8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 13.已知角a的终边过点P(-4,3). 2cos a 8 (1)求 tan(3π+a) 的值； sin(5π-a)一 元 cos 2十a (2)因为B为第三象限角，且anB=专， (2)若B为第三象限角，且anB3,求cosa一的值. 所以sing=-青，os月=一号 4 解：(1)因为角a的终边过，点P(一4,3)， 由(D知sina=号，osa= 4 所以sina= 5,cos a=- 5 所以cos(a-3)=cos acos B+sin asin3 sin a 所以 tan(3x+a) cos a （-)×(-)+×(-)=0. sin(5x-a)-cos +a sin a+sin a 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 第1课时 两角和与差的正弦 课程标准 素养解读 1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦和两角和的余弦公式 通过两角和与差的正弦、余 2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式的特征 弦公式的应用，培养学生逻 3.能灵活运用公式进行化简和求值 辑推理和数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P70 [情境引入] 2思考1.你能分别用C+m与C。m求cos75°的值吗？ 回顾三角函数的诱导公式 提示：方法一：c0s75=c0s(45°十30°) (I)sin(π十a)=sinπ十sina对任意a能否成立？ (2)sin(受十a）=sin受cosa十eos受sine成立吗？ =cos45c0s30°-sin45sin30°=6-V2 方法二：c0s75°=cos(120°-45°) 提示：(1)不成立.因为sin(x+a)=一sina,sinr十 sin a-sin a. =cos120°cos45°+sin120°sin45°=6-2 (2)图为sin(受十a）=cosa,sincosa十cossina 2 2.两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推 导而来的？ =cosa,所以sin( 元 叶a)=sin2cosa十cos2sine 提示：在两角差的余弦公式cos(a一)=cos acos B十 成立 sin asin3中，只要用一B替换B,便可以得到两角和 [知识梳理] 的余弦公式 [知识点一] 两角和与差的余弦公式 [知识点二 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 cos(a十3)= a,3∈R 余弦 C(a+B) 两角和 sin (a+8)= cos acos B-sin asin B 的正弦 Sutp a,3∈R sin acos B+cos asin B 两角差的 cos (a-B)= C(a-P a,B∈R 余弦 cos acos B+sin asin B 两角差 sin (a-B)= 的正弦 S- a,B∈R sin acos B-cos asin B ·134 第八章向量的数量积与三角恒等变换 2思考3.你能运用公式S+m化简2c0s20°十 6.如何识记两角和与差的正弦公式？ 号s20得2 提示：可简单记为“正余余正，符号同”，即展开后 的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；展 提示：7as20+9sm2分=5n0cs20+ 开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同、 [预习自测] cos30°sin20°=sin(30°+20)=sin50° 4.如何推导公式sin(a十B)与sin(a一3). 1.sin62°cos28°+cos62°sin28的值为 提示：①sin(a十0=cos[受-(a+m] A.-1 B.1 cos[(号-a)-I=cos(受-a)cosP+sin(号 C.0 -a） D sin B=sin acos B++cos asin B. 答案：B ②法-：sin(a-)=cos[受-(a-D]= 2.sin75的值为 cos[(5-a)+=cos(受-a)cos月-sin(号-a) A.21 2 B2+1 2 sin B=sin acos B-cos asin B. C6-2 4 D.6+② 法二：用-B代替sin(a十3)中的B,sin(a-3) 4 =sinLa+(-B)]=sin acos(-B)+cos asin(-B) 答案：D =sin acos B-cos asin B. 3.化简求值：sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x) 5.如何识记两角和与差的余弦公式？ 提示：可简单记为“余余正正，符号反”，即展开后 sin(36°+x) 的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展 解析：原式=sin(54°-x十36°+x)=sin90°=1. 开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反. 答案：1 课堂。互动学亲 对应学生用书P71 题型一 给角求值问题 (2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形 [例1门化简求值， 式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母 (1)sin165°； 的形式进行约分，解题时要注意逆用或变用公式。 (2)sin14cos16°+sin76cos74°； ◇[变式训练] [思路点拨]根据式子的特点，进行适当变形，再 合理选择公式求值， 1.1as危ow晋-dn意n晋 [解](1)sin165°=sin(120°+45) =sin120cos45°+cos120°sin45 A号 图 -BxE-1x巨-6-E; D.1 2222 24 (2)原式=sin14cos16°+sin(90°-14)cos(90°-16) =sin14cos16°+cos14°sin16 解析：B[cosos否-snin若=cos(十) =sin(14°+16)=sin30° 元E,故选B] pN 规律方法 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本 着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角 A.3 B.3V2+ 6 6 函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的 变形. c。 ·135· 必修第三册 数学B 解析：A[cos (2+a--sin a- .sin a= 所以cos(a-3)= 3√10 10, <a<0,..cosa= sme+】 所以sinB=sin[(g-a)+a] 2 =sin(B-a)cos a+cos(B-a)sina -sin acos +cos asin 3 3 2 -四×25+3⑩×52 10 10 52 3巨-5，故选A.] 6 因为日为锐角，所以日=至 题型二 给值求角问题 题型三 给值求值问题 [例2已知sm(+最o(年-号，且0 [例3]已知子<Ka<3子cos(a-8)=号sin(a+m 12 4 <a<年<3，求cos(a十m. 号，求sim2a的值。 [解]r0<a<<g<F 思路点拨2a=(a千p)十(a二)， <8+，<-K0, 4 4 [解析] 又n7+)高o（任-习） :<a< ∴m(俘+)是n(任-=-告 0<a-K受，受<a+ 2 又.sin(a+3)= 3 cos(a+=sim[受+(a+] =sin[竖+小-（任-刃 =n(年+om(-月m(g+小m(-g icos(a-=号?.sin(a=是 .'.sin 2a=sin[(a+B)+(a-B)]=sin(a+B)cos(a ×号-()×()器 B)+cos(a+B)sin(a-B)=- ×号+(-)× 规律方法 给值求角问题的解题策略 5 =56 365 (1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值： 第二步，确定角所在的范围：第三步，根据角的 规律方法 取值范围写出所求的角， 解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示 (2)选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在 出来.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示 某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可： 为两个“已知角”的和或差的形式，如本题.②当 若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余 弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象 “已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已 限，则选正弦函数等」 知角”的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成 ⊙[变式训练] “已知角”.③角的拆分方法不唯一，可根据题目合 之已知sna=怎inta- √10 理地选择拆分方式.如a=(a十B)一B=B-(3 10,a,8均为锐角， 求3的值 e8=+,g=,2a=at0十 2 2 解：因为a,3为锐角，sina= 5,所以cosa 2w5 5 (a-),29=(a+)-(a-B),(于+a)+(于+8) 又因为-受<a-BK受且sim(a)=- √10 10 受+(a+,(+a)+(年-)=受+(a-Bm. ·136· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 ◇[变式训练] 规律方法 若sin+a)=os(-=号0a<骨< 通过应用公式asin a-十bcos a=√a+b·sin(a十 <8F,求sin(a+)值。 g)[或asin a+bcos a-=√a+bB·cos(a-p)]将 形如asin a-十bcos a(a,b都不为零)的三角函数式 解析：因为0a<至<<3 4 收缩为一个三角函数√a+b·sin(a十p)[或 √a十b·cos(a-p)].这种恒等变形实质上是将 所以<+a<,一吾<至-0， 同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩 为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上 述公式也称为辅助角公式 所以cos(+a)=√1-sin(还+a)=是 13 中路低系，<1 1a+≤1小a41≤1， cos p sin sin(a+A)--cos[2+(a+8)] asin a+bcosa= ina+a+cos Ja2+bsin(a+) =-cos[(3F+a)-(牙-B] ab≠0 值确定 =-ms(+ocas(子--sin(+asn(- acos a+bsin a= ab cosa+ a+b wa'+b-cos(a-) 4 4 ath sina cos sin ◇[变式训练] 题型四 辅助角公式应用 4.已知cosa 吾)十如。5则sm+)的 [例幻化简求值：sin是5os意 值是 [思路点拨]利用辅助角公式化简. A.-23 B.2 5 5 [解】方法-：原式=3n音一停) c- D.告 =2(snsincoscos) 解析：C [cos(-)+sina =cos a cos 6 ,+sin asin+sina =-2c0s 3 2 cos a之sina =-2. =sin若cosa+cossina =2(osin-sinos) =m(借+j小台6， =a加（危） m(+小 =-2sin n(e+名m++ =-√2. ·137· 必修第三册 数学B ● 随堂。步步夯实 对应学生用书P72 1.sin20°cos10°-cos160°sin10°= A. 4.sin一cos是的值为 &9 解析：D[sin20°·cos10°-cos160°·sin10°= 解析：sim是5os登-2(sn危一号c0s) sin20°·cos10°+c0s20°·sin10°=sin30°=Z 1 =2(sinsn-0scos)=-2os(+7 故选D.] =-2c0s=-2. 2.已知sina=3,cos(a+B)=-l,则sin2a+B)= 答案：一√2 5.化简下列各式： A- B.合 c.- D号 (1)sin(x+等)+2sim-子)-5cms(管-x: 解析：A[,cos(a+3)=-1 (2)sin(2a) sin a -2cos(a+3). ∴.sin(a+3)=0 解：(1)原式=sin2cos 元 .'sin(2a+B)=sin[a+(a+B)]=sin acos(a+8)+ 3 esa·na+0=3X(-1D-cosa0=子J -2co8sin-5coscas-5simsin 3 3.sin47°-sin17cos30 1 c0s17° 2os叶inx一s+5 3 2 COS .2- 2 sin c 解析：sin47°-sin17cos30 cos17° 3 2 2)c0sx=0. =sin(30°+17°)-sin17°cos30 c0s17° (2)原式=sin[(a+9)+a]-2cos(a+B)sing sin a =sin30cos17°+sin17°cos30°-sin17cos30 c0s179 -sin(a+B)cos a-cos(a+B)sin a sin a sin30'cos17=sin30°= 1 c0s17° _sin[(a+B)-a]_sin B sin a sina 答秦：2 课后。素养提升 对应学生课时P43 基础过关 解析：B[原式=-sin65sin55+sin25°sin35 JI CHU GUO GUAN 1.cos23°sin53°-sin23°cos53等于 ( =-cos25°cos35°+sin25°sin35 A. &9 三一 0s(35+25)=-60s60=-.] c-日 D 3 3.在△ABC中，A=T, osB画则nC等于 2 10 解析：A[原式=sin53°cos23°-cos53sin23 ( =sim(53-239)=sm30=2J A.2⑤ B.-25 5 5 2.sin245°sin125°+sin155sin35的值是 ( A. B.-2 C⑤ D. 5 ·138· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 解析：A[sinC=sin[x-(A+B)]=sin(A+B) ∴cosB=一名或cosB= 5 =sin Acos B+cos Asin B (cos B+1-cos B) 当cmsB-是时， 2 sin C=sin(A+B) 号× √/103W10 10 =sin A cos B+cos Asin B 10 ×+号×号 = 4.若sin(a+B)cosB-cos(a+B)sin3=0,则 56 5: sin(a+2,3)+sin(a-2,3)= ( A.1 B.-1 当cosB=一8： 5 C.0 D.±1 sinC=sin(A十B) 解析：C[sin(a+B)cosB-cos(a十B)sinB=sin =sin Acos B++cos Asin B [(a+B)-B]=sin a=0,sin(a+2B)+sin(a-2B)= ×()+×号 sin acos 28+cos asin 28+sin acos 28-cos asin 28 =2sin acos 28=0.] 5函数f)-o(+)o()是《).化简（晋口）+m(餐o的结果是 A.周期为π的偶函数 解析：原式=sin石cosa十cossin a十cos 6 B.周期为2π的偶函数 C.周期为元的奇函数 sinsin acos a. D.周期为2π的奇函数 答案：cosa 解析：D[因为f(x)=cos (e+) cos 8.函数f(x)=sin(x十2p)-2 sin ocos(x十g)的最大 值为 - 解析：，f(x)=sin(x+2p)-2 sin cos(x十p) -sin[(z+)+]-2sin ccos(z+) =sin(z+)cos o+cos(z+)sin o-2sin ocos(x √2sinx,所以函数f(x)的最小正周期为 十9) =2元 =sin(z+)cos o-cos(z+)sin 又f(-x)=-√2sin(-x)=√2sinx=-f(.x),所 =sin[(z+o)-]=sin x, .f(x)的最大值为1. 以函数f(x)为奇函数，故选D.] 答案：1 6.(多选题)在△ABC中，cosA= simB=是则 又（多空题已知cs8-9如a一的=S,且a,8长 sin C= A.号 k器 （0,受)则sin(2a- 则B= c器 n器 解析：调为，c(0,》a-c（受) 解析：AC[由csA=，sA=<sinB 又ina-m=>00<-受 10 -12 3 10 ·139· 必修第三册 数学B .'.sin(2a-B)=sin[a+(a-B)] =sina·cos(a-B)+cosa·sin(a-B) em(至-j+o(任- =25.30+5.0_72 5 10 5 1010 (经+（停刃 又cosB=cos[a-(a-B)] 号[sim(任-cos吾+eos(年-rs小in】 =cosa·cos(a-B)+sina·sin(a-B) =5.30+25.0-2 5 竖（品小号 10 5 10-2 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.已知函数f(x)=√3cos2x-sin2x,x∈R. 答案：得 4 (1)求f(x)的最小正周期与值域： 10已知号<2Ka<平sa-=得a+》 (2)求f(x)的单调递增区间. 解：(1)f(x)=-sin2x十√3cos2x 号求in2a的值， 解：因为受<<a<平 =-2(sin2rcos号-cos2zsin） 所以0a至a+受 --2sin(2)ER. 又osa--景ina+)=- “T-受=，函数的位城为[-2,2]. 所以ma一)=1-coa西--周 2)由2x+受≤2x-8<2x+要，4∈Z。 5 13' 得x+登<kx+∈7 cos(a十B)=-√/1-sin'(a+B)= -() 函数的单调造琳区间为[红十受红十晋]∈公 =、4 5 IB已知函数fx)=An(十)xcR,且f 所以sin2a=sin[(a-3)+(a十B)] =sin(a-B)cos(a+B)+cos(a-B)sin(a+B) =×()+×()器 (1)求A的值： 11.化简下列各式： (2②)若f(0)+f(-)-,0∈(0，)求 (1)315sin x+35cos z; 29n(任-+o(-小】 解：1f()An(段+)An等 解：(1)3√15sinx+35cosx -Asin3-2 (2)由a)知f)=3sin+量) =6(cossimx+sincos 故f(0)+f(-) =65in(e+) =5sn(+)+sn(-+)是 ·140· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 又e(0,sim-cos0-. ∴√6cos0= .cos0=y ∴fF-0）-5sim(x-0)=n= 第2课时 两角和与差的正切 课程标准 素养解读 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切 根据两个角和与差的正切公式的推导 公式 及应用，培养学生数学抽象及数学运 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明 算素养 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用 课前。预习学案 对应学生用书P73 [情境引入] ?思考1.两角和与差的正切公式中为什么限制a, L.如何化简tan(受一)呢？ Ba+,a一B都不等于x+受（∈？ 提示：因为an受的值不存在，不能利用公式T。-: 提示：这是由正切函数的定义域决定的 所以改用诱导公式来解. 2.你能借助两角和与差的正、余弦公式推导tan(a十 3)与tan(a一B)吗？ tan (-8)= in(-B) cos B 2 cos( sin B' 提示：tan(a+B)=sin(a+ cos(a+B) sin a sin B 2.你能根据同角三角函数基本关系式tana=sina sin acos B+cos asin B cos a'cos B cos a cos acos B-sin asin B 1-sin asin B 从两角和的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角 cos acos B a,B的正切值表示tan(a+)的公式吗？ tan a++tan B 1-tan atanB' 提示：当cos(a十3)≠0时， 类似地可以推导tan(a一3)，也可用一B代替tan(a tan(a)-sin(a)=sin acos B+cos asin 8 cos(a+B)cos acos B-sin asin B) +3)中的B,tan(a-B)=tan[a+(-B)]= 当cos acos B-≠0时，分子分母同除以cos acos B,得 tan a+tan(-B)tan a-tan B 1-tan atan(-B) 1+tan atan 8 tan(a十3)= tan a+tan B 1-tan atan B 3.对于两角和的正切公式你能写出它的几种常见变 [知识梳理] 形吗？ [知识点]两角和与差的正切公式 提示：它的常见变形主要有以下四种： 名称 简记符号 公式 使用条件 (1)tan a+tan B=tan(a+B)(1-tan atan B); 两角和 a,B,a十≠ tana十tan3 (2)1-tan atan B=tan attanB. T(a+) tan(a十3) tan(a+B) 的正切 1-tan atan月 标十受，k∈Z (3)tan a++tan Btan atan B.tan(a)=tan(aB); 两角差 a,B,a-≠ 的正切 T- tan a-tan B tan (a-B)= (4)tan atan B=1-tan a+tan 1+tan atan B tan(aB) ·141