第六章 课时分层评价4 向量的数乘运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价4　向量的数乘运算 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.已知向量a，b，那么(2a－4b)＋2b等于(　　) A.a－2b B.a－4b C.a D.b 答案：C 解析：(2a－4b)＋2b＝a－2b＋2b＝a.故选C. 2.在△ABC中，点D为边BC的中点，记＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b B.a－b C.a＋b D.a－b 答案：C 解析：由题意可知，＝＝－)＝(a－b)，＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.故选C. 3.已知向量a，b不共线，且向量λa＋b与4a＋(3λ－1)b方向相同，则实数λ的值为(　　) A. B.－1 C.或－1 D.1或－ 答案：A 解析：因为向量λa＋b与4a＋(3λ－1)b方向相同，所以存在唯一实数k(k＞0)，使4a＋(3λ－1)b＝k(λa＋b).因为向量a，b不共线，所以(舍去).故选A. 4.已知a，b是不共线的向量，且＝3a＋4b，＝－2a－6b，＝2a－4b，则(　　) A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 答案：D 解析：因为＝3a＋4b，＝－2a－6b，＝2a－4b，所以＝3a－6b，若A，B，D三点共线，则＝λ，而无解，故A错误；因为＝3a＋4b，＝－2a－6b，所以＝a－2b.若A，B，C三点共线，则＝λ，而无解，故B错误；因为＝－2a－6b，＝2a－4b，所以＝＋＝－10b.若B，C，D三点共线，则＝λ，而无解，故C错误；因为＝3a＋4b，＝－2a－6b，＝2a－4b，所以＝a－2b，＝3a－6b，即＝，所以A，C，D三点共线，故D正确.故选D. 5.(多选)下列说法正确的有(　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0，a≠0) B.若a∥b，则b＝λa(λ∈R) C.若｜b｜＝2｜a｜，则b＝±2a D.若b＝±2a，则｜b｜＝2｜a｜ 答案：AD 解析：当λ＞0时，a与λa方向相同，当λ＜0时，a与λa方向相反，故A正确；当a≠0时，结论才成立，故B错误；当｜b｜＝2｜a｜时，b与2a不一定共线，故C错误；显然当b＝±2a时，｜b｜＝2｜a｜，故D正确.故选AD. 6.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　　) A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B.存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0 C.已知正五边形ABCDE，其中＝a，＝b D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 答案：AB 解析：对于A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线；对于B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线；对于C，a，b显然不共线；对于D，当AB，CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与直线CD是相交直线，则向量，不是共线向量，即不能判定a，b共线.故选AB. 7.若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝　　　　. 答案：－3a＋4b 解析：因为3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，所以3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝－3a＋4b. 8.已知＝，且＝k，则实数k＝　　　　. 答案：4 解析：因为＝，所以A，B，P三点共线，且点B在线段AP四等分点的位置(靠近点P)，所以＝4，所以k＝4. 9.在△ABC中，D为CB上一点，E为AD的中点，若＝＋m，则m＝　　　　. 答案： 解析：因为E为AD的中点，所以＝2＝＋2m，因为B，D，C三点共线，所以＋2m＝1，解得m＝. 10.(13分)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，. 解：如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形. 则＝＝＝a，＝－＝－＝b－a，＝－＝－－＝－－＝a－b. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案：D 解析：因为△DEF∽△BEA，所以＝＝，所以DF＝AB＝DC，所以＝＋＝＋.因为＝＋＝a，＝－＝b，联立得＝(a－b)，＝(a＋b)，所以＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.故选D. 12.(多选)如图，△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是(　　) A.＝ B.＝ C.＋＝ D.＝－2 答案：ACD 解析：因为在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，所以G是△ABC的重心.所以＝，故A正确；＝－，故B错误；＋＝＋＝＝，故C正确；＝－2，故D正确.故选ACD. 13.(一题多解)已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝　　　　. 答案：3 解析：法一：因为＋＋＝0，所以点M是△ABC的重心.所以＋＝3，所以m＝3. 法二：在△ABC中，＝－，＝－，若＋＝m成立，则(－)＋(－)＝m成立，整理得＋＋(m－2)＝0，由已知可得，m－2＝1，即m＝3. 14.(15分)设a，b是不共线的两个非零向量. (1)若＝4a－2b，＝6a＋2b，＝2a－6b，求证：A，B，C三点共线； (2)若4a＋kb与ka＋b共线，求实数k的值. 解：(1)证明：＝－＝6a＋2b－(4a－2b)＝2a＋4b，＝－＝2a－6b－(6a＋2b)＝－4a－8b＝－2(2a＋4b)＝－2，所以∥，且有公共点B，所以A，B，C三点共线. (2)易知存在实数λ，使得4a＋kb＝λ，即a＋b＝0，又a，b是不共线的两个非零向量，所以 解得 故实数k的值是±4. 15.(5分)已知△ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足＝＋，则的值为　　　　. 答案： 解析：如图所示，易知存在实数μ，使得＝μ，存在实数λ，使得＝λ，则＝＋＝λ＋μ＝λ＋μ(－)＝μ＋λ(1－μ).而＝＋，且，不共线，因此μ＝，λ(1－μ)＝，解得λ＝，易知存在实数t，使得＝t，存在实数k，使得＝k，则＝＋＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)＋t＝k(1－t)＋t，故t＝，k(1－t)＝，解得k＝，因此点P是线段CD的中点，所以S△BPC＝S△BPD.又＝，所以S△BPE＝S△BPC，所以S△BPE＝S△BPD，所以＝. 16.(17分)如图，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I. (1)用和分别表示和； (2)若＝m＋n，求实数m和n的值. 解：(1)由题可知，＝，＝， 所以＝＋＝－＋，＝＋＝－＋. (2)设＝＋λ＝＋μ，将＝－＋，＝－＋＋λ＝＋μ，则＋λ＝＋μ(－＋)，即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ). 因为，不共线， 所以 故＝＋＝＋，即m＝，n＝. 学生用书⬇第15页 学科网（北京）股份有限公司 $