第六章 课时分层评价10 平面向量数量积的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价10　平面向量数量积的坐标表示 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.已知向量a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，则a·b＝(　　) A.5 B.14 C.－6 D.2 答案：B 解析：法一：因为a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，所以b＝a－(a－b)＝(2，2)，所以a·b＝3×2＋4×2＝14.故选B. 法二：a·(a－b)＝3×1＋4×2＝11.又a·(a－b)＝a2－a·b，所以a·b＝a2－11＝32＋42－11＝14.故选B. 2.已知＝(2，3)，＝(3，t)，｜｜＝1，则·＝(　　) A.8 B.5 C.2 D.7 答案：C 解析：因为＝(2，3)，＝(3，t)，所以＝－＝(1，t－3).因为｜｜＝1，所以12＋(t－3)2＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2.故选C. 3.已知a，b为平面向量，且a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18).若a，b的夹角为θ，则cos θ＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：C 解析：因为a＝(4，3)，所以2a＝(8，6).又2a＋b＝(3，18)，所以b＝(－5，12)，所以a·b＝－20＋36＝16.又｜a｜＝5，｜b｜＝13，所以cos θ＝＝＝.故选C. 4.设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为四边形OABC是平行四边形，所以＝，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，所以a＝6，所以＝(4，2)，＝(2，6).设向量的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.又θ∈(0，π)，所以.故选B. 5.(多选)已知向量a＝(－1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b的夹角为钝角，则实数λ的值可以是(　　) A.－1 B.4 C.2 D.5 答案：CD 解析：因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0，即(－1，－2)·(2，λ)＝－2－2λ＜0，所以λ＞－1.又当a与b反向时，夹角为180°，即a·b＝－｜a｜·｜b｜，则2λ＋2＝·，解得λ＝4.故a，b的夹角为钝角时，λ＞－1且λ≠4，结合选项，λ的值可以是2，5.故选CD. 6.(多选)已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，1)，则(　　) A.a与a－b夹角的余弦值为 B.(a＋b)∥a C.向量a在向量b上的投影向量的模为 D.若c＝(，－)，则a⊥c 答案：ACD 解析：对于A，由题意得，a－b＝(5，0)，所以a与a－b夹角的余弦值为＝，故A正确；对于B，由题意得，a＋b＝(－1，2)，所以(a＋b)·a＝－1×2＋1×2＝0，所以(a＋b)⊥a，故B不正确；对于C，易知＝＝＝－，所以向量a在向量b上的投影向量的模为，故C正确；对于D，因为a＝(2，1)，c＝(，－)，所以a·c＝2×＋1×(－)＝0，所以a⊥c，故D正确.故选ACD. 7.(开放题)已知向量a，b不共线，a＝(2，1)，a⊥(b－a)，写出一个符合条件的向量b的坐标为　　　　. 答案：(1，3)(答案不唯一) 解析：由题意得｜a｜2＝5，a·(b－a)＝a·b－a2＝0，则a·b＝5.设b＝(x，y)，得2x＋y＝5，且x≠2y，故满足条件的向量b的坐标可以为(1，3). 8.已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，｜a＋b｜＝5，则｜b｜＝　　　　. 答案：5 解析：因为a＝(2，1)，所以a2＝5，又｜a＋b｜＝5，所以(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，所以5＋2×10＋b2＝50，所以b2＝25，所以｜b｜＝5. 9.已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝　　　　. 答案：(，) 解析：设b＝(x，y).因为｜b｜＝＝1，所以x2＋y2＝1.所以a·b＝x＋y＝，所以x2＋＝1，所以4x2－6x＋2＝0，所以x1＝1，x2＝，所以y1＝0，y2＝.因为(1，0)是与x轴平行的向量，舍去.所以b＝(，). 10.(13分)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1). (1)若｜c｜＝3，且c∥a，求向量c的坐标； (2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ. 解：(1)设c＝(x，y)，由｜c｜＝3，c∥a可得 故c＝(－3，3)或c＝(3，－3). (2)因为｜a｜＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1， 故cos θ＝＝， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.若向量＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·＝7，则n·＝(　　) A.－2 B.2 C.－2或2 D.0 答案：B 解析：因为＋＝，所以n·(＋)＝n·，即n·＋n·＝n·，所以n·＝n·－n·＝7－5＝2.故选B. 12.(多选)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为(　　) A.－ B. C. D. 答案：ABC 解析：因为＝(2，3)，＝(1，k)，所以＝－＝(－1，k－3).若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，所以k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，所以k＝；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，所以k＝.故所求k的值为－.故选ABC. 13.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，点E为中线BD的三等分点(靠近点B)，点F为BC的中点，则·＝　　　　. 答案：－ 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则F(0，0)，B(－1，0)，C(1，0)，D.设E(x，y)，则＝(x＋1，y)＝.由题可知＝，则即E，所以＝，＝，所以·＝×＋×＝－. 14.(15分)在平面直角坐标系Oxy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值. 解：(1)设以线段AB，AC为邻边的平行四边形为ABDC，所以＝(3，5)，＝(－1，1)，对角线＝＋＝(2，6)，因此｜｜＝2； 另一条对角线＝－＝(－4，－4)，因此｜｜＝4.所以，所求平行四边形两条对角线的长为2，4. (2)由题意得＝(3，5)，＝(－2，－1). 由(－t)·＝0，得[(3，5)－t(－2，－1)]·(－2，－1)＝0，解得t＝－. 15.(5分)已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 答案：A 解析：因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B＞，即＞A＞－B＞0.又因为函数y＝sin x在(0，)上单调递增，所以sin A＞sin (－B)＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B＞0.设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝＞0.又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.故选A. 16.(17分)如图，在△ABC中，·＝0，｜｜＝8，｜｜＝6，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点. (1)求·的值； (2)判断·的值是否为一个常数，并说明理由. 解：(1)以点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，直线l为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意易知｜｜＝10，则D(0，0)，B(－5，0)，C(5，0). 设A(x，y)，则·＝(－5－x，－y)·(5－x，－y)＝x2＋y2－25＝0，｜｜2＝(－5－x)2＋(－y)2＝x2＋10x＋25＋y2＝64，解得x＝，y＝，所以A. 此时＝，＝(－10，0). 所以·＝－×(－10)＋×0＝14. (2)是一个常数，理由如下： 设点E的坐标为(0，y)(y≠0)，此时＝，所以·＝－×(－10)＋×0＝14，为常数. 故·的值是一个常数. 学生用书⬇第31页 学科网（北京）股份有限公司 $