8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 8.2.2两角和与差的正弦、正切 第1课时 两角和与差的正弦 课程标准 素养解读 1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦和两角和的余弦公式 通过两角和与差的正弦、余 2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式的特征 弦公式的应用，培养学生逻 3.能灵活运用公式进行化简和求值 辑推理和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 回顾三角函数的诱导公式 2思考3.你能运用公式S+m化简2os20°+ (1)sin(π十a)=sin元十sina对任意a能否成立？ (2)sn(受+a)=sin受cosa十e0s受sina成立吗？ 号n20吗7 4.如何推导公式sin(a十3)与sin(a-一3) [知识梳理] [知识点一] 两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 cos(a十3)= 5.如何识记两角和与差的余弦公式？ 余弦 C(a+B) a,3∈R 两角差的 cos (a-B)= 余弦 Ca-B) cos acos B+sin asin B a,3∈R 2思考1.你能分别用C+与C。-求cos75的值 6.如何识记两角和与差的正弦公式？ 吗？ 2.两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推 导而来的？ 预习自测门 1.sin62°cos28°+cos62°sin28°的值为 A.-1 B.1 C.0 [知识点二] 两角和与差的正弦公式 2.sin75°的值为 名称 简记符号 公式 使用条件 A.2-1 2 B②+1 2 两角和 的正弦 Sar sin (a++8)= a,B∈R C.62 4 D.6+2 4 两角差 sin (a-B)- 3.化简求值：sin(54°-x)cos(36°+x)十c0s(54°-x) 的正弦 S(。m a,3∈R sin(36°+x)= ·70· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 课堂。互动学案 题型一 给角求值问题 规律方法 [例1]化简求值 给值求角问题的解题策略 (1)sin165°； (1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值； (2)sin14cos16°+sin76cos74°； 第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的 取值范围写出所求的角. [思路点拨]根据式子的特点，进行适当变形，再 (2)选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在 合理选择公式求值. 某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可； 若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余 弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象 限，则选正弦函数等. ◇[变式训练] 2.已知sna-9sina一g)= 10 10,a,8均为锐角， 求3的值. 规律方法 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要 本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合 三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各 局部的变形 (2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差 的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换 分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆 题型写 给值求值问题 用或变用公式： [例3】已知<ga<8平，cosa-AD=号sin(a十 12 ◇[变式训练】 1.(1Dcos2cos若 元 sin 12sin 6- 号，求sin2a的值。 A.2 B号 [思路点拨]2a=(a十B)十(a-3) C. 2 D.1 2已知cs(5+a)-5 2 <a<受.则sna+子) ( ) A.32-8 B.32+ 6 6 C.6-3 D.6+3 规律方法 6 6 解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示 题型三 给值求角问题 出来.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示 [例2]已知sim(8+a-最o(年--是，且0 为两个“已知角”的和或差的形式，如本题.②当 “已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已 <a<<<3，求cos(a+m. 知角”的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成 “已知角”.③角的拆分方法不唯一，可根据题目合 理地选择拆分方式.如a=(a十B)一B=B-(B a242,0222,2a=(a+m+ 2 2 (a-B),28=(a+B)-(&-3),(年+a)+(于+B) 受十(a+),(年+a)+(年-)=5+(a-m. 2 ·71· 必修第三册 数学B ⊙[变式训练] 规律方法 3.若sim(+e)=最eos(受-)=号0a<子<A 通过应用公式asin a+bcos a=√a+b·sin(a十 <3亚，求sin(a+g值. p)[或asin a+bcos a=√a+b·cos(a-p)]将 形如asin a-十bcos a(a,b都不为零)的三角函数式 收缩为一个三角函数√a十b·sin(a十g)[或 √a2十b·cos(a一p)门.这种恒等变形实质上是将 同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩 为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上 述公式也称为辅助角公式. 理论依据： lsin1s1,icos≤L, 1a4B1≤1a411, 题型四 辅助角公式应用 co8可 sin [例4幻化简求值：sin吾一5cos是 asin a+bcosa a a2+b2sin(a+p) 汇思路点拨]利用辅助角公式化简， a.6≠0 在哪个象限内由a,b的符号 确定；p的大小可由tanp的 值确定 b acos a+bsin a= sina )-aticoala) cos sin ◇[变式训练] 4已知ea()十s,则me+)的 值是 A.- 2V3 B.2 5 5 c- 随堂。步步夯实 1.sin20°cos10°-cos160°sin10°= 5.化简下列各式： √3 A.- B号 （1)sinu+子)+2sin(c-子)-Ecos(经-x: C.-2 0. (2)sin(2a+) sin a -2cos(a十3. 2.已知sina= 3.cos(a+8)=-1,sin(2a+8)= ) 2 C.- n号 3.sin47°-sin17°cos30 cos17° C温馨提 学习至此，请完成配套训练 4sin意-5os危的值为 ·72·必修第三册 8.2.2两角和与差的正弦、正切 第1课时两角和与差的正弦 课前预习学案 情境引入 提示：(1)不成立.因为sin(x十a)=-sina,sinx十sina= sin a. (2)因为sin（受十a)=cosa,in受cosa十cos受ina=cos a,所以sm(受十a)=sim子cosa十cos吾sna成立. 知识梳理 知识点一、cos acos B-sin asin3 知识点二，sin acos3+cos asin3 sin acos3-cos asin3 [思考] 1.提示：方法一：c0s75°=c0s(45°+30) =cos45cos30°-sin45°sin30°=6-E 4 方法二：c0s75=c0s(120°-45) -cos 120'cos 45+sin 120'sin 456 4 2.提示：在两角差的余弦公式cos(a-3)=cos acos叶sin asin3 中，只要用一3替换3，便可以得到两角和的余弦公式. 3.提示：7c0s20°+9sm20°=n30°om820°+ 2 cos30°sin20°=sin(30°+20)=sin50 4.提示：①sin(a+B)=cos[2-(a+B]- cos[(7-a)-]=cos(5-a)cosB+sin(5-a）·sine =sin acos B+cos asin B. ②法-：sin(a-P)=cos[5-(a-B]= cos[（-a)+]=cos(2-a)cosg-sin(2-a)·sinB =sin acos B-cos asin B. 法二：用-3代替sin(a十)中的B,sin(a-B) =sin[a+(-B)]=sin acos(-B)+cos asin(-B)=sin acos B-cos asin B. 5,提示：可简单记为“余余正正，符号反”，即展开后的两项 分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦：展开前两角间的 符号与展开后两项间的符号相反. 6.提示：可简单记为“正余余正，符号同”，即展开后的两项 分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；展开前两角间的 符号与展开后两项间的符号相同， 预习自测 1.B2.D 3.解析：原式=sin(54°-x+36°+x)=sin90°=1. 答案：1 课堂互动学案 [例1][解](1)sin165°=sin(120°+45) =sin120cos45°+cos120°sin45° 9×9×号 4 (2)原式=sin14cos16°+sin(90°-14)cos(90°-16) =sin14°cos16°+cos14°sin16 =sin(14°+16)=sin30 2 ·11 数学B 变式训练 1.B[ms若-simn晋=s(+)=s =,故选B] (2)A ['cos (+a)=-sin a= 31 Γ2 <a<0s9in(e+） 3厄-，故选A.] 6 [例2】[解]：0<a<<9<8。 <+a<,-受<-0， 4 4 又“sin(+a）是ms(臣-）吾， ios(+e）=-是m(任）吉， ∴cos(a+=sin[登+a+] [(停+）（刃 n(+)(经)(+o小如（经） =最×号()×()器 变式训练 2解：因为e8为能角，m8日，所以ca。-25, 5 又周为-受<a-K受且sina》=- √10 101 所以cos(a-g)=3, 10 所以sin3=sin[(3-a)+a] -sin(B-a)cos a+cos(B-a)sina =四×25+3四×52 10 5 10×52 因为B为锐角，所以日=至 [例3][解析]：子<Ka<平， 4 0<a-K登，登<a+ 又“sin(a+m=-是， 六a+大经imsa十用=一 4 5 :ola一0-号na-》- 6 .'.sin 2a=sin[(a+B)+(a-B)]=sin(a+B3)cos(a-B)+ ,5 56 变式训练 3解析：因为0Ca<音<要。 所以<经+a<,吾<晋0， 又n+a-s子--是， 所以eas经+a=√m2(+= 13 sin(-8=1-cos2(-a)=-号 sin(a+8)--cos[Z+(a+8)] =-o[(+a)-(- =-a(+as--sin+ain-m =2(sin若sin-os吾cos) =-2o(后+) =-2os至 =-2 方法二原式=气如音-m音) =2sm(能） =-2如音 =-√2. 变式训练 4.c[cos(a吾)十sina cos a cos 晋十sin asin-答+sina 6 2cos a+ 2sin a =5(n吾cos a+cos若sima） =in(后+）-， sin(后+a）号 im(+）=(+吾+ =一 随堂步步夯实 1.D[sin20°·cos10°-cos160°·sin10°=sin20°· cos10+c0s20·s5m10=sin30=7故选D.] 2.A[cos(a+3)=-1 .sin(a+3)=0 .sin(2a+8)=sin[a+(a+8)]=sin acos(a+8)+cos a. sina+m=号×(-1D+cosa0=-子] 参考答案 3.解析：sin47°-sin17cos30 cos 17 =sin(30°+17)-sin17°cos30° cos 179 =sin30°cos17°+sin17cos30°-sin17°cos30° cos 179 =sin30°cos17 cos 175 =n30r=合 答案： 4,解析：sin立 =2sin吾sm-sos)=-2(晋+ =一 答案：一2 -2cos 5.解：①原式=sin rcos号十casn答+2noos号 rsin cocos-sinsin 2 sin 1 2cos。x3cosx十之COss =(+1-im+(-5+ )cos x=0. 2 (2)原式=sin(a+)+a]-2cos(a+B)sing sin a sin(a+B)cos a-cos(a+B)sin a sin a sin[(a+B)-asinB sin a sina 第2课时两角和与差的正切 课前预习学案 情境引入 1.提示：因为tan乏的值不存在，不能利用公式T。9,所以 改用诱导公式来解。 an(受-) sin(受 ) COS B sin B' 2.提示：当cos(a十)≠0时， tan(a+B)= sin(a+8)sin acos B+cos asin B cos(a+B)cos acos B-sin asin B) 当cos acos≠0时，分子分母同除以cos acos B,得tan(a tan a+tan B +8)=1-tan atan 8 知识梳理 tana十tanβ tana-tanβ 1-tan atanβ 1+tan atan B [思考] 1.提示：这是由正切函数的定义域决定的. 2.提示：tan(a十g)=sin(a十) cos(a+B) sin a sinB sin acos B+cos asin B cos a'cos B cos acos B-sin asin B 1-sin asin B cos acos B tan a+tan B -1tan atang 类似地可以推导tan(a一)，也可用一B代替tan(a十B)中 的3，tan(a-3)=tan[a+(-3)]= tan a+tan(-B) 1-tan atan(-B) tan a-tan B 1+tan atan B 119