第六章 课时分层评价8 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价8　平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示　 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.如图所示，向量的坐标是(　　) A.(1，1) B.(－1，－2) C.(2，3) D.(－2，－3) 答案：D 解析：由题图知，M(1，1)，N(－1，－2)，则＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3).故选D. 2.设点A在30°角的终边上，｜｜＝2(O是坐标原点)，则向量的坐标为(　　) A.(，) B.(，) C.(－，－) D.(－，－) 答案：A 解析：因为点A在30°角的终边上，｜｜＝2(O是坐标原点)，所以点A在第一象限，且到原点的距离为2，根据直角三角形的边角关系得，A点的横坐标x＝2cos 30°＝，纵坐标y＝2sin 30°＝，故所求的坐标为(，).故选A. 3.已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线为AC，BD，则－＝(　　) A.(1，10) B.(5，4) C.(－4，6) D.(－5，2) 答案：C 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＋＝(1，10)，＝－＝(5，4)，所以－＝(1，10)－(5，4)＝(－4，6).故选C. 4.设＝(2，3)，＝(m，n)，＝(－1，4)，则＝(　　) A.(1＋m，7＋n) B.(－1－m，－7－n) C.(1－m，7－n) D.(－1＋m，－7＋n) 答案：B 解析：＝＋＋＝－－－＝－(－1，4)－(m，n)－(2，3)＝(－1－m，－7－n).故选B. 5.(多选)在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴，y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　　) A.＝2i＋3j B.＝3i＋4j C.＝－5i＋j D.＝5i＋j 答案：AC 解析：由题图，＝2i＋3j，＝－3i＋4j，故A正确，B不正确；＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故C正确，D不正确.故选AC. 6.(多选)已知平行四边形的三个顶点坐标为(3，－2)，(5，2)，(－1，4)，则第四个顶点的坐标可能是(　　) A.(9，－4) B.(1，8) C.(－3，0) D.(1，－3) 答案：ABC 解析：如图所示，设A(3，－2)，B(5，2)，C(－1，4)，所以当平行四边形以AB，AC为邻边时，第四个顶点为D1，则＝＋＝＋(－4，6)＝，此时D1；当平行四边形以BA，BC为邻边时，第四个顶点为D3，则＝＋＝＋＝，此时D3；当平行四边形以CA，CB为邻边时，第四个顶点为D2，则＝＋＝＋＝，此时D2(9，－4).故第四个顶点的坐标可能是(1，8)，(－3，0)，(9，－4).故选ABC. 7.已知＝(2－x)i＋(1－x)j，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是　　　　. 答案：(1，2) 解析：由题可得＝(2－x，1－x)，因为的坐标所表示的点在第四象限，所以解得1＜x＜2. 8.已知2 026个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8，15)，则其余2 025个向量的和为　　　　. 答案：(－8，－15) 解析：设其余2 025个向量的和为(x，y)，则(8，15)＋(x，y)＝(0，0)，所以(x，y)＝(－8，－15). 9.已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(其中m，n∈R)，则m－n＝　　　　. 答案：－3 解析：因为a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以所以m－n＝2－5＝－3. 10.(13分)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2). (1)若＝＋，求点P的坐标； (2)若＋＋＝0，求的坐标. 解：(1)因为＝(1，2)，＝(2，1)， 所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)， 即点P的坐标为(3，3). (2)设点P的坐标为(x，y)， 因为＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)， 所以 所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2). (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知向量与a＝(6，－8)的夹角为π，且｜｜＝｜a｜，若点A的坐标为(－1，2)，则点B的坐标为(　　) A.(－7，10) B.(7，10) C.(5，－6) D.(－5，6) 答案：A 解析：由已知得，与a的长度相等，方向相反，所以＝－a＝(－6，8).又因为点A的坐标为(－1，2)，设B(x，y)，则＝(x＋1，y－2)＝(－6，8)，所以即B(－7，10).故选A. 12.如果点P(1，3)按向量a平移后得到点Q(4，1)，则点M(2，1)按向量a平移后得到点N的坐标为(　　) A.(1，5) B.(5，1) C.(5，－1) D.(－1，5) 答案：C 解析：因为a＝＝＝(4，1)－(1，3)＝(3，－2)，所以点N的坐标为(3，－2)＋(2，1)＝(5，－1).故选C. 13.已知点A(2，7)，向量绕原点O逆时针旋转后等于，则点B的坐标为　　　　. 答案：(－7，2) 解析：设｜｜＝r，∠AOx＝α，∠BOx＝β，B(x0，y0)，则rsin α＝7，rcos α＝2，β＝α＋，x0＝rcos β＝rcos ＝－rsin α＝－7，y0＝rsin β＝rsin ＝rcos α＝2，即点B的坐标为(－7，2). 14.(15分)如图，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB＝∠ABC＝120°，｜｜＝｜｜＝2｜｜＝4，若四边形ABCD为平行四边形，求点D的坐标. 解：作平行四边形ABCD，如图所示： 因为AD∥BC，所以∠BAD＝180°－∠ABC＝60°，所以∠OAD＝∠OAB－∠BAD＝60°，由图可知，〈，〉＝120°. 因为｜｜＝｜｜＝4，所以＝(4cos 120°，4sin 120°)＝(－2，2)，易知点A(4，0)，则＝＋＝(4，0)＋(－2，2)＝(2，2). 因此，点D的坐标为(2，2). 15.(5分)设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使＋＋＋＋＝0成立的点M的个数为(　　) A.0个 B.1个 C.5个 D.10个 答案：B 解析：建立适当的直角坐标系(图略)，设M(x，y)，A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，则＝(x1－x，y1－y)，＝(x2－x，y2－y)，＝(x3－x，y3－y)，＝(x4－x，y4－y)，＝(x5－x，y5－y).因为＋＋＋＋＝0，则(x1－x，y1－y)＋(x2－x，y2－y)＋(x3－x，y3－y)＋(x4－x，y4－y)＋(x5－x，y5－y)＝(0，0)，于是有(x1＋x2＋x3＋x4＋x5－5x，y1＋y2＋y3＋y4＋y5－5y)＝(0，0)，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5－5x＝0，且y1＋y2＋y3＋y4＋y5－5y＝0，所以x＝， 且y＝，只有一组解，所以符合条件的点M只有一个.故选B. 16.(17分)已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为(3，－1)，(1，2)，(m，1)，(3，n)，求msin α＋ncos α的最大值. 解：因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝. 又A(3，－1)，B(1，2)，C(m，1)，D(3，n)， 所以(3－3，n＋1)＝(m－1，1－2)，即 解得 所以msin α＋ncos α＝sin α－2cos α＝sin (α＋φ)，其中tan φ＝－2， 故msin α＋ncos α的最大值为. 学生用书⬇第26页 学科网（北京）股份有限公司 $