8.1.3 第1课时 向量的坐标与向量的数量积（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 能力提升 13.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互 NENG LI TI SHENG 之间的夹角均为120° 12.已知a=4,b=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求证：(a-b)⊥c: (1)求|a+b; (2)若|ka十b+c>1(k∈R),求k的取值范围. (2)求向量a在向量a十b方向上的投影数量， 解：(1)因为a=|b=|c=1,且a、b、c之间的 解：(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b= 夹角均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c 4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6,∴.a =allelcos120°-bl|ccos120°=0， +b2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,.|a+ 所以(a-b)⊥c. b=√13. (2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1, (2)设a与a十b的夹角为0，a·(a十b)=a2+a·b= 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1, 10,.cos0= 4X不厉2后则a在a十b方向上 10-5 所以k2+1+1+2kcos120°+2kcos120°+2cos120 >1. 的投影数量为acos0=4X5=10W国 所以一2k>0,解得k<0,或k>2. 2√/13 131 所以实数k的取值范围为{kk<0,或b>2}. 8.1.3 向量数量积的坐杯运算 第1课时 向量的坐标与向量的数量积 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标 通过推导数量积的坐标运算及通过求 运算 夹角和模，体会逻辑推理素养及数学 2.能运用数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两 点间的距离公式 运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P63 [情境引入] 若a=(x1y1),b=(x2y2),0是a与b的夹角，则 “我知道我一直有双隐形 (1)a·b=|a|bcos0=21x2+y1y2: 的翅膀，带我飞，飞过绝望，不 特别地a·a=a=a2=x十y, 去想他们拥有美丽的太阳，我 即a=√+y 看见每天的夕阳也会有变化， (2)当a,b同向时， 我知道我一直有双隐形的翅 0 膀，带我飞，给我希望…”， a·b=a|b=√a+y·√x号+y; 如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多 当a,b反向时， 远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”—一坐标 a·b=-aIb=-√+听·√+； 表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代 当a,b垂直时， 数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化， a·b=a|bcos90°=x1x2+y1y2=0. 把“定性”研究推向“定量”研究. (3)a·b≤la|bl, [问题]在平面直角坐标系中，设，j分别是x轴和 y轴方向上的单位向量，a=(3,2),b=(2,1),则a·b 即a·b=|xx十yy2≤√+yV+y 的值为多少？a·b的值与a,b的坐标有怎样的关 [知识点二]向量模的计算公式 系？若a=（x1y1),b=(x2y2),则a·b为多少？ 1.若a=(xy),则a=√2十y. 提示：a·b=1x2十y1y2 2.如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x,y) [知识梳理] (x2y2),那么a一√(x2-1)2+(2一y1) [知识点一]平面向量数量积的坐标表示 3.两点间的距离公式：若A(x1,y1),B(x2y2),则 设向量a=(x1,y1),b=(x2y2),则a·b=21x2十 y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘 |AB=√a1-x2)+(y1-y2). 积的和 ·119· 必修第三册 数学B 2思考1.已知a=(1,1),b=(2,3),如何求a十b? [预习自测] 1.已知a=(0,1),b=(2,-1),则a·b等于( 提示：方法一：a十b=(1,1)十(2,3)=(3,4)， A.1 B.-1 ∴.|a+b1=√32+4=5. C.2 D.-2 方法二：a2=12+1=2,b12=22+32=13, 答案：B 2.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余 a·b=1×2+1×3=5. 弦值为 ( ∴.|a+b=√a2+2a·b+b=√2+2X5+13=5. A号 B器 [知识点三]向量的夹角公式 a·b x1x2十y1y2 c-器 n器 cos 0= a b √+y·√a十喝 答案：A 3.已知向量a=(1,2),b=(x4),若|b=2a,则x 2思考2.a·b<0,能说明向量a·b的夹角0是钝 的值为 角吗？ A.4 B.2 C.±4 D.±2 提示：不能.因为a·b<0还包括a、b反向，即a、b 解析：D[b=√22+16，a=√1+4=√5， 夹角是180° √x+16=2√5，解得x=±2.] 课堂 互动学案 对应学生用书P64 题型一 向量数量积的坐标表宗 解：(1)a与b同向，且b=(1,2), [例1]已知向量a=(1,2),b=(3,4),求a·b,(a .可设a=b=A(1,2)=(入，2)，且A>0. b)·(2a+3b). 又由a·b=20,可得1×入+2×2入=20， 汇思路点拨]利用数量积的坐标表示可直接求a 解得入=4>0..a=(4,8). ·b:(a一b)·(2a+3b)可以先展开再求值，地可 (2),b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4, 先分别求a-b及2a十3b的坐标，再求值 .(b·c)·a=4(4,8)=(16,32) [解]（方法一）.a=(1,2),b=(3,4), 题型二 平面向量的模 ∴.a·b=(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11, [例2]已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1). (a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=2a2+a (1)求a-2b及其模的大小： ·b-3b|2=2×(12+22)+11-3×(32+42)= (2)若c=a-(a·b)b,求c -54. (方法二)a=(1,2),b=(3,4),.a·b=11. [思路点拨]利用求模公式求解. .a-b=(1,2)-(3,4)=(-2,-2), [解](1).a=(3,5),b=(-2,1), 2a+3b=2(1,2)+3(3,4)=(2×1+3×3,2×2+3 .a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3), ×4)=(11,16), .|a-2b=√7+32=√58. ∴.(a-b)·(2a+3b)=(-2,-2)·(11,16)=-2 ×11+(-2)×16=-54. (2).a·b=-6+5=-1, 规律方法 ∴.c=a+b=(1,6), (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用公式 ∴.c=√+6=√37. a·b=x1z2十y1y2求解，其关键是求出a,b的坐 规律方法 标.(2)若题中涉及图形，则要充分利用向量终点 求向量a=(.x,y)的模的常见思路及方法 坐标与起点坐标之差求出向量的坐标，再由向量 (1)求模问题一般转化为求模的平方，要灵活应用 坐标求得数量积. 公式a2=|a2=x2十y2,求模时，勿忘记开方 ⊙[变式训练] 1.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=20. (2)a·a=a2=|a2或a=√a=√x+y,此 (1)求向量a的坐标； 性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向 (2)若c=(2,1),求(b·c)·a. 量运算的相互转化. ·120 第八章向量的数量积与三角恒等变换 ◇[变式训练] .CA.CB=(1-2)(5-21)+(7-t0(1-t)=5t 2.(1)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b=5√2， -20t+12=5(t-2)2-8. 则b= ( ) .当t=2时，CA·CB取得最小值，此时OC=(4,2). A.√5B.10 C.5D.25 (2)由(1)知OC=(4,2), (2)已知向量a=（x,y),b=(-1,2),且a+b=(1, 3),则a-2b= ∴.CA=(-3,5),CB=(1,-1), 解析：(1)a=(2,1),.a2=5, CA=√34,1C=2,CA.C3=-3-5=-8. 又a+b=5√2，.(a+b)2=50,即a+2a·b+ ∴.cos∠ACB= CA.CB__4☑ b2=50, CAlCB 17 .5+2×10+b2=50,.b=25,.|b=5 规律方法 (2)由a+b=(1,3),得a=(2,1),∴.a-2b=(4,-3), 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两 .a-2b=√4+(-3)=5. 个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式 答案：(1)C(2)5 求出夹角的余弦值，进而求出夹角。 题型目 两向量的夹角 ⊙[变式训练] 3.已知向量a=e1-e2,b=4e1+3e2,其中e1=(1,0), [例3]已知OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1), e2=(0,1). 设C是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）. (1)试计算a·b及a+b|的值； (1)求使CA·CB取得最小值时的OC: (2)求向量a与b夹角的余弦值. (2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB. 解：(1)a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1) 〔思路点拔丁利用夹角公式直接求解， b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3), [解](1)：点C是直线OP上的一点， .a·b=4×1+3×(-1)=1, .向量OC与OP共线， a+b=√(4+1)+(3-1)7=√25+4=√/29. 设OC=tOP(t∈R),则OC=t(2,1)=(2t,t), (2)设(a,b)=0,由a·b=ab cos0, .CA=0A-0C=(1-2t,7-t0, .".cos 0= a·b 1_2 1ab2×5101 CB=OB-OC=(5-2t,1-t), 随堂。步步夯实 对应学生用书P65 1.若向量a=(x,2),b=(一1,3)，a·b=3,则x= 4.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a十b12=a2+ b12,则m= A.3 R-3C号D.-号 解析：法一a十b=(m+1,3), 又|a+b12=a2+|b12. 解析：A[a·b=-x十6=3，故x=3.] .(m+1)2+32=m2+1+5, 2.已知a=(一√3，-1)，b=(1,√3)，那么a,b的夹角 解得m=-2. 0= ( 法二由a+b2=a2+b12, A若 B等 c DE 得a·b=0,即m十2=0，解得m=-2. 答案：一2 解析：D[cos9=B一5 2×2 号，又因为C[0 5已知点A2,一号)B(合，)，则与向量A同方 ,所以9要] 向的单位向量是 3.已知向量a=(1,√3)，b=(3,m).若向量a,b的夹 角为后，则实数m ) c() ( A.23 B.√3C.0 D.-5 解析：B[,a·b=(1,√3)·(3，m)=3+√3m, 解析：C[与向量店=（昌2)同方向的单位向量是 a=2,lb=√/9+m. A店 cos名号3士3m解得m=8.门 AB (门 2X√9+m ·121 必修第三册 数学B 课后。素养提升 对应学生课时P37 -● 基础过关 6.(多选题)已知向量b与向量a=(1,一2)共线，且b JI CHU GUO GUAN 1.已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a十2b)·(a- |=35,则b= 3b)= A.(-3,6) B.(3,-6) A.10 B.-10 C.(6,-3) D.(-6,3) C.3 D.-3 解析：AB[由题意，设b=a=(入，一2入)（入≠0）， 解析：B[a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以 由于|b=3√5， (a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2= .b=√2+(-2x)7=√5=3√5，，λ=土3，即 -10.] b=(-3,6)或(3，-6).] 2.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0, 则k等于 ( 7.已知a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a十2b) ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 解析：a+2b=(1,5),a·(a+2b)=1×(-1)+5× 解析：D[由已知得a·(2a一b)=2a2-a·b 1=4. =2(4+1)-(-2+k)=0,∴.k=12.] 答案：4 3.若平面向量a=(1,一2)与b的夹角是180°，且b=3 8.(新定义问题)设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量 √5，则b等于 m,n之间的一个运算“☒”为m☒n=(ac-bd,ad+ A.(-3,6) B.(3,-6) bc),若己知p=(1,2),p⑧q=(-4,-3),则g的坐 C.(6,-3) D.(-6,3) 标为 解析：A[由题意，设b=a=(入，-2λ)（入<0）， 解析：设q=(x,y),则p⑧g=(x-2y,y+2x) 则1b=√2+(-2入)2=√5=35， =(-4,-3). 又<0，入=-3，故b=(-3,6).] :2y=-4{2=-2, .g=(-2,1). 4.已知向量a=(0,-2√3)，b=(1,√3)，则向量a在b y+2x=-3,y=1. 方向上的投影数量为 ( 答案：（一2,1） A.5 B.3 9.(多空题)已知向量a=(3,3),b=(一2,5)，则 C.-3 D.-3 cos(a·b〉= ,a在b上的投影的数量 解析：D[向量a在b方向上的投影数量为a:b 为 b 3×(-2)+3×5 言-故选D.] 解析：cos(a,b〉= √32+32√/-2)2+5 5.设a=(1,2),b=(1,m).若a与b的夹角为钝角， 9 3√2·√29 则m的取值范围是 ( ) A.(+∞ 3 3√58 √2·√29 58, c(+ D(,】 a在b上的投影数量： 解析：D[a与b的夹角为钝角，且a与b不 a·cos(a,b)=0:b_3×(-2)+3X5 b √(-2)2+5 反向， 9_9√29 “0s0=gh<0,a·b0, 29 a b √29 1X1+2Xm<0,m<-2.] 答案：2 9√29 29 ·122· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 10.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=10,求： 解：.a=(1,2),b=(-2,-3), (1)向量a的坐标； .c=2a十b=2(1,2)+(-2,-3)=(0,1), 4(2)若c=(2,-1),求(a·c)·b. d=a+mb=(1,2)+m(-2,-3)=(1-2m,2 解：(1)a与b同向，且b=(1,2), 3m), ∴.a=b=(入，2λ)（入>0）. ∴.c·d=0×(1-2m)+1×(2-3m)=2-3m. 又a·b=10,∴.入+4入=10， 又，|cl=1,|d=J(1-2m)+(2-3m)2, ∴.λ=2，∴.a=(2,4). cos46°=cd= c·d 2-3m (2).a·c=2×2+(-1)X4=0, √/(1-2m)2+(2-3m)月 ∴.(a·c)·b=0·b=0. 2 11.已知a=(4,-3),b=(-1,2). (1)求a+b与a一b夹角的余弦值； 化简得5m-8m十3=0，解释m=1或m=景 (2)若(a-b)⊥(2a十b),求实数入的值. 13.已知平面直角坐标系中，A(0,4),B(2,0),P(3,t). 解：(1)a十b=(3,-1),a-b=(5,-5), (1)若A,B,P三点共线，求实数t的值. 设a十b与a-b的夹角为0， (2)若AB⊥BP,求实数t的值. 则cos0=a+b）·(a-b)-15十5=25 a+ba-b√/10X√/5o5 (3)若∠BAP是锐角，求实数t的取值范围. 解：(1)A,B,P三点共线，AB∥BP a+b与a一b夹角的余弦值为25 5 AB=(2,-4),BP=(1,t),.2t+4=0,t= (2).(a-b)⊥(2a+b), -2. ∴.(a-b)·(2a十b)=0, (2):A店1B萨，Ai,B萨-2-41=04= ∴.2a2+(1-2入)a·b-b2=0, (3)若∠BAP是锐角，则AB·AP>0,且AB,AP .a2=25,b=5,a·b=-4-6=-10. 不共线。 .50-101-2以)-5x=0,解得入三-8 :AB=(2,-4),AP=(3,t-4),.6-4(t-4) 能力提升 >0, NENG LI TI SHENG 12.设a=(1,2),b=(-2,-3),又c=2a+b,d=a+ 且≠-2，解得号，且≠-2 mb,若c与d夹角为45°，求实数m的值. 第2课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 课程标准 素养解读 1.能根据向量的坐标判定两个向量垂直 通过学习向量的数量积表示两向量的垂直，重 2.能根据向量的垂直证明平面几何中的直线垂直 点培养学生数学运算及逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P66 [情境引入] [问题]设a=（z1,y1),b=(x2,y2).如何用向量的 平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的 坐标来表示a⊥b? 表示形式不同，对其运算的表示方式也不同.向量的 坐标表示为我们解决有关向量的线性运算带来了极 提示：a⊥b台a·b=0台1x2十y1y2=0 大方便 ·123·