8.1.3 第1课时 向量的坐标与向量的数量积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

马 第八章向量的数量积与三角恒等变换 课时作业与 数课时 8.1.3向量数量积的坐标运算 学作业 第1课时 向量的坐标与向量的数量积 纠错空间 基础过关 10.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b= JI CHU GUO GUAN 10,求： 1.已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)· (1)向量a的坐标； (a-3b)= 4(2)若c=(2,-1),求(a·c)·b. A.10 B.-10 C.3 D.-3 2.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a一b) =0,则等于 ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 3.若平面向量a=(1,一2)与b的夹角是180°，且b =3√5，则b等于 () A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) 4.已知向量a=(0,一2√5)，b=(1,√5)，则向量 a在b方向上的投影数量为 方法总结 ( A.3 B.3 C.-√3 D.-3 5.设a=(1,2),b=(1,m).若a与b的夹角为钝 11.已知a=(4,-3),b=(-1,2) 角，则m的取值范围是 (1)求a+b与a-b夹角的余弦值； A(合+) (2)若(a-b)⊥(2a十b),求实数入的值 c(2,+∞ 6.(多选题)已知向量b与向量a=(1,一2)共线 且|b=3√5，则b= A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) 7.已知a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b) 8.(新定义问题)设m=(a,b),n=(c,d),规定两 向量m,n之间的一个运算“☒”为m☒n=(ac -bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p☒q= (一4，一3)，则q的坐标为 9.(多空题)已知向量a=(3,3),b=(一2,5)，则 cos(a·b)= ,a在b上的投影的数量 为 ·37· 世数学B 必修第三册 能力提升 13.已知平面直角坐标系中，A(0,4),B(2,0),P(3, NENG LI TI SHENG 空 t). 间 12.设a=(1,2),b=(-2,-3),又c=2a+bd (1)若A,B,P三点共线，求实数t的值. =a+mb,若c与d夹角为45°，求实数m 纠错空间 的值. (2)若AB⊥BP,求实数t的值. (3)若∠BAP是锐角，求实数t的取值范围. 444444 4。。44.44。。444.44 方法总结 +4。。4+。+。4 十49+手+4+手+年手4年+号4 ·38·世数学B 13.解：(a+kb)·(ka+b)=ka2+(k2+1)a·b+kb2 =k+(k2+1)×2×cos120°+4k =-k2+5k-1. 令-k2+5k-1>0,解得5-√2<k<5+2四 2 2 当a十kb与ka+b同向时，设a+kb=入(ka+b)(入> 0). 由已知a,b不共线，可得入k=1,k=入， 解得k=入=1， 因此，实数k的取值范围是 {5←+，且1} 2 8.1.2向量数量积的运算律 1.B[因为e1=e2=1,e1·e2=0, 所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e12+ 8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.] 2.A[:|2a+b12=4a2+b2+4a·b=36+16+48= 100,∴.2a+b=10.] 3.A[|a+b12=(a+b)2=a2+2a·b+b=10, a-b12=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6, 将上面两式左右两边分别相减，得4a·b=4, ∴.a·b=1.] 4.A[因为(O-0C)·(OB+0元-2OA)=0, 即CB·(AB+AC)=0, 又因为AB-AC=CB, 所以(AB-AC)·(AB+AC)=0, 即|AB=|AC, 所以△ABC是等腰三角形.] .B由题意知cosm,n〉=mn二3n12=支， 所以mn=子n=2,因为n(m十n)=0, 所以m…n十2=0，即子m2+n2=0,所以1=-4] 6.ACD[由a+b=a-b|可得a·b=0,.a⊥b,B 正确.门 7.解析：(a+b)·a=a2十a·b=0,∴.a·b=-a2= -1, 设a与b的夹角为0， ∴c0s0=a:b=-1 ab1×√2 一2 又0e[0,0=3s 41 答案： 8.解析：正方形ABCD的边长为2， AB·(AC+AD)=AB·(AB+2AD)=AB2+2AB ·AD=4. 答案：4 ·7 必修第三册 9.解析：由c⊥a得，a·c=0,所以a·c=a·(a十b)=0, 即a2+a·b=0.设向量a与b的夹角为0，则cos0= 8治-。0=-子，所以向量a与6的夫角日 a·b-a2 =120°. (a-b)·c=(a-b)(a+b)=a2-b2=1-4=-3. 答案：120°-3 1解ab=0=-5x5x号-要 1a+b|=√(a+b)z=√Ta2+2a·b+bz 一25+2×罗+5=55. |a-b|=√(a-b)z=√a2-2a·b+1b2 √25-2×要+25=5. 2 11.解：(1)(a-b)(a+b)= 2 a2-B=7,即a3-b12=: 又a=161-9 设(a,b〉=0， lal coso 2 ∴.向量a,b的夹角为45 (2)|a-b2=(a-b)2=|a2-2a1|bcos0+1b 12=2a-b-9 21 12.解：(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4× 16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6,∴.a+b12 =a2+b+2a·b=16+9-12=13,.|a+b =13. (2)设a与a十b的夹角为0，a·(a十b)=a2十a·b= 10,.cos0=10 5 则a在a十b方向上 4×√132√13 的投授影数量为acos0=4X5=10√B 2√1313 13.解：(1)因为a=b=c=1,且a、b、c之间的夹角 均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c =|al|ccos120°-1bl|c|cos120°=0， 所以(a-b)⊥c. (2)因为|k+b+c>1,所以(ka+b+c)2>1, 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1, 所以k2+1+1+2kcos120°+2kcos120°+2cos120 >1. 所以k2-2k>0,解得k<0,或>2. 所以实数k的取值范围为{k<0,或k>2). 8.1.3向量数量积的坐标运算 第1课时向量的坐标与向量的数量积 1.B[a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b) ·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.] 2.D[由已知得a·(2a-b)=2a2-a·b =2(4+1)-(-2+k)=0,∴.k=12.]