第六章 课时分层评价7 平面向量基本定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价7　平面向量基本定理 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.设{e1，e2}是平面内一个基底，则下面四组向量中，能作为基底的是(　　) A.e1－e2与e2－e1 B.2 e1＋3 e2与－4 e1－6 e2 C.e1＋2 e2与2e1－e2 D.－e1＋e2与e1－e2 答案：C 解析：对于A，设e1－e2＝λ(e2－e1)，可得λ＝－1，所以向量e1－e2与e2－e1共线，故A不符合题意；对于B，设2e1＋3e2＝μ(－4e1－6e2)，可得μ＝－，所以向量2e1＋3e2与－4e1－6e2共线，故B不符合题意；对于C，设e1＋2e2＝x(2e1－e2)，可得此时方程组无解，所以向量e1＋2e2与2e1－e2不共线，可以作为一个基底，故C符合题意；对于D，设－e1＋e2＝y(e1－e2)，可得y＝－，所以向量－e1＋e2与e1－e2共线，故D不符合题意.故选C. 2.在△ABC中，＝c，＝b，点D满足＝2，若将{b，c}作为一个基底，则＝(　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 答案：A 解析：因为＝2，所以－＝2(－)，所以－c＝2(b－)，所以＝b＋c.故选A. 3.如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝(　　) A.－2e1－4e2 B.－4e1－2e2 C.e2－3e1 D.－e2＋3e1 答案：C 解析：如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C. 4.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则＝(　　) A. B. C.3 D. 答案：A 解析：由题意可得，＝－＝－，＝＋＝＋＝＋－)＝＋，据此可知λ＝，μ＝，所以＝.故选A. 5.(多选)点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则有(　　) A.＝－a－b B.＝a－b C.＝a＋b D.＝－a 答案：AD 解析：如图所示，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝＋＝a＋b，故B错误；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故C错误；＝＝－a，故D正确.故选AD. 6.(多选)如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且＝4，若＝m＋n，其中m，n∈R，则(　　) A.m＋n＝ B.m－n＝ C.2m＝3n D.3m＝2n 答案：ABC 解析：在平行四边形中＝，＝，＝＋，因为E是AC的中点，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝4，所以＝＝，所以＝＋＝＋.因为＝m＋n，所以＝(m＋n)＋(m＋n)，所以所以m＋n＝，m－n＝，2m＝3n.故选ABC. 7.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝　　　　(用a，b表示). 答案：a＋b 解析：＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝a＋b. 8.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，G为AC与DE的交点，若＝a，＝b，则用a，b表示＝　　　　. 答案：b－a 解析：在平行四边形ABCD中，易证△AGD∽△CGE.又E是BC的中点，所以＝＝，所以＝，所以＝－＝－＝＋)－＝－＝b－a. 9.设四边形ABCD为平行四边形，｜｜＝6，｜｜＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝　　　　. 答案：9 解析：考虑以{，}为基底来计算.因为＝3，＝2，所以＝＋，＝－＝－＋，所以·＝(＋)·(－＋)＝－＝×36－×16＝9. 10.(13分)设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一个基底； (2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2. 解：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).由e1，e2不共线，得方程组无解，所以λ不存在.故a与b不共线，可以作为一个基底. (2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.所以所以c＝2a＋b. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.M是△ABC内的一点，若＝＋λ，＝＋μ，则λ＋μ＝(　　) A. B.1 C. D. 答案：D 解析：由－＝，则＝＋μ－－λ，所以＝μ－λ，即＝6(μ－λ)＝6(μ＋λ)，又＝＋，故μ＝λ＝，故λ＋μ＝.故选D. 12.(多选)已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设＝m，＝n，其中m＞0，n＞0，则下列结论正确的是(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.2m＋n＝3 D.m＋2n＝3 答案：AC 解析：如图，＝＋＝＋＝＋－)＝＋，故A正确，B错误；因为＝m，＝n，所以＝＋＝＋.又因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，故2m＋n＝3，故C正确，D错误.故选AC. 13.已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝　　　　. 答案： 解析：＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ(－＋)＝－＋λ，所以＝. 14.(15分)如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB. (1)试用向量a，b来表示，； (2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值. 解：(1)因为AN＝AB， 所以＝＝a， 所以＝－＝a－b. 因为BM＝BC， 所以＝＝＝b， 所以＝＋＝a＋b. (2)因为A，O，M三点共线， 所以∥， 设＝λ， 则＝－＝λ－ ＝λ(a＋b)－b＝λa＋(λ－1)b. 因为D，O，N三点共线， 所以∥，存在实数μ使＝μ， 则λa＋(λ－1)b＝μ(a－b). 由于向量a，b不共线，则 解得 所以＝，＝， 所以AO∶OM＝3∶11. 15.(5分)如图，在平行四边形ABCD 中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且＝m＋，则实数m的值为　　　　. 答案： 解析：由题意得，＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋.又E，F，G三点共线，故可设＝λ＋(1－λ)，λ∈R，所以＝λ＋(1－λ)×＝＋，又＝m＋，所以解得λ＝，m＝. 16.(17分)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是线段AD上靠近点A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设＝λ，＝μ，其中λ，μ≥0. (1)试用与表示，； (2)求证λ＋μ为定值，并求出此定值. 解：(1)因为点D是边BC的中点，所以＝＋＝＋＝－，＝＋＝＋. (2)证明：因为＝λ，＝μ，所以＝(λ＋1)，＝(μ＋1). 因为＝＋)，所以＝＝＋)＝＋. 因为P，E，Q三点共线，所以＋＝1，可得λ＋μ＝4，即λ＋μ为定值4. 学科网（北京）股份有限公司 $