8.1.2 向量数量积的运算律-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

参考答案 11.解：p·g=(a+b)·(a-b)=a2-b2=a2-b2= 3-1=2. |p=a+bl=√a2+2a·b+b =√3+2√5cos30°+1=√7， 1q=a-b|=√a2-2a·b+b2= √/3-2√3cos30°+1=1， 品成9 12.解：设OM=tAM,0≤t≤1，则OB+OC=2OM= 2tAM, OA=OM+MA=1AM-AM=(-1)AM, ∴.OA·(OB+OC)=2(t-1)tAM2=8(t-1)t=8t2 -8t =8)了-2…当1=时，0成.0i+6d有 最小值一2. 13.解：(1)，△ABC为等边三角形， ∴.∠ABC=60 如图，延长AB至点D,使AB= BD,则AB=BD, ∴.∠DBC为向量AB与BC的 夹角. D ∠DBC=120°， ∴.向量AB与BC的夹角为120°. (2),E为BC的中点，.AE⊥BC, .AE与EC的夹角为90° 第2课时向量的投影与向量数量积的几何意义 1.D[设a与c的夹角为01，b与c的夹角为02， .a·c=b·c,∴.|a·ccos01=|b·ccos02, 即acos91=|bcos02,故选D.] 2.B[由数量积的几何意义知 a·e=|e·a·cos0=1×(-2)=-2.] 3.B[由数量积的几何意义知a·b=(acos〈a·b)lbl =×2=] 4.A[设0为向量a一2b与向量a的夹角， 则向量a-2b在向量a方向上的投影数量为 a-2b cos 0. 又m9=8-g”aa7而 1 故a-2b1cos9=a-2b·a=2b=1.] 5.B[.a+b=c,.c2=|a+b2=a2+2a·b+b2. 又|a=|b=|c,∴.2a·b=-b2, 即2 abcos(a,b)=-|b2. msa,b0=-7a,b=120,] 6.ABCD[由数量积的几何意义知A、B、C、D都正确.] 7.解折：a·b=b·acos9=3×号=2. 答案：2 ·6 课时作业兰 8.解析：设a与b的夹角为0，a·b=16, .|a·bl·cos0=16, 又a在b方向上投影数量为4， .a·cos0=4,.|bl=4. 答案：4 9.解析：依题意得(a-b)·(a十b)=a2-b2=-3,(a+ b)2=a2+b+2a·b=3,即a十b=√3，向量a-b在 向量a十b方向上的投影是a-b)·（a十b)=一3 a+b -5 答案：一√3 10.解：根据菱形的性质得AB=5,|BC1=4,|AC =3, .△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°. a:∠BMC-%-号m∠AC-S-手 (1)AB.BC=AB1·BCI cos(x-∠ABC) =5X4X(-cos∠ABC) =20×(号)）-16， (2)AC在AB上的投影的教量为AC·cos(AC,AB) =3Xcs∠BAC=3Xg-号 (3)AB在BE上的投影的数量为|AB|·cos〈AB,BE》 =5Xc0s(x-∠ABC)=-5c0s∠ABC=-5X号 -4. 11.解：(1)|a=2b=2, .a=2,|b=1. 又a在b方向上的投影数量为acos0=-1, 8os0-70-=2s 1 31 (2)(a-2b)·b=a·b-2b2=|a|b|cos0-2b2 =-1-2=-3. (3).a十b与a-3b互相垂直， ∴.(a+b)·(a-3b)=a2-3a·b+b·a-3b2 =4+3以-1-3=7以-4=0，a=号 12.解：：1AB1=5,BC1=4,|AC1=3. ∴.△ABC为直角三角形，且C=90° msA-6-号cosB器=告 AC3 1)成.B元=-BA.B0=-5×4×号=-16： (2)1AC1·cosA,AB)=AC·AB 35X3 5 ABI 5 (3)1AB·cos(A店，B元=BC·A店-BA.Bd LBCI BCI -5×4×4 =-4. 4 世数学B 13.解：(a+kb)·(ka+b)=ka2+(k2+1)a·b+kb2 =k+(k2+1)×2×cos120°+4k =-k2+5k-1. 令-k2+5k-1>0,解得5-√2<k<5+2四 2 2 当a十kb与ka+b同向时，设a+kb=入(ka+b)(入> 0). 由已知a,b不共线，可得入k=1,k=入， 解得k=入=1， 因此，实数k的取值范围是 {5←+，且1} 2 8.1.2向量数量积的运算律 1.B[因为e1=e2=1,e1·e2=0, 所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e12+ 8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.] 2.A[:|2a+b12=4a2+b2+4a·b=36+16+48= 100,∴.2a+b=10.] 3.A[|a+b12=(a+b)2=a2+2a·b+b=10, a-b12=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6, 将上面两式左右两边分别相减，得4a·b=4, ∴.a·b=1.] 4.A[因为(O-0C)·(OB+0元-2OA)=0, 即CB·(AB+AC)=0, 又因为AB-AC=CB, 所以(AB-AC)·(AB+AC)=0, 即|AB=|AC, 所以△ABC是等腰三角形.] .B由题意知cosm,n〉=mn二3n12=支， 所以mn=子n=2,因为n(m十n)=0, 所以m…n十2=0，即子m2+n2=0,所以1=-4] 6.ACD[由a+b=a-b|可得a·b=0,.a⊥b,B 正确.门 7.解析：(a+b)·a=a2十a·b=0,∴.a·b=-a2= -1, 设a与b的夹角为0， ∴c0s0=a:b=-1 ab1×√2 一2 又0e[0,0=3s 41 答案： 8.解析：正方形ABCD的边长为2， AB·(AC+AD)=AB·(AB+2AD)=AB2+2AB ·AD=4. 答案：4 ·7 必修第三册 9.解析：由c⊥a得，a·c=0,所以a·c=a·(a十b)=0, 即a2+a·b=0.设向量a与b的夹角为0，则cos0= 8治-。0=-子，所以向量a与6的夫角日 a·b-a2 =120°. (a-b)·c=(a-b)(a+b)=a2-b2=1-4=-3. 答案：120°-3 1解ab=0=-5x5x号-要 1a+b|=√(a+b)z=√Ta2+2a·b+bz 一25+2×罗+5=55. |a-b|=√(a-b)z=√a2-2a·b+1b2 √25-2×要+25=5. 2 11.解：(1)(a-b)(a+b)= 2 a2-B=7,即a3-b12=: 又a=161-9 设(a,b〉=0， lal coso 2 ∴.向量a,b的夹角为45 (2)|a-b2=(a-b)2=|a2-2a1|bcos0+1b 12=2a-b-9 21 12.解：(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4× 16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6,∴.a+b12 =a2+b+2a·b=16+9-12=13,.|a+b =13. (2)设a与a十b的夹角为0，a·(a十b)=a2十a·b= 10,.cos0=10 5 则a在a十b方向上 4×√132√13 的投授影数量为acos0=4X5=10√B 2√1313 13.解：(1)因为a=b=c=1,且a、b、c之间的夹角 均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c =|al|ccos120°-1bl|c|cos120°=0， 所以(a-b)⊥c. (2)因为|k+b+c>1,所以(ka+b+c)2>1, 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1, 所以k2+1+1+2kcos120°+2kcos120°+2cos120 >1. 所以k2-2k>0,解得k<0,或>2. 所以实数k的取值范围为{k<0,或k>2). 8.1.3向量数量积的坐标运算 第1课时向量的坐标与向量的数量积 1.B[a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b) ·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.] 2.D[由已知得a·(2a-b)=2a2-a·b =2(4+1)-(-2+k)=0,∴.k=12.]第八章向量的数量积与三角恒等变换 A 课时作业与 数课时 空 8.1.2 向量数量积的运算律 间 学作业 纠错空间 基础过关 9.(多空题)若a=1,b=2,c=a十b且c⊥a,则向量 JI CHU GUO GUAN a与b的夹角为 ,(a-b)·c= 1.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e 10.已知a=b=5,向量a与b的夹角0为 +2e2,b=-3e1十4e2,则a·b等于( A.-2 B.-1 吾求a+1a-b. C.1 D.2 2.已知a,b方向相同，且a=3,b=4,则|2a+b = A.10 B.100 C.11 D.121 3.设向量a,b满足a十b=√10，a-b=√6，则 a·b等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 方法总结 4.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足 (OB-O元)·(OB+O元-2OA)=0,则 △ABC的形状为 () A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 5.已知非零向量m,n满足4m=3n,cos(m, 11.已知非零向量a,b,满足a=1,(a-b)·(a m)=子，若aL(m十n),则实数4的值为 +b)=3,且a6=子 (1)求向量a,b的夹角：(2)求a-b. A.4 B.-4 44444444 c号 n号 6.(多选题)已知两个非零向量a,b满足|a+b =a一b,则下面结论错误的是 ( ) A.a∥b B.a⊥b C.lal=b D.a+b=a-b 7.已知a=1,b=√2，且(a+b)与a垂直，则 a与b的夹角是 8.已知正方形ABCD的边长为2，则AB·(AC 十AD)= ·35· 世数学B 必修第三册 能力提升 13.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们 NENG LI TI SHENG 空 相互之间的夹角均为120°. 间 12.已知a=4,b=3,(2a-3b)·(2a+b) (1)求证：(a-b)⊥c; 纠错空间 =61. (2)若|ka十b十c|>1(k∈R),求的取值 (1)求a+b; 范围. (2)求向量a在向量a+b方向上的投影 数量. 4。。4.44.44444 方法总结 +4。。4+。+。4 十494+4年+手+年+手4年+年4 ·36·