8.1.3 第2课时 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 A 课时作业与 数课时 空 第2课时 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 间 学作业 纠错空间 基础过关 9.（多空题)已知向量a=(1,2),b=(2,一3).若 JI CHU GUO GUAN 向量c=(x,y)满足(c+a)∥b,c⊥(a十b),则 1.已知平面向量a=(3,1),b=(x,一3)，且a1 x= ,y= b,则x= 10.已知a=(4,3),b=(-1,2). A.3 B.1 (1)求a与b的夹角的余弦值； C.-1 D.-3 (2)若(a一b)⊥(2a十b),求实数入的值 2.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c =1,则c的坐标为 A.(3,-2) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(-3,2) 3.已知点A(-2,-3),B(19,4),C(-1,-6), 则△ABC是 ( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 OA.OB=OB.O元=O元.OA,则点0是 方法总结 △ABC的 A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 5.若角a顶点在坐标原点O,始边与x轴的正半 轴重合，点P在a的终边上，点Q(一3，一4)， 11.已知a=(1,-1),b=(入，1).若a与b的夹角 且tana=一2，则OP与OQ夹角的余弦值为 α为钝角，求实数入的取值范围. A.⑤ 5 & c或-胃 D.5或5 25 5 6.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量，且它们 相互不共线，给出的下列结论正确的是( A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.al-b<la-bl D.(3a+2b)·(3a-2b)=9a2-4b2 7.已知a=(2,5),b=(入，一3)，且a⊥b,则入 8.设向量a=(1,0),b=(一1，m).若a⊥(ma b),则m= ·39· 世数学B 必修第三册 能力提升 13.已知正方形ABCD中，E,F分别是CD,AD NENG LI TI SHENG 空 的中点，BE,CF交于点P.求证： 间 12.已知a= 1,3,0A=a-b,0B=a+b, 2’2 (1)BE⊥CF; 纠错空间 若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三 (2)AP=AB. 角形，求向量b. 444444 4。。44.44。。444.44 方法总结 +4。。4+。+。4于 十494+4年+手+年+手4年+年4 ·40·世数学B 13.解：(a+kb)·(ka+b)=ka2+(k2+1)a·b+kb2 =k+(k2+1)×2×cos120°+4k =-k2+5k-1. 令-k2+5k-1>0,解得5-√2<k<5+2四 2 2 当a十kb与ka+b同向时，设a+kb=入(ka+b)(入> 0). 由已知a,b不共线，可得入k=1,k=入， 解得k=入=1， 因此，实数k的取值范围是 {5←+，且1} 2 8.1.2向量数量积的运算律 1.B[因为e1=e2=1,e1·e2=0, 所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e12+ 8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.] 2.A[:|2a+b12=4a2+b2+4a·b=36+16+48= 100,∴.2a+b=10.] 3.A[|a+b12=(a+b)2=a2+2a·b+b=10, a-b12=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6, 将上面两式左右两边分别相减，得4a·b=4, ∴.a·b=1.] 4.A[因为(O-0C)·(OB+0元-2OA)=0, 即CB·(AB+AC)=0, 又因为AB-AC=CB, 所以(AB-AC)·(AB+AC)=0, 即|AB=|AC, 所以△ABC是等腰三角形.] .B由题意知cosm,n〉=mn二3n12=支， 所以mn=子n=2,因为n(m十n)=0, 所以m…n十2=0，即子m2+n2=0,所以1=-4] 6.ACD[由a+b=a-b|可得a·b=0,.a⊥b,B 正确.门 7.解析：(a+b)·a=a2十a·b=0,∴.a·b=-a2= -1, 设a与b的夹角为0， ∴c0s0=a:b=-1 ab1×√2 一2 又0e[0,0=3s 41 答案： 8.解析：正方形ABCD的边长为2， AB·(AC+AD)=AB·(AB+2AD)=AB2+2AB ·AD=4. 答案：4 ·7 必修第三册 9.解析：由c⊥a得，a·c=0,所以a·c=a·(a十b)=0, 即a2+a·b=0.设向量a与b的夹角为0，则cos0= 8治-。0=-子，所以向量a与6的夫角日 a·b-a2 =120°. (a-b)·c=(a-b)(a+b)=a2-b2=1-4=-3. 答案：120°-3 1解ab=0=-5x5x号-要 1a+b|=√(a+b)z=√Ta2+2a·b+bz 一25+2×罗+5=55. |a-b|=√(a-b)z=√a2-2a·b+1b2 √25-2×要+25=5. 2 11.解：(1)(a-b)(a+b)= 2 a2-B=7,即a3-b12=: 又a=161-9 设(a,b〉=0， lal coso 2 ∴.向量a,b的夹角为45 (2)|a-b2=(a-b)2=|a2-2a1|bcos0+1b 12=2a-b-9 21 12.解：(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4× 16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6,∴.a+b12 =a2+b+2a·b=16+9-12=13,.|a+b =13. (2)设a与a十b的夹角为0，a·(a十b)=a2十a·b= 10,.cos0=10 5 则a在a十b方向上 4×√132√13 的投授影数量为acos0=4X5=10√B 2√1313 13.解：(1)因为a=b=c=1,且a、b、c之间的夹角 均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c =|al|ccos120°-1bl|c|cos120°=0， 所以(a-b)⊥c. (2)因为|k+b+c>1,所以(ka+b+c)2>1, 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1, 所以k2+1+1+2kcos120°+2kcos120°+2cos120 >1. 所以k2-2k>0,解得k<0,或>2. 所以实数k的取值范围为{k<0,或k>2). 8.1.3向量数量积的坐标运算 第1课时向量的坐标与向量的数量积 1.B[a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b) ·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.] 2.D[由已知得a·(2a-b)=2a2-a·b =2(4+1)-(-2+k)=0,∴.k=12.] 参考答案 3.A[由题意，设b=λa=(a,-2入)（入<0）， 则1b1=√2+(-2λ)z=√51x|=3√5， 又入<0，∴入=-3，故b=(-3,6).] 4.D[向量a在b方向上的投影数量为“：b=二6 B= 2 -3.故选D.] 5.D[,a与b的夹角为钝角，且a与b不反向， c0s0=0·b 1a6<0,a…b<0, 1X1+2×m<0,m<-7] 6.AB[由题意，设b=a=(入，-2入)（入≠0），由于b= 3w5. .b|=√2+(-2λ)2=√5z=3√5，∴.入=士3，即b =(-3,6)或(3，-6).] 7.解析：a+2b=(1,5),a·(a+2b)=1×(-1)+5×1 =4. 答案：4 8.解析：设q=（x,y),则p☒q=(x-2y,y十2x) =(-4,-3). 2y=-4=-2.」 “{y+2x=-3,…{y=1. q=(-2,1). 答案：(-2,1) 9.解析：cos<a,b)= 3×(-2)+3×5 √32+32√(-2)2+5 9 3√2·w29 3√/58 =万·√丽 58 a在b上的投影数量： 1a·cos(a,b)=0:b_3X(-2)+3X5 Tb√-2)2+5 99√29 √29 29 答案.3y图92四 58 29 10.解：(1)a与b同向，且b=(1,2), ∴.a=b=(入，2入)（入>0）. 又a·b=10,.+4λ=10， .入=2，∴.a=(2,4) (2),a·c=2×2+(-1)×4=0, .∴.(a·c)·b=0·b=0. 11.解：(1)a+b=(3,-1),a-b=(5,-5), 设a十b与a一b的夹角为0， 则cos0=a+b〉·(a-b)=15+5=25 a+b a-b J10×√50 5 a十b与a-b夹角的余弦值为2 5· 课时作业马 (2).(a-b)(2a+b), .(a-b)·(2a+b)=0, .2a2+(1-2λ)a·b-b2=0, a2=25,b2=5,a·b=-4-6=-10. ∴50-101-2x)-5以=0，解得X=-令 12.解：a=(1,2),b=(-2,一3)， ∴.c=2a+b=2(1,2)+(-2,-3)=(0,1), d=a+mb=(1,2)+m(-2,-3)=(1-2m,2- 3m), .c·d=0×(1-2m)+1×(2-3m)=2-3m. 又，c=1,d=√(1-2m)2+(2-3m)2, c·d 2-3m ÷.cos45°=1cd=/0-2m)2+(2-3m)7 瓦 化简得5m2-8m十3=0，解得m=1或m=3 5 13.解：(1)：A,B,P三点共线，AB∥BP AB=(2,-4),BP=(1,t),.2t+4=0,.t=-2. (2):店⊥丽，A店.亦=2-4=01= (3)若∠BAP是锐角，则AB·AP>0,且AB,AP不 共线。 :AB=(2,-4),AP=(3,t-4),.6-4(t-4)>0, 且≠-2，解得号且≠-2 第2课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 1.B[.a⊥b,.a·b=0,.3x-3=0,∴.x=1.] 2.C[设c=(x,y),c⊥a,.2x-3y=0. 又b·c=1,∴.x-2y=1, 综合①②知x=-3,y=-2.] 3.CAB=(19,4)-(-2,-3)=(21,7), AC=(-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3), AB.A花=21-21=0， .AB⊥AC 则∠A=90°， 又AB≠AC1, △ABC为直角三角形.] 4.D[OA.OB=OB.O元 (OA-0C.0=0. ..OB.CA=0. ∴.OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB, ∴O为三条高的交点.]