＝＋3sin (∠ADC－)≤＋3，当且仅当∠ADC－＝，即∠ADC＝时，等号成立，故C正确，D错误.故选ABC. 16.(17分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin (A－)sin (A＋)＝－. (1)求角A的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，a＝1，求△ABC周长的取值范围. 解：(1)因为sin (A－)sin (A＋)＝－， 所以(sin A－cos A)(－sin A＋cos A)＝－，即sin Acos A－sin2A－cos2A＝－，所以sin 2A－(1－cos 2A)－(1＋cos 2A)＝－，整理可得sin 2A＋cos 2A＝，所以可得sin (2A＋)＝. 因为A∈(0，π)，可得2A＋∈(，)，所以2A＋＝，可得A＝. (2)由正弦定理＝＝，且a＝1，A＝，所以b＝sin B，c＝sin C， 所以a＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C) ＝1＋·［sin B＋sin (－B)］ ＝1＋2sin(B＋). 因为△ABC为锐角三角形， 所以＜B＜， 所以＜B＋＜， 所以1＋2sin(B＋)∈(1＋，3]，即△ABC周长的取值范围是(1＋，3]. 学生用书⬇第54页 学科网（北京）股份有限公司 $