第六章 课时分层评价9 平面向量数乘运算的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价9　平面向量数乘运算的坐标表示 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.下列向量组中，能作为基底的是(　　) A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝(，－) 答案：B 解析：对于A，因为e1＝0，则有e1∥e2，e1与e2不能作为基底；对于B，因为e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)，(－1)×7－2×5≠0，则有e1与e2不共线，e1与e2可作基底；对于C，因为e1＝(3，5)，e2＝(6，10)，则有e2＝2e1，e1与e2不能作为基底；对于D，因为e1＝(2，－3)，e2＝(，－)，则有e1＝4e2，e1与e2不能作为基底.故选B. 2.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，且a－2b＋3c＝0，所以c＝－(a－2b)＝.故选D. 3.已知点A(1，3)，B(m－5，1)，C(3，m＋1)，若A，B，C三点共线，则的坐标为(　　) A.(－2，2) B.(2，－2) C.(2，2) D.(－2，－2) 答案：D 解析：由题意可知＝(m－6，－2)，＝(2，m－2).由于A，B，C三点共线，所以共线，则有(m－6)(m－2)＝－4⇒(m－4)2＝0⇒m＝4，所以＝(－2，－2).故选D. 4.(一题多解)已知点O(0，0)，向量＝(2，3)，＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是(　　) A. B. C.或 D.或 答案：C 解析：法一：因为＝(2，3)，＝(6，－3)，可得＝－＝(4，－6).又因为点P是线段AB的三等分点，则＝＝＝＝，所以＝＋＝＝＋＝.即点P的坐标为(，－1)或(，1).故选C. 法二：由法一知，＝＝，设点P(x，y)，则＝－＝(x－2，y－3)，又＝－＝(4，－6)，所以即点P的坐标为.故选C. 5.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B.存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C.xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D.a＝(1，－2)，b＝(－1，2) 答案：ABD 解析：对于A，因为2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，解得a＝e，b＝－e，此时一定能使a，b共线，故A正确；对于B，存在相异实数λ，μ，使λa＝μb，由向量共线定理即可判定a，b共线，故B正确；对于C，当x＝y＝0时，a，b不一定共线，故C错误；对于D，a＝－b，由向量共线定理即可判定a，b共线，故D正确.故选ABD. 6.(多选)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，那么(　　) A.＋＝(λ－1，1－μ) B.若∥，则λ＝2，μ＝ C.若A是BD的中点，则B，C两点重合 D.若点B，C，D共线，则μ＝1 答案：AC 解析：对于A，＋＝－＋－＝－＝(λ，1)－(1，μ)＝(λ－1，1－μ)，故A正确；对于B，若∥，则λμ＝1，故也可取λ＝3，μ＝，故B错误；对于C，若A是BD的中点，则＝－，即(λ，1)＝(－1，－μ)⇒λ＝μ＝－1，所以＝＝(－1，1)，所以B，C两点重合，故C正确；对于D，由于B，C，D三点共线，所以∥，＝－＝(－1，1)－(λ，1)＝(－1－λ，0)，＝－＝(1，μ)－(λ，1)＝(1－λ，μ－1)，则(－1－λ)×(μ－1)＝0×(1－λ)⇒λ＝－1或μ＝1，故D错误.故选AC. 7.已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝　　　　. 答案：－ 解析：3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，解得k＝－. 8.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，则点G的坐标为　　　　　　　　. 答案： 解析：因为D是AB的中点，所以点D的坐标为.因为＝2，所以＝2.设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得x＝＝，y＝＝，即点G的坐标为. 9.已知A(2，4)，B(－4，6)，若＝，＝，则的坐标为　　　　. 答案： 解析：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，＝，则(x1－2，y1－4)＝(－6，2)＝(－9，3)，所以x1＝－7，y1＝7，即C(－7，7).＝，则(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝，所以x2＝4，y2＝，即D，则＝. 10.(13分)设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1). (1)若＝，求D点的坐标； (2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值. 解：(1)设D(x，y)，则＝(1，－5)，＝(x－4，y－1). 因为＝，所以(1，－5)＝(x－4，y－1)， 即 所以D点的坐标为(5，－4). (2)由题意得a＝＝(1，－5)，b＝＝(2，3)， 所以ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4). 因为(ka－b)∥(a＋3b)， 所以4(k－2)＝7(－5k－3)， 解得k＝－. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，－1)，c＝(－4，x)，若2a＋b，a－c反向共线，则实数x的值为(　　) A.－7 B.3 C.3或－7 D.－3或7 答案：A 解析：因为向量a＝(1，－2)，b＝(x，－1)，c＝(－4，x)，所以2a＋b＝(2＋x，－5)，a－c＝(5，－2－x).因为2a＋b，a－c反向共线，所以(2＋x)×(－2－x)－(－5)×5＝0，解得x＝3或x＝－7.又2a＋b，a－c反向共线，代入验证可知x＝3时为同向，舍去，x＝－7满足条件，所以x＝－7.故选A. 12.已知在平面直角坐标系Oxy中，P1(3，1)，P2(－1，3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ＝(　　) A.－3 B.3 C.1 D.－1 答案：D 解析：设＝(x，y)，因为向量与向量a＝(1，－1)共线，所以x＋y＝0，所以＝(x，－x).若＝λ＋(1－λ)，则(x，－x)＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)＝(4λ－1，3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.故选D. 13.已知A(－3，0)，B(0，－2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，｜｜＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝　　　　. 答案： 解析：由题设知，C在第三象限内，又｜｜＝2且∠AOC＝，所以C(－2，－2)，所以＝(－2，－2)，而＝(－3，0)，＝(0，－2)，则＝λ＋，即(－2，－2)＝λ(－3，0)＋(0，－2)＝(－3λ，－2)，可得λ＝. 14.(15分)如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，用向量法求AC和OB的交点P的坐标. 解：设P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且共线，所以4x＝4y，即x＝y. 又＝(x－4，y)，＝(－2，6)且共线，则(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3. 所以点P的坐标为(3，3). 15.(5分)设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sin α)，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则的取值范围为　　　　. 答案：[－6，1] 解析：由a＝2b，知 所以又cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos2α＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，所以≤m≤2.因为＝＝2－，所以－6≤2－≤1，所以的取值范围为[－6，1]. 16.(17分)根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边作正方形，以斜边为边的正方形的面积正好等于以两条直角边为边的正方形的面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得到了如图所示的图形，若＝x＋y，求x＋y的值. 解：如图所示，以A为原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形DEHI的边长为a，正方形EFGC的边长为a，可得A(0，0)，B(2a，0)，D(0，2a)，DF＝(＋1)a，设F的坐标为(xF，yF)，则xF＝(＋1)a·cos 30°，yF＝(＋1)a·sin 30°＋2a，即F. 因为＝x＋y，所以＝x(2a，0)＋y(0，2a)＝(2ax，2ay)，即则2ax＋2ay＝a＋a，化简得x＋y＝. 学科网（北京）股份有限公司 $