第六章 课时分层评价12 平面向量中的最值、范围问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价12　平面向量中的最值、范围问题 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝2，AD＝，∠BAD＝90°，若P为线段AB上一动点，则·的最大值为(　　) A.2 B.3 C.6 D.7 答案：C 解析：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(3，0)，C(2，)，D(0，).设P(x，0)，其中0≤x≤3，则＝(x－2，－)，＝(x，－)，所以·＝x(x－2)＋3＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x＝3时，·有最大值6.故选C. 2.若单位向量e1，e2的夹角为120°，则当｜e1－λe2｜(λ∈R)取得最小值时，λ的值为(　　) A.－2 B.－1 C.－ D. 答案：C 解析：由题意知e1·e2＝cos 120°＝－.因为｜e1－λe2｜2＝λ2＋λ＋1，所以当λ＝－时，｜e1－λe2｜取得最小值.故选C. 3.设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，｜a＋tb｜的最小值为1，则(　　) A.若θ确定，则｜a｜唯一确定 B.若θ确定，则｜b｜唯一确定 C.若｜a｜确定，则θ唯一确定 D.若｜b｜确定，则θ唯一确定 答案：A 解析：如图所示，记＝a，＝b，＝tb，则＝a＋tb，则当b⊥(a＋tb)时，｜a＋tb｜取得最小值1，若θ确定，则｜a｜唯一确定，｜b｜不唯一确定；若｜a｜确定，θ可能有两解(图中＝a或＝a)，若｜b｜确定，则a不唯一确定，从而θ也不唯一确定.故选A. 4.已知平面向量a，b满足｜a｜＝2，a与a－b的夹角为120°，记m＝ta＋(1－t)b(t∈R)，则｜m｜的取值范围为(　　) A.[，＋∞) B.[，＋∞) C.[1，＋∞) D. 答案：A 解析：设a＝，b＝，如图所示.则a－b＝－＝.因为a与a－b的夹角为120°，所以∠OAB＝120°，∠OAC＝60°，因为m＝ta＋(1－t)b(t∈R)，且t＋1－t＝1，m，a，b的起点相同，所以其终点共线，即在直线AB上，所以当m⊥时，｜m｜最小，最小值为，无最大值，所以｜m｜的取值范围为[，＋∞).故选A. 5.(多选)已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(λ，－1)，λ∈R，μ∈R，则(　　) A.若a∥c，则λ＝ B.若(a＋2b)⊥c，则λ＝4 C.若a＝tb＋c，则λ＋t＝－4 D.｜a＋μb｜的最小值为 答案：ABD 解析：对于A，已知a∥c，则(－3)×(－1)＝2×λ，解得λ＝，故A正确；对于B，a＋2b＝(1，4)，由于(a＋2b)⊥c，则1×λ＋4×(－1)＝0，解得λ＝4，故B正确；对于C，由于a＝tb＋c，则(－3，2)＝t(2，1)＋(λ，－1)＝(2t＋λ，t－1)，得故λ＋t＝－6，故C不正确；对于D，a＋μb＝(－3＋2μ，2＋μ)，｜a＋μb｜＝＝＝≥＝，当μ＝时等号成立，即｜a＋μb｜的最小值为，故D正确.故选ABD. 6.(多选)如图，正方形ABCD的边长为2，动点P在正方形内部及边上运动，＝λ＋μ，则下列结论正确的有(　　) A.点P在线段BC上时，·为定值 B.点P在线段CD上时，·为定值 C.λ＋μ的最大值为2 D.使λ＋2μ＝的点P轨迹长度为 答案：AC 解析：以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点P(x，y)(0≤x≤2，0≤y≤2)，则＝(2，0)，＝(0，2)，＝(x，y)，·＝2x.当点P在线段BC上时，x＝2，·＝2x＝2×2＝4，故A正确；当点P在线段CD上时，x不是定值，·＝2x不为定值，故B错误；由＝λ＋μ，得(x，y)＝λ(2，0)＋μ(0，2)＝(2λ，2μ)，则λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝(x＋y)，故当x＝y＝2时，即当点P与点C重合时，λ＋μ取得最大值2，故C正确；由λ＋2μ＝，得＋y＝，直线＋y＝交x轴于点E(1，0)，交y轴于点F(0，)，所以使λ＋2μ＝的点P轨迹为线段EF，且｜EF｜＝＝，故D错误.故选AC. 7.已知向量a，b满足｜a｜＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b的夹角的最大值为　　　　. 答案： 解析：设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π].因为(a－b)⊥(3a－b)，所以(a－b)·(3a－b)＝0，整理可得3a2－4a·b＋b2＝0，即3｜a｜2－4a·b＋｜b｜2＝0.将｜a｜＝1代入得3－4｜b｜cos θ＋｜b｜2＝0，整理可得cos θ＝＋≥2＝，当且仅当＝，即｜b｜＝时取等号，故cos θ≥，结合θ∈[0，π]，可知θ的最大值为. 8.(双空题)已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的中点，则·的值为　　　　，若点E是AB边上的动点，则｜·｜的最大值为　　　　. 答案：1　1 解析：如图分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，＝(0，－1)，＝(1，1).若点E是AB边上的中点，则E，所以＝(，－1)，所以·＝0×＋(－1)×(－1)＝1.若点E是AB边上的动点，设E(x，0)(0≤x≤1)，所以＝(x，－1)，所以｜·｜＝｜x－1｜，由0≤x≤1，可得0≤｜·｜≤1，所以当x＝0时，｜·｜的最大值为1. 9.已知菱形ABCD的边长为a(a＞0)，则｜｜的取值范围是　　　　. 答案：(0，2a) 解析：如图所示，易知＝＋，且｜｜＝｜｜＝a，〈，〉∈(0，π)，所以｜｜2＝(＋)2＝a2＋a2＋2a2cos 〈，〉，易知cos 〈，〉∈(－1，1)，所以｜｜2＝a2＋a2＋2a2cos 〈，〉∈(0，4a2)，因此｜｜∈(0，2a). 10.(13分)已知·＝0，M是线段BC的中点. (1)若｜｜＝2｜｜，求向量－与向量＋的夹角的余弦值； (2)若O是线段AM上任意一点，且｜｜＝2｜｜＝2，求·＋·的最小值. 解：因为·＝0，所以⊥，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. (1)令｜｜＝a，则C(0，a)，B(2a，0)，所以－＝(2a，－a)，＋＝(2a，a). 设向量－＋的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝. (2)因为｜｜＝2｜｜＝2，则C(0，1)，B(2，0)，M(1，)，设O(x，)，x∈， 所以·＋·＝·(＋)＝2·＝2(－x，－)·(1－x，－)＝2(x2－x＋－)＝(x2－x)＝(x－)2－，因为x∈[0，1]，所以当x＝时，·＋·取得最小值－. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.如图，延长线段AB到点C，使得＝2，D点在线段BC上运动，点O∉直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是(　　) A. B. C. D.[－1，1] 答案：C 解析：不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1].由平面向量三点共线可知，＝＋，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，x∈[0，1]，则λμ＝－＝－(x2＋2x)，所以λμ∈.故选C. 12.(多选)在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形(含边)内，满足＝x ＋y，则下列结论正确的是(　　) A.若点P在BD上，则x＋y＝1 B.x＋y的取值范围为[1，2] C.若点P在BD上，则·＝4 D.若P，Q在线段BD上，且｜｜＝2，则·的最小值为1 答案：ACD 解析：当点P在BD上时，因为＝x＋y，所以x＋y＝1，故A正确；因为P在边长为2的正方形ABCD(含边)内，且＝x ＋y，所以x∈[0，1]，y∈[0，1]，则x＋y∈[0，2]，故B错误；当点P在BD上时，＝x ＋y＝x ＋(1－x)，＝＋，所以·＝[x ＋(1－x)]·(＋)＝x＋(1－x)＝4，故C正确；若P，Q在线段BD上，且｜｜＝2，如图建立平面直角坐标系，设P(a，2－a)，则Q(a＋，2－－a)，a∈[0，2－]，所以·＝(a，2－a)·(a＋，2－－a)＝a(a＋)＋(2－a)(2－－a)＝2a2－(4－2)a＋4－2＝2＋1，所以当a＝时，·有最小值为1，故D正确.故选ACD. 13.如图，扇形AOB中，点C是上一点，且∠AOB＝.若＝x＋y，则x＋y的最大值为　　　　　　　. 答案： 解析：由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为2a，由∠AOB＝，可得A(－a，a)，B(2a，0).设C(2acos θ，2asin θ)，θ∈.由＝x ＋y ，可得(2acos θ，2asin θ)＝x(－a，a)＋y(2a，0)，所以则x＋y＝2sin θ＋cos θ＝sin (θ＋φ)，其中tan φ＝，所以当sin (θ＋φ)＝1时，x＋y有最大值. 14.(15分)已知a，b，c为平面向量，｜a｜＝2，｜b｜＝，｜c｜＝1，(a－c)·(b－c)＝5. (1)求a·b的取值范围； (2)设a＋b与a－b的夹角为β，求cos β的最小值. 解：(1)因为(a－c)·(b－c)＝5，所以a·b－c·(a＋b)＋c2＝5. 因为｜c｜＝1，所以a·b－c·(a＋b)＝4. 设c与a＋b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由上式可得a·b－｜c｜·｜a＋b｜·cos θ＝4. 又｜a＋b｜＝＝＝，所以cos θ＝. 令m＝a·b，a与b的夹角为α，α∈[0，π]，所以m＝a·b＝｜a｜·｜b｜cos α＝2cos α，所以－2≤m≤2. 因为｜cos θ｜＝＝≤1， 所以m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9. 综上可得1≤m≤2，即1≤a·b≤2. 所以a·b的取值范围为[1，2]. (2)因为cos β＝ ＝＝， 所以由(1)可知，当a·b＝1时，cos β的值最小，代入，得cos β＝＝，所以cos β的最小值为. 15.(5分)(多选)设e1，e2均为单位向量，对任意的实数t有≤恒成立，则(　　) A.e1与e2的夹角为 B.＝ C.｜e2－te1｜的最小值为 D.｜e2＋t(e1－e2)｜的最小值为 答案：BD 解析：对于A，设e1，e2的夹角为θ，≤｜e1＋te2｜，两边平方可得＋cos θ≤t2＋2tcos θ＋1，即t2＋2cos θ×t－－cos θ≥0对任意的t恒成立，故可得Δ＝4cos2θ＋4cos θ＋1≤0，即(2cos θ＋1)2≤0，则cos θ＝－.又θ∈[0，π]，故θ＝π，故A错误；对于B，＝＝，故B正确；对于C，｜e2－te1｜＝＝＝≥，当且仅当t＝－时取等号，故C错误；对于D，｜e2＋t(e1－e2)｜＝＝，令y＝3t2－3t＋1，当且仅当t＝时，y取得最小值，故｜e2＋t(e1－e2)｜的最小值为，故D正确.故选BD. 16.(17分)如图所示，圆O是边长为4的正方形ABCD的内切圆，S为圆周上一点，过S作AB，AD的垂线，垂足分别为M，N.设p＝·，q＝·. (1)求pq的取值范围； (2)求的最小值. 解：(1)如图所示，以O为原点，平行于BA的直线为x轴，平行于DA的直线为y轴建立平面直角坐标系. 设点S(2cos α，2sin α)，由题可知A(2，2)，B(－2，2)，M(2cos α，2)，N(2，2sin α)， p＝4cos α＋4，q＝－4＋4sin α， 所以pq＝16(cos α＋1)(sin α－1) ＝16(cos αsin α＋sin α－cos α－1). 令sin α－cos α＝t∈， 则cos αsin α＝，pq＝－8(t－1)2， 所以当t＝－时，pq有最小值为－8(3＋2)＝－24－16， 当t＝1时，pq有最大值0， 所以pq的取值范围是[－24－16，0]. (2)＝＝， 令sin α＋1＝m∈(0，2]， 原式＝＝m－2＋≥2－2＝－1， 当且仅当m＝时，即sin α＝－时等号成立. 所以的最小值为－1. 学生用书⬇第35页 学科网（北京）股份有限公司 $