8.1.1 第2课时 向量的投影与向量数量积的几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

世数学B 所以3x+=-+2， 或3x+至-至+26，k∈乙 所以1= 吾+或x2k长z ①)若r∈）则x=0或子， 2)若[晋一看）则x=一吾我一 12.解：由题意，得n10:即-1≤an<1. 11-tan z>0, 在（受，受）内，满足上述不等式的x的取值范围 是[至，至）又y=tanx的周期为x, 所以函教的定义战是[x一牙，k+子)水∈Z》, 13.解：1)因为图像最高点的坐标为（登，5） 所以A=5.因为子=苔是=子， 所以T=π， 所以w要=2，所以y=5sin(2x十g). 代入点（管，5）得sim(肾+9）=1， 所以行+9=2kx十受，k∈Z, 则9=-吾+2kx,k∈Z, 因为g<受，所以g=一吾， 所以y=5sin(2r-吾)片 (2)因为画数的增区间满足2x一受≤2x-否≤2x 十受∈所以2kx-子≤2≤2kx+(k∈Z,所 3 以kx-若<≤kx+吾∈Z. 所以函数的增区间为 [x-否，kx+5]k∈. (3)因为5si(2:-晋）0. 所以2kx-≤2x-吾≤2kxk∈Z, 所以kx一晋≤<x+是k∈z 故所求x的取值范围是 [x登kx+]aez. 第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.1向量的数量积 8.1.1向量数量积的概念 第1课时两个向量的夹角、向量数量积的定义 1.B[BA·BC=IBA1IBC1cos∠ABC=2X√2Xcos 45°=2.] ·6 必修第三册 2.B设a与b的夹角为0， 则s0=。2:60X形 a·b -60 ∴.0=120°.] 3.B[因为a、b为单位向量，且其夹角为60°， 所以a·b=1X1Xc0s60°=号 2” (2a-b)·b=2a·b-=2X司 -1=0.] 4.C[如图，作向量AD=BC,则∠BADB: 是AB与BC的夹角，在△ABC中，因为 C=90BC=合AB,所以∠ABC= 60°，所以∠BAD=120°.] 5.D[由条件知∠ABC=90°， 所以原式=0+4×5cos(180°-C)+5×3cos(180° A) =-20cos C-15cos A =-20×号-15×号=-16-9=-25.1 6.ACD[选项B中，|a·b|=a|bcos0,其中0为a 与b的夹角.] 7.解析：作OA=a,OB=b,则BA=a一 b,∠AOB为a与b的夹角，由a= b|=|a-b1知△AOB为等边三角 形，则∠AOB=60. 0 答案：60 8.解析：易知AB|=1BC12+ CA2, C-0'.cos ∴.cos(AB,BC)=cos(180°-B) =-cos B=- 5 1 .AB.BC=|AB1·BC1cos(180°-B) =18x5×()-25. 答案：-25 9.解析：AB·AC=AB11 ACl cos∠BAC, 即8=4X4cos∠BAC,于是cos∠BAC=Z, 1 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC=60. 又AB=AC,故△ABC是等边三角形. 此时AB·BC=|AB11 BCI cos120°=-8. 答案：等边三角形一8 10.解：(1)AB与AC的夹角为60 A店.A花=ACms60=1X1X号= (2)AB与BC的夹角为120°， ..AB.BC=ABI BCI cos 120 =1x1×(←)=-2 (3):BC与AC的夹角为60°， 成.花-cos0=1X1×号-号 参考答案 11.解：p·g=(a+b)·(a-b)=a2-b2=a2-b2= 3-1=2. |p=a+bl=√a2+2a·b+b =√3+2√5cos30°+1=√7， 1q=a-b|=√a2-2a·b+b2= √/3-2√3cos30°+1=1， 品成9 12.解：设OM=tAM,0≤t≤1，则OB+OC=2OM= 2tAM, OA=OM+MA=1AM-AM=(-1)AM, ∴.OA·(OB+OC)=2(t-1)tAM2=8(t-1)t=8t2 -8t =8)了-2…当1=时，0成.0i+6d有 最小值一2. 13.解：(1)，△ABC为等边三角形， ∴.∠ABC=60 如图，延长AB至点D,使AB= BD,则AB=BD, ∴.∠DBC为向量AB与BC的 夹角. D ∠DBC=120°， ∴.向量AB与BC的夹角为120°. (2),E为BC的中点，.AE⊥BC, .AE与EC的夹角为90° 第2课时向量的投影与向量数量积的几何意义 1.D[设a与c的夹角为01，b与c的夹角为02， .a·c=b·c,∴.|a·ccos01=|b·ccos02, 即acos91=|bcos02,故选D.] 2.B[由数量积的几何意义知 a·e=|e·a·cos0=1×(-2)=-2.] 3.B[由数量积的几何意义知a·b=(acos〈a·b)lbl =×2=] 4.A[设0为向量a一2b与向量a的夹角， 则向量a-2b在向量a方向上的投影数量为 a-2b cos 0. 又m9=8-g”aa7而 1 故a-2b1cos9=a-2b·a=2b=1.] 5.B[.a+b=c,.c2=|a+b2=a2+2a·b+b2. 又|a=|b=|c,∴.2a·b=-b2, 即2 abcos(a,b)=-|b2. msa,b0=-7a,b=120,] 6.ABCD[由数量积的几何意义知A、B、C、D都正确.] 7.解折：a·b=b·acos9=3×号=2. 答案：2 ·6 课时作业兰 8.解析：设a与b的夹角为0，a·b=16, .|a·bl·cos0=16, 又a在b方向上投影数量为4， .a·cos0=4,.|bl=4. 答案：4 9.解析：依题意得(a-b)·(a十b)=a2-b2=-3,(a+ b)2=a2+b+2a·b=3,即a十b=√3，向量a-b在 向量a十b方向上的投影是a-b)·（a十b)=一3 a+b -5 答案：一√3 10.解：根据菱形的性质得AB=5,|BC1=4,|AC =3, .△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°. a:∠BMC-%-号m∠AC-S-手 (1)AB.BC=AB1·BCI cos(x-∠ABC) =5X4X(-cos∠ABC) =20×(号)）-16， (2)AC在AB上的投影的教量为AC·cos(AC,AB) =3Xcs∠BAC=3Xg-号 (3)AB在BE上的投影的数量为|AB|·cos〈AB,BE》 =5Xc0s(x-∠ABC)=-5c0s∠ABC=-5X号 -4. 11.解：(1)|a=2b=2, .a=2,|b=1. 又a在b方向上的投影数量为acos0=-1, 8os0-70-=2s 1 31 (2)(a-2b)·b=a·b-2b2=|a|b|cos0-2b2 =-1-2=-3. (3).a十b与a-3b互相垂直， ∴.(a+b)·(a-3b)=a2-3a·b+b·a-3b2 =4+3以-1-3=7以-4=0，a=号 12.解：：1AB1=5,BC1=4,|AC1=3. ∴.△ABC为直角三角形，且C=90° msA-6-号cosB器=告 AC3 1)成.B元=-BA.B0=-5×4×号=-16： (2)1AC1·cosA,AB)=AC·AB 35X3 5 ABI 5 (3)1AB·cos(A店，B元=BC·A店-BA.Bd LBCI BCI -5×4×4 =-4. 4第八章向量的数量积与三角恒等变换 课时作业乡 A 数课时 空 第2课时 向量的投影与向量数量积的几何意义 间 学作业 纠错空间 基础过关 9.已知向量a,b的夹角为120°，且a=1,b=2,则 JI CHU GUO GUAN 向量a一b在向量a十b方向上的投影是 1.若a·c=b·c(c≠0)，则 ( 10.如图，在菱形ABDE中， B A.a=b B.a≠b 其对角线AD=6,BD C.lal=b =8.求： D.a在c方向上的投影数量与b在c方向上的 (1)AB·BC: 投影数量必相等 (2)AC在AB上的投影的数量： 2.已知a=4,e为单位向量，a在e方向上的投 (3)AB在BE上的投影的数量. 影数量为-2，则a与e的数量积为 ( A.8 B.-2 C.4 D.-4 3.已知b=2,a在b上的投影的数量为子，则a ·b的值为 ( A号 B C.2 n号 方法总结 4.已知向量a,b满足|a=1,a⊥b,则向量a一 2b在向量a方向上的投影数量为 () A.1 取号 C.-1 n29 5.设非零向量a、b、c满足a=b=c,a十b 11.已知a=2b=2,且向量a在向量b方向 =c,则(a,b)等于 ( 上的投影数量为一1. A.150 B.120 (1)求a与b的夹角0： C.60° D.30 (2)求(a-2b)·b: 6.(多选题)下列说法正确的是 (3)当入为何值时，向量a+b与向量a一3b A.a⊥b→a·b=0 互相垂直？ B.向量b在a方向上投影数量为b·cos(a ·b) C.数量积a·b的几何意义等于a的长度a 与b在a方向上的投影数量|b·cos0的 乘积 D.在△ABC中，AB·CB<0,则△ABC的形 状是钝角三角形 7.已知b1=3,a在6方向上的投影数量是号， 则a·b= 8.已知a·b=16,若a在b方向上的投影数量为 4,则|b= ·33· 世数学B 必修第三册 能力提升 13.已知a=1,b=2,a与b的夹角为120°， NENG LI TI SHENG 空 求使a+kb与ka+b的夹角为锐角的实数k 间 12.在△ABC中，已知AB|=5,BC=4,1AC 的取值范围. =3,求： 纠错空间 (1)AB.BC; (2)AC在AB方向上的投影数量； (3)AB在BC方向上的投影数量. 4。。4.44.44444 方法总结 +4。。4+。+。4 十494+4年+手+年+手4年+年4 ·34·