2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练 专题 2.17 勾股定理及其逆定理（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- （全国通用）

专题 2.17 勾股定理及其逆定理（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型分类精析 2 【知识点一】勾股定理 2 【知识点二】勾股定理的逆定理 2 考点 一：直接用勾股定理求边长 2 题型 1：已知直角三角形两边，求第三边 3 题型 2：含特殊角（30°、45°）直角三角形边长计算 5 题型 3：方程思想：设一边，用勾股定理列方程 8 考点 二：勾股定理逆定理判定直角三角形 12 题型 4：给三边长，判断是否为直角三角形 12 题型 5：判断三角形形状 14 题型 6：结合网格判断垂直或直角 15 考点 三：勾股定理与折叠问题 18 题型 7：直角三角形折叠求值 18 题型 8：矩形折叠求值 21 题型 9：折叠后求重叠部分面积 25 考点 四：勾股定理与最短路径 28 题型 10：圆柱、圆锥侧面爬行最短路径 28 题型 11：长方体表面爬行最短路径 33 题型 12：平面内 “将军饮马”+ 勾股定理求最短距离 39 考点 五：勾股定理与网格问题 44 题型 13：网格中求线段长度或角度 44 题型 14：网格中判断直角三角形 48 题型 15：网格中求面积 51 考点 六：实际应用 54 题型 16：梯子靠墙问题 54 题型 17：航行问题（台风、港口、相遇） 56 题型 18：高度、宽度测量（旗杆、大树、河流宽度） 60 题型 19：折断问题（树折断、柱子折断） 62 考点七：勾股定理与几何综合 65 题型 20：与等腰三角形综合 65 题型 21：与等边三角形综合 67 题型 22：与正方形、矩形综合 70 题型 23：与圆综合（直径、弦长、切线） 74 题型 24：坐标系中求距离、点坐标 77 二.中考真题专练 80 一、单选题（5题） 80 二、填空题（5题） 86 三、解答题（2题） 90 一.知识梳理与题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】勾股定理 （1） 定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即）； （2） 勾股定理的证明思路：图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理； （3） 勾股定理的应用：已知直角三角形的任意两边长，求第三边；已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；利用勾股定理解决一些实际问题。 【知识点二】勾股定理的逆定理 定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 勾股数：能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称为一组勾股数. 考点 一：直接用勾股定理求边长 题型 1：已知直角三角形两边，求第三边 【例题1】（2025·陕西渭南·一模）如图，在四边形中，，，过点A作，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，延长交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得四边形是平行四边形，，等量代换，可得，可得，即可证得结论； （2）由菱形的性质，结合平行线的性质，可得，根据勾股定理可得，代入三角形的面积公式，可得，由勾股定理，即可得的长． （1）证明：，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是菱形． （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 的长为． 【点睛】本题考查平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，三角形的高相关的计算． 【变式1】（2025·四川乐山·二模）如图，于点，于点，已知，，则点到直线的距离是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据点到直线的距离的定义解答即可． 解：∵，，， ∴， 点到直线的距离是， 故答案为：． 【变式2】（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）根据中点得到，根据平行四边形的性质得到，则，运用角边角即可求证； （2）根据三线合一得到，由勾股定理得到，再证明四边形为平行四边形，由此即可求解． （1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，四边形为平行四边形，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 题型 2：含特殊角（30°、45°）直角三角形边长计算 【例题2】（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 【变式1】（2026·广东中山·模拟预测）如图，在中，， ，且，点分别是线段的中点，则面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、三角形的面积等，熟练掌握勾股定理解等腰直角三角形的解题的关键． 先证明为等腰直角三角形，再结合运用勾股定理求出，然后通过点分别是线段的中点，得出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 解：∵在中，， ， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，，， ∴根据勾股定理：，即，解得：（负值舍去）， ∴． ∵点分别是线段的中点， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在长方形中，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的加减运算，先证明，，可得，再进一步求解即可． 解：∵四边形是长方形，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)当时，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、等边三角形的判定等： （1）根据全等三角形的判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再利用勾股定理求出，利用等边三角形的判定即可证明． 解：（1）因为在和中， ，，． 所以 （2）因为，所以， 所以，所以， 所以，所以为等边三角形，所以． 题型 3：方程思想：设一边，用勾股定理列方程 【例题3】（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理．设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程． 解：设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺， ∴由勾股定理得， 故选：D． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，分别是，的中点，，，则 ． ‍ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 设，，由勾股定理得，整理得，然后根据即可求解． 解：设，， ∵，分别是，的中点， ∴． 由勾股定理得 ，得， 则， ‍． 故答案为：． 【变式3】（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）由，，得出，再结合勾股定理及即可求解； （2）过点作于点，利用中线得，设，则，利用，列式求解，再求，即可求解． （1）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵是斜边上的中线， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴． 考点 二：勾股定理逆定理判定直角三角形 题型 4：给三边长，判断是否为直角三角形 【例题4】（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 【变式1】（2023·上海普陀·一模）在中，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理以及正弦的定义，先通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后再利用正弦的定义解题即可． 解：在中，，，， ∵ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，． ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 解：A、，能构成直角三角形，选项错误； B、，能构成直角三角形，选项错误； C、，能构成直角三角形，选项错误； D、，不能构成直角三角形，选项正确； 故选：D． 【变式3】（2025·江苏南京·二模）下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（   ） A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可判断，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 题型 5：判断三角形形状 【例题5】（24-25九年级上·湖南娄底·期中）三角形的两边长分别为4和5，第三边的长为方程的根，则此三角形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解一元二次方程，直角三角形的判定，直角三角形的面积，求出一元二次方程的解得到三角形的第三条边是解答关键． 先求出一元二次方程的解，得到三角形第三条边，再利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式求解． 解：三边的长为方程的根， ， ，， 解得（不符合题意舍去），， 三角形的第三边的长为3． ， 这个三角形是以3和4为两条直角边的直角三角形， 此三角形的面积为． 故答案为：6． 【变式1】三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先由完全平方公式展开，再由勾股定理的逆定理求解． 解：， ， ． 此三角形为直角三角形． 故选：B． 【变式2】（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是． 故答案为． 【变式3】（22-23八年级上·江苏常州·期中）中，，，，则边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股逆定理的运用，直角三角形斜边中线等于斜边一半，根据勾股定理逆定理判定直角三角形，再根据直线三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 解：中，，，， ∵，， ∴是直角三角形，， ∴边上的中线长为， 故答案为： ． 题型 6：结合网格判断垂直或直角 【例题6】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，E均在格点（网格线的交点）上，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查勾股定理、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，由勾股定理求得，由，推导出，而，即可根据“”证明，则． 证明：由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·北京平谷·期末）如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、正弦，熟练掌握正弦的定义是解题关键．先根据网格和勾股定理可得，，再根据正弦的定义求解即可得． 解：如图，由网格可知，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格中利用勾股定理求线段长度，结合直角三角形的余弦定义计算角度的余弦值． 根据网格的特征，连接构造，利用勾股定理计算线段和的长度，再通过中，求得的值即可． 解：连接，由题可知，此时， 在网格中，由勾股定理可得：，， ∴在中，． 故答案为：． 【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在小正方形顶点上． (1)在图1中画出，使四边形是中心对称图形，点在小正方形格点上．连接，并直接写出线段的长； (2)在图2中画出，使四边形是轴对称图形，点在小正方形格点上． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形和中心对称图形，勾股定理，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． （1），取格点D，连接，则四边形即为所求，再利用勾股定理求出线段的长即可； （2）取格点E，连接，则四边形即为所求． （1）解：如图1所示，取格点D，连接，则四边形即为所求；则 （2）解：如图2所示，取格点E，连接，则四边形即为所求． 考点 三：勾股定理与折叠问题 题型 7：直角三角形折叠求值 【例题7】（2021·河南南阳·一模）在中，为边上一点．将沿着过点的直线折叠，使点落在边上的处．若，，，则整个过程中，的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，当时，最小，推出是等腰直角三角形，可得最小，设，则，，解方程即可得到结论． 本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 解：如图， 将沿着过点的直线折叠，使点落在边上的处， ， 当时，最小， ， 是等腰直角三角形， ∴， 此时最小， 设，则，， ， ， ， 的最小值是； 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 【变式2】（2024·云南曲靖·二模）如图，已知在中，过点C作于点D，点E为上一点，连接，交于点G，是沿折叠所得，且点C的对应点F恰好落在上，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）推出，，进而推出四边形是平行四边形，并根据证得四边形是菱形； （2）首先利用勾股定理求出，设，然后用x表示出和，再在中，利用勾股定理构建方程，求出x，进一步计算即可求解． （1）证明：∵，是沿折叠所得， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，， ∴， 设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是沿折叠所得， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． 题型 8：矩形折叠求值 【例题8】如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在矩形中，，，点F为边上一点且，点E为边上一点，将矩形沿过点E的直线折叠，使点D落在边上的点F处，则折痕的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点L，作于点M，则，所以四边形是矩形，则，由，得，则，求得，而，则，由折叠得垂直平分，则，可证明，由，求得，于是得到问题的答案． 解：设交于点L，作于点M， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形， ， 点F为边上一点且， ， ， ， ， 由折叠得点F与点D关于直线对称， 垂直平分， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、同角的余角相等、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【变式2】（2025·江苏扬州·二模）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，由折叠的性质可知：，设，则有，然后根据勾股定理可进行求解． （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：在矩形中，，， ∴， 由折叠的性质可知：， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴． 题型 9：折叠后求重叠部分面积 【例题9】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点坐标为，若把图形按如图所示折叠，使、两点重合，折痕为． (1)求三角形面积； (2)求的函数表达式． 【答案】(1)6； (2)． 【分析】（1）设点的坐标为，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）根据勾股定理得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式． （1）解：点的坐标为，四边形为矩形， ，， 设点的坐标为， ， ，， 在中，， ， 解得：， ， ， 三角形面积； （2）解：由题意可知，，，， 设点的坐标为，则，， 在中，， 即， 解得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得：， 直线的解析式为． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，矩形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级下·上海·期中）在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（   ）cm2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形及折叠的性质可得AE=AF，再由勾股定理可求得AE的长，从而可求得重叠部分的面积． ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠AFE=∠FEC 由折叠的性质知：∠AEF=∠FEC，AE=CE ∴∠AFE=∠AEF ∴AE=AF 设BE=xcm，则AE=CE=(4-x)cm 在Rt△ABE中，由勾股定理得： 解得： ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理建立方程求得AE的长是解题的关键． 【变式2】如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质和折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及间接法求三角形的面积，解题的关键是利用勾股定理正确求出BF的长度． 先证明，得到，设，则，根据勾股定理，求出x，然后利用的面积减去的面积，即可得到答案． 解：由折叠和矩形的性质可知，，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴； 故选：C． 考点 四：勾股定理与最短路径 题型 10：圆柱、圆锥侧面爬行最短路径 【例题10】（24-25八年级上·广东深圳·月考）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求最短路径(勾股定理的应用)以及两点之间线段最短，画出正确的侧面展开图是解题关键； （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）由展开图可知：，求出；即可求解； （3）若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍；据此即可求解； （4）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，求出；根据，即可求解； （1）解：∵过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是； （2）解：由展开图可知：， ∴； 该金属丝长度最短需要，即； （3）解：若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍； ∵， ∴所需金属丝最短长度是； （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 则，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴； ∵， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是； 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键．将六棱柱侧面展开后，再运用勾股定理即可解答． 解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为的长，    由勾股定理得，， 这圈金属丝的长度至少为． 故选：A． 【变式2】（2023·陕西西安·二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．    【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是解题的关键． 解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是， 故答案为：．    【变式3】（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． （1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 题型 11：长方体表面爬行最短路径 【例题11】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． （1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·月考）如图是一块长方体木块，长，宽，高，棱上的点P处有一滴蜂蜜，，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点B处，沿着长方体的表面爬行到点P处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 解：第一种情况：把我们所看到的上面和右面组成一个平面，    ，， ，， ，， 则所走的最短路径的长是； 第二种情况：把我们看到的前面与右面组成一个长方形，    ，， ，， 所以走的最短路径的长是； 第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形，    ，，， ， 则所走的最短路径的长是； ， 所走的最短路径的长是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是平面展开-最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段． 【变式2】（24-25八年级上·山东枣庄·月考）如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将长方体沿着它的长、宽、高分别展开，利用勾股定理求出对应的最短路径，比较即可得到答案． 解：如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； ∵， ∴从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 故答案为：13． 【变式3】（23-24八年级下·湖南永州·月考）如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 【答案】(1)底面矩形的对角线的长为 (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是 (3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径 【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果； （2）根据题意连接、，两次运用勾股定理即可得出结果; （3）分别求出三种情况下蚂蚁爬行的最短距离，然后进行比较，得出蚂蚁爬行的最短距离即可． （1）解：∵、，， ∴对角线的长为：； 答：底面矩形的对角线的长为． （2）解：连接、，如图所示： 在中， ∵、，， ∴， 在中， ． 答：这个盒子最长能放的棍子． （3）解：将前面的面和右边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； 将前面的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； 将左边的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； ∵， ∴蚂蚁从D点爬到E点最短路径． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键． 题型 12：平面内 “将军饮马”+ 勾股定理求最短距离 【例题12】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，延长至点D，使，连接． (1)求证：； (2)若E为线段上的一点，且，，P为线段上的一动点，连接，． ①求的最小值； ②求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定和性质得出，，，再由等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，即可证明； （2）①过点P作于点D，过点E作交于点，交于点根据含30度角的直角三角形的性质得出，确定当点P与点重合时，的值最小，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； ②过点D作交于点P，交于点 由题意知点B与点D关于对称，得出，结合图形求解即可． （1）证明：，B，C，D三点共线， ， ，， ∴， ，， ， 是等边三角形， ； （2）解：①如图1，过点P作于点D，过点E作交于点，交于点 ， ， 当点P与点重合时，的值最小． ，，， 由（1）得， ， 在中，， ， ， ， 故的最小值是 ②如图2，过点D作交于点P，交于点 由题意知点B与点D关于对称， ， 同①得，， ， 故的最小值是 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，得到，当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后得到由对称得，然后利用勾股定理求解即可． 解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在等腰直角三角形中，，边绕点逆时针旋转至线段的位置，点分别为直线上的动点．    （1）的最小值为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】（1）根据垂线段最短，当时的长最小，进而利用勾股定理求解即可； （2）作点A关于的对称点，连接，，，，则，当、M、D共线时取等号，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求得即可． 解：（1）根据根据垂线段最短，当时最小，此时，， 由旋转性质得，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 故的最小值为1， 故答案为：1； （2）如图，作点A关于的对称点，连接，，，，则，当、M、D共线时取等号， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， 设与交点为P，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 故的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查最短路径问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理、两点之间线段最短、垂线段最短、平行线的判定与性质等知识，综合性较强，解答的关键是明确垂线段最短和利用轴对称性质确定最短路径． 【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，等腰的底边长为4，腰长为5，的垂直平分线分別交，于点，．点M，N分别为线段，上的动点，连接，，请探索是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理求出答案即可． 解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为4，腰， ， 的最小值为． 考点 五：勾股定理与网格问题 题型 13：网格中求线段长度或角度 【例题13】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均落在格点（网格线的交点）上，是与网格线的交点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，斜边上的中线，根据勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到，斜边上的中线得到，即可得出结果． 解：由勾股定理，得， ∴， ∴， 由图可知，为的中点， ∴； 故选C． 【变式1】（24-25九年级上·云南临沧·期末）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理与网格，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握勾股定理与网格，全等三角形的判定和性质是关键． 如图，连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·青海海东·期中）如图所示的网格是正方形网格，是网格线的交点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接，如图所示，令正方形网格的边长为1，先在网格中由勾股定理求出，由勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的判定与性质即可得到答案．熟练掌握网格中勾股定理求线段长及勾股定理的逆定理的运用是解决问题的关键． 解：连接，如图所示： 令正方形网格的边长为1， ， 即，， 是等腰直角三角形，则， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为 . 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，以及平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键． 如图，利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段成比例，进行求解即可． 解：如图：， ∴， 在中，， 则：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 题型 14：网格中判断直角三角形 【例题14】（25-26八年级上·四川成都·月考）在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用勾股定理、勾股定理的逆定理即可判断． 解：A．∵，，， ∴三角形不是直角三角形； B．∵，，，， ∴三角形不是直角三角形； C．∵，，，， ∴三角形是直角三角形； D．∵，，，, ∴三角形不是直角三角形． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在5×5的正方形网格中，从格点A，B，C，D中取三个点，连接这三点的线段构成一个直角三角形，并证明这个三角形是直角三角形． 【答案】、、是直角三角形（任写其一即可）． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 先求出每边的平方，得出，，，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可． 解： 连接、、、、、， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：，，，，，， ∴，，， ∴、、是直角三角形（任写其一即可）． 【变式2】（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，每个小正方形的边长为1. （1）三角形是否是直角三角形？ ．（填“是”或“否”） （2）边上的高为 ． 【答案】 是 2 【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可解答； （2）先根据勾股定理可得，设边上的高为h，然后利用等面积法列方程求解即可． 解：（1）∵, ∴， ∴三角形是是直角三角形． 故答案为：是． （2）∵， ∴， 设边上的高为h． ,即，解得， ∴边上的高为2． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等面积法等知识点，掌握勾股定理成为解答本题的关键 【变式3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，分别在图1和图2中按要求作三角形，且所画三角形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为斜边画一个直角三角形，且直角边均为有理数； (2)在图②中以为斜边画一个直角三角形，使两条直角边均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，涉及无理数，勾股定理及其逆定理： （1）结合有理数的定义即可作图； （2）根据无理数的定义，结合勾股定理及其逆定理即可作图． （1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，即为所作： 题型 15：网格中求面积 【例题15】（23-24九年级上·天津和平·月考）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，，则与的面积之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键． 运用网格图中隐藏的条件证明四边形为平行四边形，接着证明，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出． 解：如图：    由题意可知，，， ，而， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ． 故答案为：C． 【变式1】（2024·山西晋中·三模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为、点和是格点，连接，小明在 网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 【变式2】（2025·河南濮阳·二模）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，旋转得到，使边与边在一条直线上，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，旋转的性质，熟练掌握扇形面积公式与勾股定理是解题的关键． 勾股定理得出 ，根据 即可求解． 解：由题知， 根据勾股定理得：， 故答案为： ． 【变式3】（2021·北京丰台·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可． =3， ， 故填：＞． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积． 考点 六：实际应用 题型 16：梯子靠墙问题 【例题16】如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了 米． 【答案】2 【分析】标字母C、D、E如图，根据AB= 10米，，可求EB=ABsin=10×=6，根据CD=10米，，可求DE=CD，在Rt△CDE中，CE=，求出BC=CE-BE=8-6=2即可． 解：标字母C、D、E如图 ∵AB= 10米， ∴EB=ABsin=10×=6， ∵CD=10米，， ∴DE=CD， 在Rt△CDE中，CE=， ∴BC=CE-BE=8-6=2， ∴梯子顶端上升了2米． 故答案为2． 【点睛】本题考查锐角三角函数的应用，勾股定理，线段和差，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，线段和差是解题关键． 【变式】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（1步尺） 这段话的意思是：秋千静止时，踏板离地面1尺高；将秋千的踏板向前推动2步10尺时，踏板就和推秋千的人一样高，同为5尺．小明根据上述信息画出了如图所示的示意图，则可求秋千的绳索长为 尺． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，如图，过点作于点，可得四边形是矩形，得到尺，尺，设秋千的绳索长为尺，则，，在中由勾股定理得，解方程即可求解． 解：如图，过点作于点，则， 由题意可得，尺，尺，尺， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴尺，尺， 设秋千的绳索长为尺，则，， 在中，， ∴， 解得， 答：秋千的绳索长为尺． 故答案为：． 题型 17：航行问题（台风、港口、相遇） 【例题17】（25-26七年级上·山东东营·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用无人机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火无人机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，点与直线上两点的距离分别为和，且，无人机的洒水半径为． (1)无人机的洒水半径能覆盖点吗？为什么？ (2)若无人机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续洒水20秒，请你通过计算判断着火点能否被无人机扑灭？ 【答案】(1)能，理由见解析 (2)能 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． （1）解：能覆盖点，理由如下，如图，过点作，垂足为， ， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， 能覆盖点； （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点， 则， ， ， 在中，， ， ， ， 着火点能被扑灭． 【变式1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 题型 18：高度、宽度测量（旗杆、大树、河流宽度） 【例题18】（2023·辽宁抚顺·三模）如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑到时，梯脚滑到，与地面的夹角为，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，由，可设，那么 ，根据勾股定理求出 ，那么．在中，根据勾股定理列出方程，求出，然后利用余弦函数的定义即可求解． 解：在中，，， 可设 ，那么 ， ， ． 在中，，，， ， 解得：， ，，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（2024·广东中山·二模）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ）尺． A．2 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键． 利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可． 解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是尺，根据勾股定理可得： ， 整理得：， 解得（舍去）或． 则门高：． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案． 解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多， 设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 在中，，， 由勾股定理得：，则， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为：． 题型 19：折断问题（树折断、柱子折断） 【例题19】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断 (2)在距离旗杆底部米处有被砸伤的风险 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键． （1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案． （1）解：由题意，知． 因为， 设长为，则长， 则， 解得． 故旗杆距地面处折断； （2）解：如图： 因为点P距地面， 所以， 所以， 则距离旗杆底部周围的范围内有被砸伤的风险， 所以在距离旗杆底部处有被砸伤的风险． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，延长交延长线于点，证明四边形是矩形，则，，故有，设，则，，由勾股定理得：，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴， 由， 则有， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的边长的性质、勾股定理的应用，牢牢掌握勾股定理及直角三角形的性质是解答本题的关键．根据含角的直角三角形的边长的性质可知，设，则，利用勾股定理可知，解方程求出的值，即可得到、的长度，大树的高度就是． 解：如下图所示， 由题意可知，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 大树的高为米． 故答案为：． 考点七：勾股定理与几何综合 题型 20：与等腰三角形综合 【例题20】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若D为中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关性质与勾股定理． （1）利用等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余，证明； （2）利用勾股定理在中求解，先求出的长度，再计算． （1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在中，； 在中，． ∵ ， ∴ ． 又∵ （对顶角相等）， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． （2）解：∵ ，为中点， ∴ 在中，，， 由勾股定理得： ． 答：的长为． 【变式1】（24-25八年级下·福建龙岩·月考），，是的三边长，且满足关系，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定，由非负数的性质可得且，即得且，根据勾股定理的逆定理及等腰三角形的定义即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵， ∴且， ∴且， ∴的形状为等腰直角三角形， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，且等腰三角形为钝角三角形，则底边长为 ． 【答案】8或 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． 根据题意分两种情况，画出相应的图形，从而可以解答本题． 解：∵等腰三角形为钝角三角形， ①当为腰上的高时，如图所示， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 在中，， 根据勾股定理得：； ②当为底边上的高时，如图所示， ∵， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 综上，等腰三角形的底边长为或8． 题型 21：与等边三角形综合 【例题21】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在等腰三角形中，，点为边上一动点，过点作交延长线于点，交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理， （1）根据等边对等角推出，利用垂直的性质推出，由此证得，得到为等腰三角形； （2）在中，由勾股定理得，代入计算可得答案． （1）证明：∵在等腰三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）由（1）知， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得． 【变式1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，等边三角形的边长为4，则它的高的长为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边三角形三线合一定理及勾股定理．先根据等边三角形的性质得出，再由得到是的中垂线，即等边三角形的三线合一，得出，最后利用勾股定理得出的值． 解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是的中垂线， ∴， 在中，由勾股定理得，． 故选：C． 【变式2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键． 过点B和点O分别作于点C，于点D，根据是等边三角形，可得G点坐标，等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，旋转6次为一个循环，分别求出等边三角形中心G旋转后的坐标，进而可得第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标． 如图所示： 过点B和点O分别作于点C，于点D， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，， ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴旋转6次为一个循环， ∵等边三角形中心G坐标为， 第一次旋转后到y轴正半轴，坐标为：； 第二次旋转后到第二象限，坐标为：； 第三次旋转后到第三象限，坐标为：； 第四次旋转后到y轴负半轴，坐标为：； 第五次旋转后到第四象限，坐标为：； 第六次旋转后回到第一象限，坐标为：， ∵， ∴第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为：． 故答案为：． 题型 22：与正方形、矩形综合 【例题22】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 【答案】（1）3，10（2） 【分析】本题主要考查了矩形和翻折的结合，利用勾股定理解决几何问题，菱形的判定和性质，利用菱形的面积求对角线的长度等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据翻折的性质得出相等的边长，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可得出结果； （2）连接，根据条件证明四边形为菱形，利用菱形的面积即可求出对角线的长度． 解：（1）由翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ,； ∴； 故答案为：3,10； （2）如图，连接， 由翻折的性质可得，，， ， ∴， ∴, ∴， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴为菱形， ∴，， 又， ∴点在同一条直线上， 同（1）可得，， ， 由够定理得， ， 解得． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在和中，，分别以，为边向外作正方形，正方形，则阴影部分（正方形和正方形）面积是（   ） A．16 B．25 C．144 D．169 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理，掌握正方形的性质、勾股定理是解题的关键． 由题意得，再根据正方形 的面积为： ；正方形的面积为：；由此即可求解. 解：∵ ∴ ∵正方形 的面积为： ；正方形的 面积为：； ∴阴影部分的面积为：， 故选：B. 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可得，据此解答，熟记勾股定理是解题的关键． 解：由勾股定理结合正方形的面积可得，， 又∵， ∴， 故答案为：． 题型 23：与圆综合（直径、弦长、切线） 【例题23】（25-26九年级上·河南许昌·月考）已知圆O的半径为5，点P是圆O外一点，且，过点P作圆 O的切线（A为切点），连接（为圆O的直径）． (1)求切线的长； (2)若点C是圆O上一点，且，求的长． 【答案】(1)12 (2)8 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理． （1）根据切线的性质得出，根据勾股定理求出结果即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据勾股定理求出结果即可． （1）解：∵为的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是圆O的直径，交圆O于点F，且与圆O的切线互相垂直，垂足为D．若，，则圆的半径是（   ） A． B．5 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．连接，利用勾股定理求得，利用切线的性质定理，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的判定与性质得到，利用圆周角定理和垂直的性质得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 解：连接，如图， ∵，，， ∴， ∴． ∵为圆的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴圆的半径是． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，四边形内接于圆O，连结，为圆O的直径，E是的中点．过点E作圆O的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为 ，圆O的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，弧与弦的关系，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，，则，由勾股定理得：，即；由圆周角定理得到，继而，则，可求直径，继而可求半径． 解：连接，， ∵E是的中点， ∴ ∴由勾股定理得： 为直径， ∴， ∴半径为 故答案为： 题型 24：坐标系中求距离、点坐标 【例题24】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形中，，，，，． (1)求四边形的面积． (2)建立适当的平面直角坐标系，写出四边形各个顶点的坐标． 【答案】(1)144 (2)建立平面直角坐标系见解析，，，， 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，坐标与平面． （1）连接，先由勾股定理逆定理证明，再由求解即可； （2）以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．此时点的坐标是，过点作轴于点，由面积法得到，求出，再由勾股定理求解即可． （1）解：如图1，连接， ，，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：如图2，以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．此时点的坐标是． 由，，可得点的坐标是，点的坐标是． 过点作轴于点， ， 点的坐标是 【变式1】（25-26八年级上·四川达州·月考） 与在平面直角坐标系中的位置如图，，若点，， ，则点 C 的坐标是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，过点作轴于点，先证明为等边三角形，求出、长，然后根据，求出的长，进而求出，最后求出, , 即求出点坐标． 解：如图，过点作轴于点， ， ∴, ∵, ∴, ∵, ∴是等边三角形， ∴,, ∴,, ∴, ∵， ， ， 故选: C． 【变式2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，的平分线交x轴于点D，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 根据已知条件可得的长度，轴， 的长度，由条件可判断为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，则可计算出的长度，即可表示出点D的坐标． 解：∵点A，B，C的坐标分别为，，， ∴，，轴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标是． 二.中考真题专练 一、单选题（5题） 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 3．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 4．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 5．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（5题） 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 7．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得，由垂线段最短可得，当时，有最小值，则此时点D为的中点，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 解：∵在等腰中，，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴当时，点D为的中点， ∴此时， 故答案为：． 8．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 9．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 10．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 【答案】7或9/9或7 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，利用勾股定理得出得长度，根据三角形面积公式得出长，设，则，表示出，利用勾股定理计算即可． 解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即， 解得或9， 即或9， 故答案为：7或9． 三、解答题（2题） 11．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 12．（2025·西藏·中考真题）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了利用，，的特殊直角三角形拼接图形计算面积及勾股定理，需熟练掌握相关的知识点是解此题的关键．通过理解，，的特殊直角三角形的性质，并根据已知条件通过勾股定理求出对应的边长后再分别将两个三角形的面积求出之后即可得出四边形的面积． 解：由题意知，是底角为的等腰直角三角形，是带角的直角三角形， ∴，，， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴ ， 即四边形的面积为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.17 勾股定理及其逆定理（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型分类精析 2 【知识点一】勾股定理 2 【知识点二】勾股定理的逆定理 2 考点 一：直接用勾股定理求边长 2 题型 1：已知直角三角形两边，求第三边 3 题型 2：含特殊角（30°、45°）直角三角形边长计算 3 题型 3：方程思想：设一边，用勾股定理列方程 4 考点 二：勾股定理逆定理判定直角三角形 5 题型 4：给三边长，判断是否为直角三角形 5 题型 5：判断三角形形状 6 题型 6：结合网格判断垂直或直角 6 考点 三：勾股定理与折叠问题 7 题型 7：直角三角形折叠求值 7 题型 8：矩形折叠求值 8 题型 9：折叠后求重叠部分面积 9 考点 四：勾股定理与最短路径 9 题型 10：圆柱、圆锥侧面爬行最短路径 9 题型 11：长方体表面爬行最短路径 11 题型 12：平面内 “将军饮马”+ 勾股定理求最短距离 13 考点 五：勾股定理与网格问题 14 题型 13：网格中求线段长度或角度 14 题型 14：网格中判断直角三角形 15 题型 15：网格中求面积 16 考点 六：实际应用 17 题型 16：梯子靠墙问题 17 题型 17：航行问题（台风、港口、相遇） 18 题型 18：高度、宽度测量（旗杆、大树、河流宽度） 19 题型 19：折断问题（树折断、柱子折断） 19 考点七：勾股定理与几何综合 20 题型 20：与等腰三角形综合 20 题型 21：与等边三角形综合 21 题型 22：与正方形、矩形综合 22 题型 23：与圆综合（直径、弦长、切线） 23 题型 24：坐标系中求距离、点坐标 23 二.中考真题专练 24 一、单选题（5题） 24 二、填空题（5题） 26 三、解答题（2题） 27 一.知识梳理与题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】勾股定理 （1） 定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即）； （2） 勾股定理的证明思路：图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理； （3） 勾股定理的应用：已知直角三角形的任意两边长，求第三边；已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；利用勾股定理解决一些实际问题。 【知识点二】勾股定理的逆定理 定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 勾股数：能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称为一组勾股数. 考点 一：直接用勾股定理求边长 题型 1：已知直角三角形两边，求第三边 【例题1】（2025·陕西渭南·一模）如图，在四边形中，，，过点A作，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，延长交于点G，若，，求的长． 【变式1】（2025·四川乐山·二模）如图，于点，于点，已知，，则点到直线的距离是 ． 【变式2】（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型 2：含特殊角（30°、45°）直角三角形边长计算 【例题2】（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 【变式1】（2026·广东中山·模拟预测）如图，在中，， ，且，点分别是线段的中点，则面积是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在长方形中，若，则的周长是 ． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)当时，求证是等边三角形． 题型 3：方程思想：设一边，用勾股定理列方程 【例题3】（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，分别是，的中点，，，则 ． ‍ 【变式3】（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 考点 二：勾股定理逆定理判定直角三角形 题型 4：给三边长，判断是否为直角三角形 【例题4】（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·上海普陀·一模）在中，，，，那么 ． 【变式2】（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 【变式3】（2025·江苏南京·二模）下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（   ） A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18 题型 5：判断三角形形状 【例题5】（24-25九年级上·湖南娄底·期中）三角形的两边长分别为4和5，第三边的长为方程的根，则此三角形的面积为 ． 【变式1】三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式2】（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为 ． 【变式3】（22-23八年级上·江苏常州·期中）中，，，，则边上的中线长为 ． 题型 6：结合网格判断垂直或直角 【例题6】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，E均在格点（网格线的交点）上，，，且．求证：． 【变式1】（23-24九年级上·北京平谷·期末）如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则 ． 【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在小正方形顶点上． (1)在图1中画出，使四边形是中心对称图形，点在小正方形格点上．连接，并直接写出线段的长； (2)在图2中画出，使四边形是轴对称图形，点在小正方形格点上． 考点 三：勾股定理与折叠问题 题型 7：直角三角形折叠求值 【例题7】（2021·河南南阳·一模）在中，为边上一点．将沿着过点的直线折叠，使点落在边上的处．若，，，则整个过程中，的最小值是 ． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·云南曲靖·二模）如图，已知在中，过点C作于点D，点E为上一点，连接，交于点G，是沿折叠所得，且点C的对应点F恰好落在上，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 题型 8：矩形折叠求值 【例题8】如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在矩形中，，，点F为边上一点且，点E为边上一点，将矩形沿过点E的直线折叠，使点D落在边上的点F处，则折痕的长度为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏扬州·二模）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 题型 9：折叠后求重叠部分面积 【例题9】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点坐标为，若把图形按如图所示折叠，使、两点重合，折痕为． (1)求三角形面积； (2)求的函数表达式． 【变式1】（23-24九年级下·上海·期中）在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（   ）cm2 A． B． C． D． 【变式2】如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 考点 四：勾股定理与最短路径 题型 10：圆柱、圆锥侧面爬行最短路径 【例题10】（24-25八年级上·广东深圳·月考）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（    ）      A． B． C． D． 【变式2】（2023·陕西西安·二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．    【变式3】（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 题型 11：长方体表面爬行最短路径 【例题11】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·月考）如图是一块长方体木块，长，宽，高，棱上的点P处有一滴蜂蜜，，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点B处，沿着长方体的表面爬行到点P处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东枣庄·月考）如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 【变式3】（23-24八年级下·湖南永州·月考）如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 题型 12：平面内 “将军饮马”+ 勾股定理求最短距离 【例题12】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，延长至点D，使，连接． (1)求证：； (2)若E为线段上的一点，且，，P为线段上的一动点，连接，． ①求的最小值； ②求的最小值． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式2】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在等腰直角三角形中，，边绕点逆时针旋转至线段的位置，点分别为直线上的动点．    （1）的最小值为 ； （2）的最小值为 ． 【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，等腰的底边长为4，腰长为5，的垂直平分线分別交，于点，．点M，N分别为线段，上的动点，连接，，请探索是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 考点 五：勾股定理与网格问题 题型 13：网格中求线段长度或角度 【例题13】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均落在格点（网格线的交点）上，是与网格线的交点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·云南临沧·期末）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·青海海东·期中）如图所示的网格是正方形网格，是网格线的交点，则的度数为 ． 【变式3】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为 . 题型 14：网格中判断直角三角形 【例题14】（25-26八年级上·四川成都·月考）在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在5×5的正方形网格中，从格点A，B，C，D中取三个点，连接这三点的线段构成一个直角三角形，并证明这个三角形是直角三角形． 【变式2】（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，每个小正方形的边长为1. （1）三角形是否是直角三角形？ ．（填“是”或“否”） （2）边上的高为 ． 【变式3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，分别在图1和图2中按要求作三角形，且所画三角形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为斜边画一个直角三角形，且直角边均为有理数； (2)在图②中以为斜边画一个直角三角形，使两条直角边均为无理数． 题型 15：网格中求面积 【例题15】（23-24九年级上·天津和平·月考）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，，则与的面积之比为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（2024·山西晋中·三模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为、点和是格点，连接，小明在 网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南濮阳·二模）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，旋转得到，使边与边在一条直线上，则阴影部分的面积是 ． 【变式3】（2021·北京丰台·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）． 考点 六：实际应用 题型 16：梯子靠墙问题 【例题16】如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了 米． 【变式】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（1步尺） 这段话的意思是：秋千静止时，踏板离地面1尺高；将秋千的踏板向前推动2步10尺时，踏板就和推秋千的人一样高，同为5尺．小明根据上述信息画出了如图所示的示意图，则可求秋千的绳索长为 尺． 题型 17：航行问题（台风、港口、相遇） 【例题17】（25-26七年级上·山东东营·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用无人机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火无人机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，点与直线上两点的距离分别为和，且，无人机的洒水半径为． (1)无人机的洒水半径能覆盖点吗？为什么？ (2)若无人机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续洒水20秒，请你通过计算判断着火点能否被无人机扑灭？ 【变式1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 ． 题型 18：高度、宽度测量（旗杆、大树、河流宽度） 【例题18】（2023·辽宁抚顺·三模）如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑到时，梯脚滑到，与地面的夹角为，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东中山·二模）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ）尺． A．2 B．10 C．8 D．6 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为 m． 题型 19：折断问题（树折断、柱子折断） 【例题19】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为 ． 【变式2】（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为 米． 考点七：勾股定理与几何综合 题型 20：与等腰三角形综合 【例题20】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若D为中点，，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·福建龙岩·月考），，是的三边长，且满足关系，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，且等腰三角形为钝角三角形，则底边长为 ． 题型 21：与等边三角形综合 【例题21】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在等腰三角形中，，点为边上一动点，过点作交延长线于点，交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，等边三角形的边长为4，则它的高的长为（   ） A．2 B． C． D．4 【变式2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为 ． 题型 22：与正方形、矩形综合 【例题22】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在和中，，分别以，为边向外作正方形，正方形，则阴影部分（正方形和正方形）面积是（   ） A．16 B．25 C．144 D．169 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则的值是 ． 题型 23：与圆综合（直径、弦长、切线） 【例题23】（25-26九年级上·河南许昌·月考）已知圆O的半径为5，点P是圆O外一点，且，过点P作圆 O的切线（A为切点），连接（为圆O的直径）． (1)求切线的长； (2)若点C是圆O上一点，且，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是圆O的直径，交圆O于点F，且与圆O的切线互相垂直，垂足为D．若，，则圆的半径是（   ） A． B．5 C．10 D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，四边形内接于圆O，连结，为圆O的直径，E是的中点．过点E作圆O的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为 ，圆O的半径为 ． 题型 24：坐标系中求距离、点坐标 【例题24】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形中，，，，，． (1)求四边形的面积． (2)建立适当的平面直角坐标系，写出四边形各个顶点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·四川达州·月考） 与在平面直角坐标系中的位置如图，，若点，， ，则点 C 的坐标是 （   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，的平分线交x轴于点D，则点D的坐标是 ． 二.中考真题专练 一、单选题（5题） 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 3．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 4．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题（5题） 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 7．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 8．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 9．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 10．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 三、解答题（2题） 11．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 12．（2025·西藏·中考真题）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $