第六章 课时分层评价6 向量数量积的运算律及应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

(时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.已知单位向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－，则a·b＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为(a＋2b)·(a－b)＝a2－2b2＋a·b＝1－2＋a·b＝－，所以a·b＝.故选C. 2.已知｜a｜＝｜b｜＝1，且｜a－b｜＝，则向量a，b的夹角为(　　) A.130° B.60° C.90° D.120° 答案：D 解析：设a，b的夹角为θ，由｜a－b｜＝，可得(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝3，所以a·b＝－.所以cos θ＝＝－，又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.故选D. 3.已知向量a，b的夹角为，且｜a｜＝，｜b｜＝1，则｜a＋2b｜＝(　　) A.1 B. C.2 D. 答案：A 解析：｜a＋2b｜＝ ＝ ＝＝1.故选A. 4.已知｜i｜＝｜j｜＝1，i⊥j，且a＝2i＋3j，b＝ki－4j，若a⊥b，则k的值是(　　) A.6 B.－6 C.3 D.－3 答案：A 解析：因为i⊥j，所以i·j＝0，若a⊥b，则a·b＝(2i＋3j)·(ki－4j)＝2k｜i｜2－12｜j｜2＝2k－12＝0，解得k＝6. 5.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A.｜a＋b｜＝1 B.a⊥b C.(4a＋b)⊥b D.a·b＝－1 答案：CD 解析：分析知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；因为(a＋b)2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝3，所以｜a＋b｜＝，故A错误；因为(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，所以(4a＋b)⊥b，故C正确；a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D正确.故选CD. 6.(多选)若e1，e2是夹角为的单位向量，a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，则下列结论中正确的有(　　) A.a⊥b B.｜a｜＝ C.｜a－b｜＝ D.cos 〈a，a－b〉＝ 答案：BD 解析：由向量e1，e2是夹角为的单位向量，可得e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos ＝－.因为a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，所以a·b＝2－2－3e1·e2＝2－2＋＝≠0，所以a⊥b不成立，故A错误；｜a｜2＝－4e1·e2＋4＝1＋2＋4＝7，所以｜a｜＝，故B正确；由a－b＝－e1－3e2，可得｜a－b｜＝＝＝，故C错误；a·(a－b)＝－－e1·e2＋6＝－1＋＋6＝，则cos 〈a，a－b〉＝＝＝，故D正确.故选BD. 7.已知向量｜a｜＝2，｜b｜＝3，且a·b＝1，则｜2a＋b｜＝　　　　. 答案： 解析：因为｜2a＋b｜2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4×22＋4×1＋32＝29，所以｜2a＋b｜＝. 8.已知平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝，且b⊥(a－b)，则向量a与b的夹角的大小为　　　　. 答案： 解析：由b⊥(a－b)，所以b·(a－b)＝0，即b·a－b2＝0.因为｜a｜＝2，｜b｜＝，所以b·a＝3.设向量a，b的夹角为θ(0≤θ≤π)，所以cos θ＝＝＝，所以θ＝. 9.已知a，b为平面向量，｜b｜＝2.若a在b方向上的投影向量为，则(a－b)·b＝　　　　. 答案：－2 解析：设a，b的夹角为θ，因为a在b方向上的投影向量为，｜b｜＝2，所以＝｜a｜cos θ·，得｜a｜cos θ＝1.从而a·b＝｜a｜·｜b｜cos θ＝1×2＝2.(a－b)·b＝a·b－b2＝2－4＝－2. 10.(13分)已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，(a＋b)·b＝8. (1)求｜a＋b｜； (2)当k为何值时，ka－b与a＋2b垂直； (3)求向量a与a＋b的夹角的余弦值. 解：(1)依题意，(a＋b)·b＝a·b＋b2＝a·b＋9＝8，a·b＝－1， 所以｜a＋b｜＝＝＝＝. (2)若ka－b与a＋2b垂直，则(ka－b)·(a＋2b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝4k－(2k－1)－18＝2k－17＝0，解得k＝. (3)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4－1＝3，设向量a与a＋b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，E是CD上一点，且·＝1，则·的值为(　　) A.3 B.2 C. D. 答案：B 解析：设的夹角为θ，则－θ，又∥，故有－θ.如图所示，因为·＝｜｜·｜｜·cos θ＝｜｜·cos θ＝1，所以｜｜·cos θ＝，所以·＝｜｜cos ＝｜｜sin θ＝1，所以·＝·(＋)＝·＋·＝1＋1＝2.故选B. 12.(多选)已知a，b为平面上的单位向量，且｜a＋b｜＝2｜a－b｜，则(　　) A.向量a与b的夹角的余弦值为 B.｜a－b｜＝ C.(a＋2b)⊥(2a－b) D.向量a－b在向量a上的投影向量为a 答案：ABD 解析：由题意知｜a｜＝｜b｜＝1，且｜a＋b｜＝2｜a－b｜，故｜a＋b｜2＝4｜a－b｜2，即2＋2a·b＝8－8a·b，所以a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，故A正确；｜a－b｜2＝2－2a·b＝2－2×＝，故｜a－b｜＝，故B正确；(a＋2b)·(2a－b)＝2a2＋3a·b－2b2＝3a·b＝≠0，故a＋2b，2a－b不垂直，故C错误；向量a－b在向量a上的投影向量为·＝(a2－a·b)a＝a，故D正确.故选ABD. 13.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量.若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是　　　　　　　　. 答案：(－，3)∪(3，＋∞) 解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b＞0，且a，b不共线，当a·b＞0时，(3e1＋2e2)·(te1＋2e2)＝3t＋(6＋2t)e1·e2＋4＝3t＋(6＋2t)＋4＞0，得t＞－.当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以所以当t≠3时，a，b不共线.综上，实数t的取值范围为(－，3)∪(3，＋∞). 14.(15分)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且＝. (1)用向量，表示； (2)若·＝8·，求的值. 解：(1)＝＋＝＋＝＋＋)＝＋. (2)·＝－·－)＝－(3－－2·). 因为·＝8·，所以·＝－＋＋·，则－＋＝0，即＝3，所以＝. 15.(5分)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 答案：A 解析：因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0.又因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即｜｜＝｜｜，所以△ABC是等腰三角形.故选A. 16.(17分)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动(含C，D点). (1)若点F是CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值； (2)若AB＝2，当·＝1时，求cos ∠EAF的值. 解：(1)因为E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点， 所以＝＝，＝－＝－， 所以＝＋＝－＋. 又＝λ＋μ， 所以λ＝－，μ＝， 故λ＋μ＝－＋＝. (2)设＝m(0≤m≤1)， 则＝＋＝－m. 又＝＋＝＋，·＝0， 所以·＝(＋)·(－m)＝－m＋＝－4m＋2＝1， 故m＝. 所以·＝(＋)·(＋)＝＋＝3＋2＝5， 易得｜｜＝，｜｜＝， 所以cos ∠EAF＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $