第六章 课时分层评价5 两向量的夹角及数量积的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价5　两向量的夹角及数量积的概念 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于(　　) A.1 B. C.3 D.3 答案：C 解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝2××cos 30°＝3.故选C. 2.若a，b均为非零向量，则a·b＝｜a｜｜b｜是a与b共线的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：一方面：由a·b＝｜a｜｜b｜，可得a与b的夹角为0，此时a与b共线；另一方面：由a与b共线，可得a与b的夹角为0或π，此时有a·b＝｜a｜｜b｜或a·b＝－｜a｜｜b｜，即此时a·b＝｜a｜｜b｜不一定成立.综上可得，a·b＝｜a｜｜b｜是a与b共线的充分不必要条件.故选A. 3.已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则向量a与b的夹角大小为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，而θ∈[0，π]，故θ＝.故选B. 4.在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在向量上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意得B＝30°，AD⊥BC，所以上的投影向量为｜｜·cos 30°·＝.故选B. 5.(多选)下列说法正确的是(　　) A.向量a在向量b上的投影向量可表示为· B.若a·b＜0，则a与b的夹角θ的范围是(，π］ C.若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为45° D.若a·b＝0，则a⊥b 答案：AB 解析：对于A，由向量a在向量b上的投影向量的定义知，向量a在向量b上的投影向量可表示为·，故A正确；对于B，因为a·b＝｜a｜·｜b｜·cos θ＜0，所以cos θ＜0，又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角θ的范围是(，π］，故B正确；对于C，若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为135°，故C错误；对于D，若a·b＝0，且a，b都为非零向量时，a⊥b，故D错误.故选AB. 6.(多选)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，O为其中心，下列结论正确的是(　　) A.·＝－1 B.·＝2 C.｜＋｜＝｜－｜ D.·＝· 答案：AC 解析：由正六边形的性质可知，反向共线，所以·＝｜｜｜｜cos 180°＝－1，故A正确；的夹角为120°，所以·＝｜｜｜｜cos 120°＝2×2×(－)＝－2，故B错误；＋＝，－＝，｜｜＝｜｜，故C正确；·＝｜｜｜｜cos 60°＝，·＝·＝｜｜｜｜cos 120°＝－，故D错误.故选AC. 7.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量，且｜b｜＝2，若a在b方向上的投影向量为2e，则a·b＝　　　　. 答案：4 解析：设a与b的夹角为θ，由题意得cos θ＞0，所以｜a｜cos θ＝｜2e｜＝2，所以a·b＝｜b｜·｜a｜cos θ＝2×2＝4. 8.在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝　　　　. 答案：－ 解析：a·b＝·＝－·＝－｜｜·｜｜cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，所以a·b＋b·c＋c·a＝－. 9.(双空题)已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点，则·的值为　　　　，·的最大值为　　　　. 答案：1　1 解析：如图所示，由向量数量积的定义可得·＝·＝｜｜｜｜cos θ.由图可知，｜｜cos θ＝｜｜，因此·＝｜｜2＝1.·＝｜｜｜｜cos α＝｜｜cos α，而｜｜cos α就是向量上的投影向量的模，当上的投影向量的模最大，即为｜｜时，·最大，此时点B与点E重合，所以·的最大值为1. 10.(13分)已知｜a｜＝2｜b｜＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e. (1)求a与b的夹角θ； (2)求a·b. 解：(1)由题意知｜a｜＝2，｜b｜＝1. 又a在b方向上的投影向量为｜a｜cos θ e＝－e， 所以cos θ＝－. 又θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)由(1)知θ＝，所以a·b＝｜a｜·｜b｜cos θ＝－1. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且｜b｜＝2｜a｜，则向量a与c的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：D 解析：由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，｜b｜＝2｜a｜，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.故选D. 12.(多选)下列说法错误的是(　　) A.在等腰直角三角形ABC中，若A为直角，则与的夹角为45° B.由a·b＝0可得a＝0或b＝0 C.向量a在向量b上的投影向量是一个向量，而向量a在向量b上的投影是一种变换 D.对于非零向量a，b，“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的充分不必要条件 答案：ABD 解析：对于A，B为45°，的夹角为B的补角，为135°，故A错误，符合题意；对于B，当a⊥b时，a·b＝0，故B错误，符合题意；对于C，“投影向量”是向量，“投影”是一种变换，故C正确，不符合题意；对于D，当向量a，b同向时，a·b＞0，a与b的夹角为锐角不成立；当a与b的夹角θ为锐角时，a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＞0.所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故D错误，符合题意.故选ABD. 13.如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点(包括边界)，O，A在格点上，则·的取值范围是　　　　. 答案：[0，2] 解析：·＝｜｜·｜｜·cos ∠AOP，｜｜＝2，结合图形可知0≤｜｜·cos ∠AOP≤1，所以·的取值范围为[0，2]. 14.(15分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. (1)若＝，求x，y的值； (2)若＝3，｜｜＝4，｜｜＝2，且与的夹角为60°，求·的值. 解：(1)若＝，则＝＋， 故x＝y＝. (2)因为｜｜＝4，｜｜＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°，所以｜｜＝2. 又因为＝3，所以｜｜＝. 所以｜｜＝＝，cos ∠OPB＝； 所以的夹角θ的余弦值为－. 所以·＝｜｜｜｜cos θ＝－3. 15.(5分)(新定义)定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜等于(　　) A.8 B.－8 C.8或－8 D.6 答案：A 解析：cos θ＝＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝.所以｜a×b｜＝2×5×＝8.故选A. 16.(17分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量； (2)(一题多解)求·的取值范围. 解：(1)连接AM，BM(图略)，由已知可得＝，四边形OAMB是菱形，则＝＋， 所以＝－＝－(＋)＝－－. (2)法一：由题意知｜｜＝｜｜＝1，·＝－. 设＝k，k∈[0，1]，则＝(k－1)－，＝－－k，·＝， 所以·. 法二：易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC＝1， 则·＝cos 60°＝. 所以·. 学生用书⬇第18页 学科网（北京）股份有限公司 $