专题 2.15 特殊三角形（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定等核心考点，以“知识梳理+题型精析+真题专练”为架构，按知识点分设性质、判定及综合题型，通过例题变式解析构建知识网络，助力学生突破几何推理难点。 亮点在于分层题型设计与真题深度融合，如“三线合一”证明题培养推理意识，实践操作题提升几何直观，配合中考真题专练强化应用能力。教师可依托三级难度题（★基础、★★综合、★★★压轴）精准把控复习节奏，高效提升学生解题技能与应考能力。

专题 2.15 特殊三角形（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】等腰三角形性质 1 【题型1】等腰三角形定义求角或边长 1 【题型2】等边对等角求值证明 4 【题型3】三线合一求值证明 7 【题型4】等边三角形性质 11 【知识点二】等腰三角形判定 15 【题型5】等腰三角形的判定——等角对等边 15 【题型6】等边三角形的判定 19 【题型7】等腰三角形的性质与判定综合 21 【题型8】等边三角形的性质与判定综合 26 【知识点三】直角三角形的性质 30 【题型9】直角三角形的性质 30 【题型10】直角三角形的性质 35 【知识点四】直角三角形的判定 39 【题型11】直角三角形的性质与判定综合 39 二.中考真题专练 44 一、单选题（6题） 44 二、填空题（6题） 49 三、解答题（4题） 53 一.知识梳理与题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】等腰三角形性质 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2.性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°. 【题型1】等腰三角形定义求角或边长 ★★【例题1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知等腰三角形的两边长为和，这个三角形周长是（   ）cm A．16 B．20 C．16或20 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 等腰三角形有两边相等，需分情况讨论并验证三角形三边关系. 解：当腰为时， ∵， ∴该三边无法构成三角形，该种情况舍去； 当腰为时， ， 满足三边关系， 周长为， 故选：B． ★【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如果等腰三角形的一个角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题需分情况讨论已知角为底角或顶角的情况，理解题意是解决本题的关键． 利用等腰三角形两底角相等及三角形内角和为的性质计算底角度数即可． 解：分两种情况：当已知的角为底角时，等腰三角形底角即为； 当已知的角为顶角时，底角为， 综上，底角等于或． 故选C． ★★【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 设腰长为a，底边长为b，根据中线分周长的两种情况进行讨论，列出方程求解，再检验三角形三边关系，排除不成立的情况即可． 解：设等腰的腰，底边， 为边上的中线， ， 将周长分为和两部分， 当、时， ，解得； 当、时， ， 解得； 当、时，，不能构成三角形， 当、时，、，能构成三角形， 故底边长为：8． ★★【变式3】（25-26八年级上·安徽池州·期末）一个等腰三角形的底角等于，腰长为，则该等腰三角形腰上的高为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质．画出示意图，过C作的垂线交的延长线于D．由三角形外角的性质得．再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 解：根据题意画出示意图，，．过C作的垂线交的延长线于D． ∵， ∴． 又∵，， ∴， 即这个三角形的腰上的高是a． 故答案为：a． 【题型2】等边对等角求值证明 ★★【例题2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，中，D、E在上，平分，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】延长至G，使得，连接，利用“”易证，得，，根据“等边对等角”，得，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，根据“同位角相等，两直线平行”即可求证． 解：如图，延长至G，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ，即为等腰三角形， 则， 平分， ，则， 又， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定等知识点，掌握倍长中线法和平行线的判定定理是解题的关键． ★【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，两直线平行同位角相等，三角形内角和定理， 根据题意可知，再根据三角形内角和定理求出，然后根据平行线的性质得，可得答案． 解：根据题意可知， ∴， ∴． 故选：A． ★★【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据，可得，由三角形外角的性质可得，再由，即可解得． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ★★【变式3】（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，在边上取一点，使得，在上取一点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）根据等边对等角可得，利用即可判定； （2）根据等角对等边可得，再根据全等三角形的对应边相等即可得出答案； 掌握全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型3】三线合一求值证明 ★★【例题3】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，连接，且平分，，是的高． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据已知，结合角平分线的定义和三角形内角和定理，得出，根据等角对等边即可得证； （2）根据三线合一可得，进而证明，得出，即可得证． （1）证明：，平分， ． ，， ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：，， ． ，， ． 由（1）可知，， 在和中， ， ， ， ． ★【变式1】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在等腰中，，，则高的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得 ，然后在中由勾股定理计算的长即可． 解：，是边上的高， ，  ． 在中，由勾股定理得： ． 故选：C． ★★【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，D是的中点，E在边上，，若F在边上，满足，则四边形的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．连接，由，，求得，因为D为边的中点，所以，求得，点F与点重合，再根据，求得，根据，计算即可得到问题的答案． 解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∵D为边的中点， ∴，， ∵F在边上，满足， ∴点F与点重合或点F与点重合， ∵四边形， ∴只有点F与点重合一种情况， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． ★★【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且； (2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边上的高，并保留作图痕迹（作图痕迹用虚线）； (3)直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了勾股定理与网格、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据网格的特点和勾股定理即可作图； （2）根据矩形的性质和等腰三角形三线合一进行作图即可； （3）利用等腰三角形的性质和勾股定理求出和即可求出答案． （1）解：如图，即为所求， 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图，即为所求， ∵点H是矩形的对角线的交点， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 即边上的高为； （3），理由如下： ∵为边上的高，， ∴，， ∴， ∴． 【题型4】等边三角形性质 ★★【例题4】（25-26七年级上·山东济宁·期末）边长为2的等边三角形在平面直角坐标系中，如图所示，已知点，边轴； (1)点B，点C的坐标； (2)的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． （1）过点C作，交于点H，交x轴于点F，与y轴交于点E，由三线合一得，利用勾股定理求出，由可得，进而可求出点B，点C的坐标； （2）根据三角形的面积公式求解即可． （1）解：过点C作，交于点H，交x轴于点F，与y轴交于点E， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：． ★【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图所示，等边三角形的边长为4，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到高的长度，进而可以算出点的坐标． 本题考查了平面直角坐标系，等边三角形的性质，掌握概念是解题关键． 解：过点C作于点D， ∵等边三角形的边长为4， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． ★★【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，若，则 °． 【答案】130 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． ★★【变式3】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为． (1)求的度数； (2)求证：是的中点； (3)若，求长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质． （1）由等边的性质可得，然后根据等边对等角可得，最后根据外角的性质可求∠E的度数； （2）连接，由等边三角形的三线合一的性质可得，结合（1）的结论可得，然后根据等角对等边可得，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得结论． （3）证明，，根据角所对直角边等于斜边一半可得结论． （1）解：三角形是等边， ， 又， ， 又， ； （2）证明：连接， 等边中，是的中点， 由（1）知 ， 又， 是的中点； （3）解：， ， ， ， ，， ， 在中，， ． 【知识点二】等腰三角形判定 判定方法1：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； 判定方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定方法3：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型5】等腰三角形的判定——等角对等边 ★★【例题5】（25-26九年级上·北京西城·期末）如图，将绕点B顺时针旋转得到，且满足点A，C，D在同一条直线上．连接交于点P，F是延长线上一点，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定： （1）根据旋转的性质可得，，从而得到，，进而得到，即可解答； （2）根据旋转的性质可得，，从而得到，再结合三角形外角的性质可得，即可解答． （1）解：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，． ∴，． ∵点A，C，D在同一条直线上， ∴． ∴． ∴． （2）证明：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，． ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． ★【变式1】（2025·山东临沂·一模）观察下列尺规作图的痕迹，能判断是等腰三角形的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键． 根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案． 解：第一个图：根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形； 第二个图：根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形； 第三个图：根据过直线外一点作平行线的作法可知，根据角平分线的作法可知，则，是等腰三角形； 第四个图：不能判断是等腰三角形； 故选：C． ★★【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，若，，平分，则图中共有 个等腰三角形． 【答案】/三 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理的应用，根据题意分别求得，进而根据等角对等边判断等腰三角形，即可求解． 解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴，即是等腰三角形， 又∵ ∴，即是等腰三角形． 综上所述，共有个等腰三角形， 故答案为：． ★★【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知，若四边形是菱形，求的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的证明，菱形的性质等知识点，熟记相关结论即可求解． （1）由题意得：，推出，得，即可求证； （2）由题意得，推出，得到，，推出，据此计算即可求解． （1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型6】等边三角形的判定 ★★【例题6】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是的斜边上的中线， (1)求的度数． (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余，求的度数即可． （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据等边三角形的判定，解答即可． （1）解：∵是的斜边上的中线， ∴， ∴． （2）证明：∵ 是的斜边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ★【变式1】（25-26八年级上·山东济宁·月考）若的三边长满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质和等边三角形的判定． 根据平方和绝对值的非负性，得出，从而判断形状． 解：∵，，， ∴且， ∴且， ∴且， ∴， ∴是等边三角形． 故选：B． ★★【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． ★★【变式3】（25-26八年级上·北京朝阳·期末）如图，，，垂足分别为A，B，，相交于点O，． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，解题的关键是： （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，则可求，，然后根据等边三角形的判定即可得证． （1）证明：∵，， ． 在和中， ． （2）证明：， ， ， ． ． ． 是等边三角形． 【题型7】等腰三角形的性质与判定综合 ★★【例题7】（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，点D在上，，点E在上，． (1)求的长度； (2) ，给出证明； (3)求证：点E为线段中点． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据求解，即可解题； （2）根据等腰三角形性质得到，再结合角的和差和等量代换求解，即可解题； （3）过点作，交于点，交于点，证明，结合全等三角形性质推出，利用等腰三角形性质进而得出，再结合全等三角形性质推出，最后求出，即可证明点E为线段中点． （1）解：， ， ， ； （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）证明：过点作，交于点，交于点， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点E为线段中点． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形性质和判定，角的和差，全等三角形性质和判定，线段中点的定义，解题的关键在于灵活运用相关知识． ★【变式1】（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，在四边形中，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，垂直平分线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． 连接交于点O，由题意可证垂直平分，，是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 解：连接交于点O， ∵ ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴． 故选C． ★★【变式2】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形及等腰直角三角形的知识，发现是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边的长，是解答此题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 解：，，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． ★★【变式3】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点D，点B分别在坐标轴的正半轴上，以点D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰． (1)若，，直接写出点M的坐标是______． (2)在x轴正半轴上找一点A，使，连接，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键： （1）作轴，证明，即可得出结果； （2）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系推出为等腰直角三角形，即可得出结果． （1）解：如图，作轴于，则， ， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【题型8】等边三角形的性质与判定综合 ★★【例题8】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，连接，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质和勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据旋转的性质可得，则为等边三角形，则； （2）由旋转得，由（1）得，最后通过勾股定理求解即可． （1）解：由旋转得， 为等边三角形， ； （2）解：由旋转得， 由（1）可知， ， 在中， ． ★【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知，点分别在上，且，点P为上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小的问题，等边三角形的判定和性质，作点M关于直线的对称点，连接，得到，证明为等边三角形，得到，即可得出结果． 解：作点M关于直线的对称点，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 即的最小值为6； 故选：B． ★★【变式2】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点，． （1） ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 60 3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质． （1）证明为等边三角形，可证得，根据全等三角形的性质可得到，即可得到结论； （2）根据得，由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到即可求解． 解：（1）∵， ∴为等边三角形， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：60 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3 ★★【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·期末）如图，在中，，过点作的垂线，交于点，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）先由等边对等角得到，然后证明，则，继而等量代换即可证明； （2）先证明为等边三角形，然后勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． （1）解： 又 在与中 ； （2）解：由（1）知 又 为等边三角形 在中， ． 【知识点三】直角三角形的性质 1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2性质： （1） 直角三角形中两锐角互余； （2） 直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；（4）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 【题型9】直角三角形的性质 ★【例题9】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再结合，，证明； （2）结合，得，又因为三角形内角和性质，得出，根据是的中点，得，即可作答． （1）证明：∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， 即， （2）证明：依题意，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的中点， ∴． ★【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，利用平行线的性质得，由垂直的定义得，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． ★【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，连接，，点，分别是线段，的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 解：连接，， ，点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 故答案为：． ★【变式3】（25-26八年级上·山东德州·期中）在中，，，的平分线交于点，如图1． (1)求的度数； (2)作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法） (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用直角三角形中角的性质和全等三角形的判定进行推理计算。 （1）利用三角形内角和与角平分线定义求角度； （2）按要求完成尺规作图； （3）由作图知是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可． （1）解：，， ． 平分， ． ； （2）如图所示，即为所求； （3）解：如图所示 ，， ． 平分， ． ． 在中，，， ． ． 由作图可知垂直平分， ，， ． 在和中， ， ， ． 【题型10】直角三角形的性质 ★★【例题10】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，于D． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式的应用． （1）通过直角三角形中两个锐角互余，推出与相等； （2）先利用勾股定理求出的长度，再通过面积相等法(等面积法)求出的长度． （1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 根据同角的余角相等，得． ∵， ∴； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得． ∵的面积可表示为，也可表示为， ∴，解得， 故的长度为：． ★★【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．过点D作于点F，根据角平分线的性质，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得到，即可求解． 解：如图，过点D作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A ★★【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，则中边的“中高偏度值”为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，等积法求高，根据勾股定理求出的长，等积法求出边上的高线的长，再利用勾股定理和中线的定义求出中点到高的距离，由直角三角形的性质求出，然后根据新定义，进行求解即可． 解：如图，，为的高，为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故中边的“中高偏度值”为． 故选：B． ★★【变式3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，一条船上午从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C的方向在北偏东方向上，上午时到达海岛B处，在B处测得灯塔C的方向在北偏东方向上． (1)求海岛B到灯塔的距离； (2)这艘船继续向正北方向航行多长时间与灯塔的距离最小？ 【答案】(1)海岛B到灯塔的距离为海里 (2)这艘船继续向正北方向航行时间为小时，与灯塔的距离最小 【分析】本题主要考查了解直角三角形，含角的直角三角形的性质，垂线段最短，等角对等边，解题的关键是掌握直角三角形的性质． （1）求出的长度，然后根据等角对等边进行求解即可； （2）过C作于点，根据垂线段最短确定船的位置，然后利用含角的直角三角形的性质进行求解即可． （1）解：根据题意可知AB之间的距离为：（海里）， 由题意可知，， ∴， ∴海里； （2）解：如图所示，过C作于点， 与灯塔的距离最小时，船航行到D点， 在中，，海里， ∴海里， ∴这艘船继续向正北方向航行时间为（小时），与灯塔的距离最小． 【知识点四】直角三角形的判定 （1）有两内角互余的三角形是直角三角形. （2）一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形. （3）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边. 【题型11】直角三角形的性质与判定综合 ★★【例题11】（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可说明是直角三角形； （2）根据，得出，根据得出，再根据三角的外角的性质，即可求解． （1）解：是直角三角形，理由如下 ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴是直角三角形 （2）解：∵， 设 ∵ ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． ★★【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·月考）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案． 解：A、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、，， ， 解得， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选B． ★★【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． ★★【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并说明理由； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由两个三角形全等的判定定理判定即可得到； （2）由（1）中，得到，在中，由得到，从而得到，即可确定与的位置关系； （3）在、中，由勾股定理分别求出，设，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理列方程求解得到，数形结合计算即可得到答案． （1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， 理由如下： 由（1）知，， ， 在中，， 在中，，则， ； （3）解：在中，，则由勾股定理可得， 在中，，则由勾股定理可得， 设， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ，， 在中，，，则由勾股定理可得， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余、直角三角形判定、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，熟记三角形全等的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 二.中考真题专练 一、单选题（6题） 1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 3．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 4．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 6．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（6题） 7．（2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，如解图，连接，求出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出的度数，进而推出为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 解：连接， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∵正六边形为轴对称图形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 8．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 9．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得，由垂线段最短可得，当时，有最小值，则此时点D为的中点，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 解：∵在等腰中，，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴当时，点D为的中点， ∴此时， 故答案为：． 10．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 【答案】1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 11．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得． 解：∵在中，点，分别是边，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（4题） 13．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 14．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在四边形中，，点E，F在对角线上，，且，． (1)求证：； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形和平行四边形的判定等知识； （1）根据垂直的定义可得，根据平行线的性质可得，根据已知条件可得，即可证明结论； （2）根据可得，，即得，进而可得四边形是平行四边形，然后根据30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质证得，即可得到结论. （1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在直角三角形中，∵， ∴， 在直角三角形中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形. 15．（2025·广东·中考真题）如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题： 命题1：若连接交于点，则． 命题2：若连接，则． 命题3：若连接，则． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】命题1是真命题，证明见解析；命题2是真命题，证明见解析；命题3是真命题，证明见解析 【分析】命题1：连接，交于，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到，判定四边形是平行四边形，进而得到四边形是菱形，再由中位线的判定与性质得到，最后利用三角形面积公式求解即可得证； 命题2：连接，交于，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到，判定四边形是平行四边形，进而得到四边形是菱形即可得证； 命题3：连接，交于，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到，判定四边形是平行四边形，再由平行四边形的判定与性质得到四边形是平行四边形即可得证． 解：命题1：若连接交于点，则． 命题1是真命题，证明如下： 连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，且，， 为的中点， 是的中位线，则， ，则； 命题2：若连接，则． 命题2是真命题，证明如下： 连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ； 命题3：若连接，则． 命题3是真命题，证明如下： 连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 16．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解． （1）证明：∵为对角线上的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形； （2）解：如图： ∵， ∴， 设 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.15 特殊三角形（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】等腰三角形性质 1 【题型1】等腰三角形定义求角或边长 2 【题型2】等边对等角求值证明 2 【题型3】三线合一求值证明 3 【题型4】等边三角形性质 4 【知识点二】等腰三角形判定 5 【题型5】等腰三角形的判定——等角对等边 5 【题型6】等边三角形的判定 6 【题型7】等腰三角形的性质与判定综合 7 【题型8】等边三角形的性质与判定综合 9 【知识点三】直角三角形的性质 10 【题型9】直角三角形的性质 10 【题型10】直角三角形的性质 11 【知识点四】直角三角形的判定 12 【题型11】直角三角形的性质与判定综合 12 二.中考真题专练 13 一、单选题（6题） 14 二、填空题（6题） 15 三、解答题（4题） 16 一.知识梳理与题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】等腰三角形性质 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2.性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°. 【题型1】等腰三角形定义求角或边长 ★★【例题1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知等腰三角形的两边长为和，这个三角形周长是（   ）cm A．16 B．20 C．16或20 D．不确定 ★【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如果等腰三角形的一个角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C．或 D．或 ★★【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． ★★【变式3】（25-26八年级上·安徽池州·期末）一个等腰三角形的底角等于，腰长为，则该等腰三角形腰上的高为 （用含的代数式表示）． 【题型2】等边对等角求值证明 ★★【例题2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，中，D、E在上，平分，且，．求证：． ★【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． ★★【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，．若，则 ． ★★【变式3】（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，在边上取一点，使得，在上取一点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【题型3】三线合一求值证明 ★★【例题3】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，连接，且平分，，是的高． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求证：． ★【变式1】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在等腰中，，，则高的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．6 ★★【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，D是的中点，E在边上，，若F在边上，满足，则四边形的面积是 ． ★★【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且； (2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边上的高，并保留作图痕迹（作图痕迹用虚线）； (3)直接写出的值． 【题型4】等边三角形性质 ★★【例题4】（25-26七年级上·山东济宁·期末）边长为2的等边三角形在平面直角坐标系中，如图所示，已知点，边轴； (1)点B，点C的坐标； (2)的面积． ★【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图所示，等边三角形的边长为4，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． ★★【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，若，则 °． ★★【变式3】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为． (1)求的度数； (2)求证：是的中点； (3)若，求长． 【知识点二】等腰三角形判定 判定方法1：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； 判定方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定方法3：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型5】等腰三角形的判定——等角对等边 ★★【例题5】（25-26九年级上·北京西城·期末）如图，将绕点B顺时针旋转得到，且满足点A，C，D在同一条直线上．连接交于点P，F是延长线上一点，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． ★【变式1】（2025·山东临沂·一模）观察下列尺规作图的痕迹，能判断是等腰三角形的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ★★【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，若，，平分，则图中共有 个等腰三角形． ★★【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知，若四边形是菱形，求的长． 【题型6】等边三角形的判定 ★★【例题6】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是的斜边上的中线， (1)求的度数． (2)求证：为等边三角形． ★【变式1】（25-26八年级上·山东济宁·月考）若的三边长满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 ★★【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则 ． ★★【变式3】（25-26八年级上·北京朝阳·期末）如图，，，垂足分别为A，B，，相交于点O，． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 【题型7】等腰三角形的性质与判定综合 ★★【例题7】（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，点D在上，，点E在上，． (1)求的长度； (2) ，给出证明； (3)求证：点E为线段中点． ★【变式1】（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，在四边形中，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 ★★【变式2】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若，则的面积为 ． ★★【变式3】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点D，点B分别在坐标轴的正半轴上，以点D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰． (1)若，，直接写出点M的坐标是______． (2)在x轴正半轴上找一点A，使，连接，求的大小． 【题型8】等边三角形的性质与判定综合 ★★【例题8】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，连接，． (1)求的长； (2)求的长． ★【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知，点分别在上，且，点P为上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 ★★【变式2】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点，． （1） ； （2）若，，则的长为 ． ★★【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·期末）如图，在中，，过点作的垂线，交于点，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【知识点三】直角三角形的性质 1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2性质： （1） 直角三角形中两锐角互余； （2） 直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；（4）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 【题型9】直角三角形的性质 ★【例题9】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． ★【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，，则等于（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，连接，，点，分别是线段，的中点，若，则的长为 ． ★【变式3】（25-26八年级上·山东德州·期中）在中，，，的平分线交于点，如图1． (1)求的度数； (2)作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法） (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【题型10】直角三角形的性质 ★★【例题10】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，于D． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长度． ★★【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 ★★【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，则中边的“中高偏度值”为（    ） A． B． C． D． ★★【变式3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，一条船上午从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C的方向在北偏东方向上，上午时到达海岛B处，在B处测得灯塔C的方向在北偏东方向上． (1)求海岛B到灯塔的距离； (2)这艘船继续向正北方向航行多长时间与灯塔的距离最小？ 【知识点四】直角三角形的判定 （1）有两内角互余的三角形是直角三角形. （2）一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形. （3）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边. 【题型11】直角三角形的性质与判定综合 ★★【例题11】（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． ★★【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·月考）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． ★★【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． ★★【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并说明理由； (3)若，求的长． 二.中考真题专练 一、单选题（6题） 1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 3．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 4．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 6．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 二、填空题（6题） 7．（2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ． 8．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 9．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 10．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 11．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是 ． 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题（4题） 13．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 14．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在四边形中，，点E，F在对角线上，，且，． (1)求证：； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并说明理由． 15．（2025·广东·中考真题）如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题： 命题1：若连接交于点，则． 命题2：若连接，则． 命题3：若连接，则． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 16．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $