第八章 课时分层评价37 直线与平面垂直的性质-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价37　直线与平面垂直的性质 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1B1C1D1，则(　　) A.B1B⊥l B.B1B∥l C.B1B与l异面但不垂直 D.B1B与l相交但不垂直 答案：B 解析：因为B1B⊥平面A1B1C1D1，又因为l⊥平面A1B1C1D1，所以B1B∥l.故选B. 2.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　) A.α∥β，且m⊂α B.m∥n，且n⊥β C.m⊥n，且n⊂β D.m⊥n，且n∥β 答案：B 解析：对于A，由α∥β，且m⊂α，知m∥β，不符合题意；对于B，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；对于C，D，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意.故选B. 3.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　) A.α∥β，且l∥α B.α⊥β，且l⊥β C.α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l 答案：D 解析：由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.故选D. 4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　) A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 答案：B 解析：因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以E，F，H，G四点共面.又PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFG，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.故选B. 5.(多选)如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中正确的是(　　) A.PD⊥BD B.PD⊥CD C.PB⊥BC D.PA⊥BD 答案：BCD 解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA⊥CD，PA⊥BC.又AD⊥CD，BC⊥AB，所以CD⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，所以PD⊥CD，PB⊥BC，选项B、C、D正确；若PD⊥BD，因为PA∩PD＝P，所以BD⊥平面PAD.又AB⊥平面PAD，所以BD∥AB，显然不成立，故A不成立.故选BCD. 6.(多选)矩形ABCD沿BD将△BCD折起，使C点在平面ABD上的投影在AB上，折起后下列关系正确的是(　　) A.△ABC是直角三角形 B.△ACD是直角三角形 C.AD∥BC D.AD⊥BC 答案：ABD 解析：如图所示，折起后将C点记为P点，设P在AB上的投影为O，由PO⊥底面ABD，可得PO⊥AD.又由AB⊥AD，PO∩AB＝O，可得AD⊥平面PAB，进而AD⊥PB.又由PD⊥PB，AD∩PD＝D，故PB⊥平面PAD，故PB⊥PA.即折起后△ABC是直角三角形，故A正确；由AD⊥平面PAB，可得AD⊥PA，即折起后△ACD是直角三角形，故B正确；折起后AD与BC异面，故C错误；由AD⊥平面PAB，可得AD⊥PB，即AD⊥BC，故D正确.故选ABD. 7.已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝　　　　. 答案：6 解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE.又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6. 8.在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则其四个面中直角三角形的个数为　　　　. 答案：4 解析：如图所示，四面体ABCD中，由AB⊥平面BCD，可得AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD，所以△ABC，△ABD为直角三角形.因为BC⊥CD，BC∩AB＝B，BC，AB⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC，所以△ACD，△BCD为直角三角形，共4个. 9.已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6 cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是　　　　cm. 答案： 解析：如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB.在Rt△FAE中，FE＝2FA，在Rt△GBE中，EG＝BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm. 10.(13分)如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a. 又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得a∥l. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(　　) A.2 B.7 C. D. 答案：A 解析：如图所示，连接PM，CM，因为PC⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC＝4，BC＝4，故CM的最小值为2，又PC＝4，则PM的最小值为＝2.故选A. 12.(多选)在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是棱PB，PC上的动点，则下列说法正确的是(　　) A.当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形 B.当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形 C.当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形 D.当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形 答案：ACD 解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，且PA，AB⊂平面PAB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥AE.对于A，因为AE⊥PB，PB，BC⊂平面PBC，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，所以△AEF一定为直角三角形，故A正确；对于C，因为EF∥平面ABC，EF⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，所以EF∥BC，所以EF⊥AE，所以△AEF一定为直角三角形，故C正确；对于D，因为PC⊥平面AEF，所以PC⊥AE.因为AE⊥BC，PC，BC⊂平面PBC，且PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，所以△AEF一定为直角三角形，故D正确；B选项中，结论无法判断，故B不正确.故选ACD. 13.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是　　　　. 答案：(6，＋∞) 解析：由题意知PA⊥DE.又PE⊥DE，PA∩PE＝P，所以DE⊥平面PAE，则DE⊥AE，即E点为以AD为直径的圆与BC的交点.因为AB＝3，BC＝a，满足条件的E点有两个，所以＞3，即a＞6. 14.(15分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，A＝，AD＝1，AB＝2，BC＝3，将梯形沿中位线EF折起使AE⊥BE，并连接AB，DC得到多面体AEB-DFC，连接DE，BD，BF. (1)求证：DF⊥平面BED； (2)求点E到平面BDF的距离. 解：(1)证明：因为AD＝1，BC＝3，EF为直角梯形ABCD的中位线，所以EF＝2，且AD∥EF. 过D作DM⊥EF，垂足为M，如图所示， 则DF＝，DE＝，EF＝2， 所以EF2＝DF2＋DE2， 所以DE⊥DF. 因为EB⊥AE，EB⊥EF，AE∩EF＝E，AE⊂平面AEFD，EF⊂平面AEFD， 所以EB⊥平面AEFD， 又DF⊂平面AEFD， 所以DF⊥EB. 又DE∩EB＝E，所以DF⊥平面BED. (2)设点E到平面BDF的距离为d，因为DM⊥EF，由(1)知，EB⊥平面AEFD. 因为DM⊂平面AEFD，所以DM⊥EB. 因为EF⊂平面BEF，EB⊂平面BEF，EB∩EF＝E，所以DM⊥平面BEF， 所以V三棱锥E-BDF＝V三棱锥D-BEF，即S△BDF·d＝S△BEF·DM. 由BA＝，得BD＝，又DF＝， 且由(1)知DF⊥平面BED，所以DF⊥DB， 所以S△BDF＝，所以·d＝1，即d＝， 故点E到平面BDF的距离为. 15.(5分)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　) A.1 B. C. D.2 答案：A 解析：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE.在△CC1A中，易证OE∥AC1.又OE⊂平面BED，AC1⊄平面BED，所以AC1∥平面BED，所以直线AC1与平面BED的距离为点A到平面BED的距离，连接AE.在三棱锥E-ABD中，V三棱锥E-ABD＝S△ABD×EC＝××2×2×＝.在三棱锥A-BDE中，BD＝2，BE＝，DE＝，所以S△EBD＝×2×＝2.设点A到平面BED的距离为h，则V三棱锥A-BDE＝S△EBD×h＝×2×h＝h＝，解得h＝1，故选A. 16.(17分)在中国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，如图所示. (1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空.若　　　　⊥　　　　，则该三棱锥为“鳖臑”. (2)已知三棱锥P-ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°.若△PAC上有一点D，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明. 解：(1)这两条棱可选AB与BC.理由如下： 因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 因此△PAC，△PAB是两个直角三角形. 当AB⊥BC时，显然△BAC是直角三角形. 因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB，而PB⊂平面PAB， 所以BC⊥PB，因此△BPC是直角三角形，所以该三棱锥为“鳖臑”.(答案不唯一) (2)连接CD，BD，如图所示，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线，证明如下： 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC＝4＋1－2×2×1×＝3. 因为BC2＋AC2＝AB2，所以BC⊥AC. 又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC. 又l⊂平面PAC，所以l⊥BC. 因为l⊥CD，CD∩BC＝C，CD，BC⊂平面BCD， 所以l⊥平面BCD， 又BD⊂平面BCD，所以l⊥BD. 学生用书⬇第120页 学科网（北京）股份有限公司 $