8.1.3 第2课时 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 第2课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 课程标准 素养解读 1.能根据向量的坐标判定两个向量垂直 通过学习向量的数量积表示两向量的垂直，重 2.能根据向量的垂直证明平面几何中的直线垂直 点培养学生数学运算及逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] ?思考已知非零向量a=(y1),b=(x2y2).a∥ 平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的 b与a⊥b坐标表示有何区别？ 表示形式不同，对其运算的表示方式也不同.向量的 坐标表示为我们解决有关向量的线性运算带来了极 大方便 [问题]设a=(1y1),b=(22,y2).如何用向量的 坐标来表示a⊥b? [预习自测] 1.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量a+b与a一 2b垂直，则实数入的值为 A.-7 B.7 c-6 D吉 2.已知向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且b= 3√5，则b= ( [知识梳理] A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) [知识点]两个向量垂直的坐标表示 设a=（1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b台 3.在四边形ABCD中，AC=(1,2),BD=(-4,2),则 四边形ABCD的面积为 课堂。互动学案 规律方法 题型一向量垂直的坐标表示及应用 由于未指定哪个角是直角，故应分三种情形讨论， [例1]在△ABC中，已知AB=(2,3),AC=(1,k), 利用向量垂直刻画内角为直角，列出的方程，再 且△ABC的一个内角为直角，求实数k的值. 求出. [思路点拔了利用向量垂直列的方程，再求飞， ◇[变式训练] 1.已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka十b与a-3b垂 直，求的值. 66· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 题型二向量数量积的坐标运算在平面几何中应用] 题型三 数量积的综合运用 [例2]已知正方形ABCD中，E,F分别是CD,AD [例3]已知a=(cosa,sina),b=(cos3,sin3), 的中点，BE,CF交于点P.求证： 且|a+b|=√5|a-b|(k>0). (1)BE⊥CF; (1)用k表示数量积a·b: (2)AP=AB (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角0 [思路点拨]画出图形，根据图像寻找边与边之 的大小. 间的关系，在平面直角坐标系中求解。 汇思路点拨]利用向量的数量积列的方程，然 后求解. 规律方法 用向量数量积的坐标运算可以解决平面几何中的 规律方法 问题： 坐标由三角函数表示的向量要注意与单位圆的关 ①垂直问题，如证明四边形是矩形，常用向量垂直 系，模长具有特殊性，比如可以利用cos2a十sina 的等价条件：a⊥b台a·b=x122十y1y2=0. =1等.由三角函数表示的数量积通常可以应用 ②求夹角问题：cos0=0·b 三角函数的有界性，同时要注意，sina,cosa的取 a b 值范围是[-1,1]. x1x2十y1y2 ◇[变式训练] √x+y·√十 3.已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin0,cos). ③求线段长度或证明相等：a=√x十y. (1)若|AC=|BC,求tan0的值. ◇[变式训练] (2)若(OA+2OB)·OC=1,其中O为坐标原点， 2.已知在△ABC中，C是直角，CA=CB,D是CB的 求sin0+cos0的值. 中点，E是AB上一点，且AE=2EB,求证：AD ⊥CE. ● 随堂。步步夯实 1.设向量a=(x,1),b=(4,x),且a⊥b,则x的值是 ①向量b,c的坐标； ( ②向量a一2c与一3b的夹角. A.±2 B.0 C.-2 D.2 2.已知向量m=(入十1,1)，n=(入+2,2)，若(m+n) ⊥(m-n),则入= A.-4B.-3C.-2 D.-1 3.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=a-tb,若b1 c,则实数t= 4.已知OA⊥AB,1OA=3,则OA.OB= C温擎提 5.已知平面向量a=(3,一4)，b=(2,x),c=(2,y),a 学习至此，请完成配套训练 ∥b,a⊥c,求： ·67·变式训练 3.解：(1)a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1) b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3), .a·b=4×1+3×(-1)=1, |a+b=√(4+1)2+(3-1)z=√25+4=√29. (2)设a,b)=0,由a·b=a bcos0, ∴cos0=a·b 1ab√2×510 随堂步步夯实 1.A[a·b=-x+6=3,故x=3.] 2.D[as9=-=又国为0e[0,,所以0 =5.] 6 3.B[a·b=(1,W3)·(3,m)=3+√3m, |a=2,|bl=√9+m2 后-2好 4.解析：法一a十b=(m十1,3)， 又|a+b12=a|2+1b12. .(m+1)2+32=m2+1+5, 解得m=-2. 法二由a+b12=a2+b12, 得a·b=0,即m十2=0，解得m=-2. 答案：一2 5.C[与向量丽=（号2)同方向的单位向量是 AB ABI 9 号(2-()门 W4+4 第2课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 课前预习学案 情境引入 提示：a⊥b台a·b=0台x1x2十y1y2=0 知识梳理 知识点x1x2十y1y2=0 [思考] 提示：若a∥b台x1y2=x2y1,即x1y2-x2y=0.若a⊥b 台x1x2=一y1y2,即x1x2十y1y2=0.两个命题不能混淆， 可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵 积相反. 预习自测 1.A[由a=(-3,2),b=(-1,0), 知a+b=(-3入-1,2入)，a-2b=(-1,2). 又(a+b)·(a-2b)=0, .3入+1+4λ=0， A=-7] 2.A「由题意，设b=a=(入，一2入)（入<0），由于b= 3√5. ∴.|b|=√2-(-2λ)7=√5x2=3√5，.λ=-3，即b= (-3,6).] ·11 参考答案 3.解析：因为在四边形ABCD中，AC=(1,2),BD=(-4, 2),AC·BD=0, 所以四边形ABCD的对角线互相垂直， 又因为|AC|=√2+22=√5，|BD|=√(-4)2+22= 25, 所以该四边形的面积21Ad·防=号×5×2后 =5. 答案：5 课堂互动学案 [例1][解]根据直角的位置不同，可分为3种情形： (1)若∠A=90°，则AB·AC=0, 即2+3谈=0，得=一号： (2)若∠B=90°，则AB·BC=0, 因为BC=AC-AB=(-1,k-3), 所以-2+3(k-3)=0,得= 3 (3)若∠C=90°，则AC.BC=0, 所以-1十(k-3)=0,得k=3±图 2 综上可知，=一号或及=号或k=3生国 3 2 变式训练 1.解：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 又ka+b与a-3b垂直，故(ka十b)·(a-3b)=0. 即(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0,得k=19. [例2][证明]建立如图所示的平 面直角坐标系，设AB=2, D 则A(0,0),B(2,0). (1)BE=(-1,2),CF=(-2,-1). .BE·CF=(-1)X(-2)+2X A(0) (-1)=0, ∴BE⊥CF,即BE⊥CF. (2)设，点P坐标为(x,y),则FP=(x,y-1), FC=(2,1), FP∥FC, .x=2(y-1),即x=2y-2, 同理，由BP∥BE得y=-2x+4, 6 由=2y2得 x 0y=-2x+4, 8 =5 点P的坐标为（信） √()+()=2=A1,即AP=AB. 变式训练 2.证明：建立如图所示的直角坐标系， 设A(a,0),则B(0,a),E(x,y). D是Bc的中点D(0,受) 又AE=2EB, 0(C .(x-a,y)=2(-x,a-y), 5 必修第三册 即-a=-2x, (y=2a-2y, 解得{ 2 y=3a, (传景)月 :i=(0,受)-a,0)=(-a,号) o苑-花-（号号 i.店-a×号+号×号0 =-32+32=0, ∴.AD⊥CE,即AD⊥CE. [例3][解](1)由|k+b|=√5a-kb|,得(ka+b)2 =3(a-b)2, .k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2, ∴.(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. ,|a=√cosa+sina=1,bl=√cos2g+sin3=1, .k2-3+8ka·b+1-3k2=0, a·6=2k2+22+1 8k 4k 4k4 由画数的单调性容易得出，()=(k十)在(0,1]上 单调递减，在[1，十∞)上单调递增. 5当k=1时，f)0m=f)=×(1+1D=2,即a·b 的最小值为宁 此时a与b的夫角0的余弦值cos=ab=2 a·b1 ∴.0=60 变式训练 3.解：(1)AC=(2sin0-1,cos0) BC=(2sin 0,cos 0-1) ACI=IBCI ∴.√2sin0-1)2+cos20 =√(2sin0)2+(cos0-1)2, 化简得2sin9=c0s0.tam0=子 (2)OA+2OB=(1,2), OC=(2sin 0,cos 0), ∴.(OA+2OB)·OC=2sin0+2cos9=1, ".sin 0+cos 1 随堂步步夯实 1.B[由a⊥b,得a·b=0,即4.x十x=0,解得x=0,故 选B.] 2.B[因为m=(入+1,1)，n=(入十2,2). 所以m十n=(2入+3,3)，m-n=(-1,-1). 因为(m十n)⊥(m-n),所以(m十n)·(m-n)=0, 所以-(2入十3)-3=0，解得入=-3.故选B.] ·1 数学B 3.解析：由题意得c=a一b=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4一t). :b⊥c,.b·c=(-1,1)·(2+t,4-t)=-(2+t)+(4 -t)=2-2t=0,解得t=1. 答案：1 4.解析：因为OA⊥AB,所以OA·AB=0, 所以OA.OB=OA·(OA+AB)=OA12+OA.AB= OA2=32=9. 答案：9 5.解：①.a=(3,一4)，b=(2,x),a∥b, 小3x+8=0,x=-8 3 c=2y.aLc6-4y=0y=是 b=(么，-)c=(2,)月 81 ②设a-2c与-3b的夹角为0，，a-2c=(3,-4)-(4, 3)=(-1,-7),-3b=(-6,8), ∴cos0=Ca-2c)·(-3b)=6-56 1a-2c·-3b5√2×10 21 0<0=要 故a-20与-3b的夫角为 8.2 三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 课前预习学案 情境引入 提示：(1)不成立.因为cos(π一a)=一Cosa,c0sπ一C0sa= -1一cosa,若cos(元-a)=cos元-cosa,则-1=0矛盾，故 不成立， (2)因为cos(5-a)=sina,cos受cosa十sin号sina sin a. 所以cos(受-a)=cos受cosa十sin受sina成立， 2 知识梳理 知识点一、(1)cos acos3+sin asin3任意角 知识点二、cos acos(-3)+sin asin(-3)cos acos3-sin asin B [思考] 1.提示：差角的余弦简记：余余正正，符号反 2.提示：os(受-a）=cos受c0sa十sin受sina=0叶sina sin a. 3.提示：一般情况下不相等.但在特殊情况下也有相等的时 候.例如：当a=0°，3=60°时，c0s(0°-60)=c0s0° c0s60°. 预习自测 1.C2.A 1 3.2 课堂互动学案 [例1][解](1)原式=cos75cos15°+sin75°sin15°= c0s(75°-15)=c0s60=7 (2)原式=cos60'cos15°+sin60'sin15°=cos45°=Y 2 (3)原式=c0s(60°+45) =cos60°cos45°-sin60°sin45 2 4 6