7.3.1 第3课时 正弦函数的性质与图像(三)（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 （3将虽配方得y=2(+）广 ,-1≤sinx≤1，当sinx=- 时ym= :当sinx 3 =1时，ymax=3. 画教的值域为[号3小 变式训练 1.解析：1：-晋<≤晋， -子≤in≤号0<1+2n≤2，故画数的值城为 [0,2]. (2)因为0x<π，所以0sinx1, 1>≥1，又因为a sin x >0,所以函教fx)=中=1十有最小值而无 sin x 最大值，故选B. 答案：(1)D(2)B [例2][解析]D[.sin2=sin(x-2,cos1= 血（经-）且(x-2)-(受-）=受-1>0， 受>x-2> 2 -1>0, ∴sinx-2)>sin(受-l）即sn2>cos1.] 变式训练 2.解：，sin(-320)=sin(-360°+40)=sin40°， sin700°=sin(720°-20)=sin(-20) 又高教y=n上在[受，受]上是增画数， .sin40>sin(-20), .sin(-320)>sin700°. [例3][解](1)：ymax=1一a, ∴.a0, 故ymin=1十a=-3,∴.a=-4, ..y=-4sin z+1. (②)当受+2≤<受+26x,6∈Z时. 函数y=-4sinx+1递增， .y=-4sinx十1的递增区间为 [受+2，+2kxkz. (8z[-,1[臣+2x警+2x小水ezn[- 闲-【-][登] 即当x∈[-π，x]时，y=-4sinx十1的递增区间为 ]学刘 变式训练 3.解：令t=sinx,则原函数由y=log2t,t=sinx复合而成， 由复合函数的单调性可知，y=log2sinx的单调递增区间 为(2x,2kx+吾](k∈Z》. 随堂步步夯实 1.B[1-2a=sin2x, .sinx∈[-1,1]， .sin2x∈[0,1]， .0≤1-2a≤1， 即0<a≤分] ·9 数学B 2.D 3.C[,sin168°=sin(180°-12)=sin12°， cos10°=sin(90°-10)=sin80. ∴.由正弦函数的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°， 即sin11<sin168°<cos10°.] 4,解析：当x=-交十2kx,k∈乙时，(sinx)mn=-1,此时 2 ymax =5. 答案：-受+2kx,k∈Z5 5.解：设t=sinx,则t≤1， f(.x)=g(t)=t2-4t+5(-1≤t≤1)， g(t)=t2-4t十5的对称轴为t=2. 因为g(t)的图像开口向上， 对称轴t=2在区间[一1,1]右侧 所以g(t)在[一1,1]上是单调递减的， 所以g(t)max=g(-1)=(-1)2-4×(-1)+5=10, g(t)mim=g(1)=12-4×1+5=2, 即g(t)∈[2,10]. 所以函数f(x)的值域为[2,10]. 第3课时正弦函数的性质与图像（三） 课前预习学案 情境引入 提示细沙在木板上形成的曲线是正弦型函数的曲线， 知识梳理 知识点 2受1受，-1D [思考] 1.提示：(1)图像与x轴的交点：(0,0)，（元，0），(2π，0) （2)图像上的最高点（经1）和最低点（受-） 2.提示：(1)图像与x轴的交点：(0,0)，（π，0），(2π，0)： （2)图像上的最商点（受1和最低点（受，-） 3.提示：作正弦函数y=2十sinx,x∈[0,2π]的图像时，起 关键作用的点有以下五个： 0,2.(号80.20.10.22. 预习自测 1.B[根据正弦曲线的作法可知函数y=sinx,x∈[0,2π]与 y=sinx,x∈[2x,4π]的图像只是位置不同，形状相同.] 2.B 3.(0,0) (受1(,0》(受-1（2x,0 课堂互动学案 [例1][解析] 按五个关键点列表： 3π 9 2π sin x 0 1 0 -1 0 sin x-l 0 -2 -1 描，点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. y 0 2T -2 8 变式训练 1.解：找五个关键点列表： 0 π 3π 2π 2 2 sin x 0 1 0 0 1+2sin x 2 3 一1 在直角坐标系中描出五点(0,1)，（受3(，1）， (受，-1）2,1D,然后用光滑尚线顺次连接起来，藏得 到y=1+2sinx,x∈[0,2π]的图像. 3 2 0 [例2][解析](1)由2sin2r>1得sin2r≥2.把2x当 作整体t,画，y=sint的图像！ ↑y 一 2 3my=号 2 在[0,2]内，满足sin≥号有吾<1<晋。 1 所以<2x< 6 故在实数集R上2x满足 吾+x≤2≤要+20e五. 即是十km≤<晋+xk∈。 所以定义找为{x晋十k≤≤+x,∈Z (2)根据函数表达式可得 (sinx≥0， →2kr≤≤2kx十π(k∈Z), 025-x2≥0，{-5≤x≤5. 在数轴上表示如图所示. -2m-5-052m 由图示可得，函数定义域[-5，-π]U[0,x]. 变式训练 2.解：作出正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像，如图所 示，由国像可以得到满足条件的x的象合为[晋十2kx,爱 十2kπ]，k∈Z. Ay 1y=sinx,x∈[0,2m 5π 3 T 2π 6 2 6 -1 [例3][解]用五点法画出函数y=1+sinx,x∈[0,2π] 的图像，如图所示. ↑y 0 3π2m ·9 参考答案 (1)由图像可知，当x∈(0，π)时，y>1:当x∈（π，2π） 时，0<y<1. (2)在平面直角坐标系中作出直线y=号，如因所示，可知 此直线与函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的图像有两个 交点 变式训练 3.解：由图像易知(1)当a= 士1时，y=a与函数图像 只有一个交点」 (2)当a∈(0,1)U(-1, 0 3π /2m 0)时，y=a与函数图像有 两个交，点 随堂步步夯实 1.C[由正弦曲线知，①④正确.] 2.B[y=sin(-x)=-sinx,y=-sinx与y=sinx的图 像关于x轴对称，故选B.] 3.B[所描出的五，点的横坐标与函数y=sinx的五点的横 坐标相同，即0，受x,受，2，故选B.] 4.解析：由正弦函数的图像，知当x∈[0,2π]时，sinx∈[ 1,1],要使得方程sinx=4m十1在x∈[0,2x]上有解，则 -1<4m+1长1，故-3≤m<0, 答案[-小 5.解：首先作出y=sinx在[0,2x]上的图像，如图所示，作 直线y=了，根据特殊角的正弦位，可知孩直钱与y=sm x,t[0,2x]的交点被坐标为吾和否 6 3 ---y= 2-y= 2π 2π5T 36 作直线y号，该直线与y=sin心，x∈[0,2]的交点横坐 标为行和 观察图像可知，在[0,2]上，当晋<≤晋或行≤r<号 时，不等式<nC成立. 2 所以 <sinr≤5的解集为 {后+2kx≤晋+2，kez 或停+x≤<晋+xeZ 7.3.2正弦型函数的性质与图像 第1课时正弦型函数的性质与图像（一） 课前预习学案 情境引入 提示：因简车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用 三角函数模型刻画它的运动规律， 知识梳理 知识点一、RRRR[-|A|,A][-1,1][-1, 1][-A,A门2x第七章三角函数 题型三 正弦函数的单调性及应用 规律方法 1.求形如y=asin a十b的三角函数的单调区间. [例3]函数y=asin x十1的最大值为1一a,最小值 当a>0时，其单调区间与y=sinx的单调区 为-3. 间相同，当a<0时，其单调区间与y=sinx的 (1)求实数a的值： 单调区间相反. (2)求该函数的单调递增区间； 2.求复合函数单调区间的方法是“同增异减”原 (3)若x∈[一元，π]，求该函数的递增区间. 则，但要注意函数的定义域 [思路点拨]依题意区分a>0还是a<0,利用 ◇[变式训练] 正弦函数的单调性求解. 3.求y=log2sinx的单调递增区间. 随堂。步步夯实 1.已知sin2x+2a-1=0,则a的取值范围是( 4.已知函数y=-3sinx十2，当x= 时，y有 A.[0,1] [o,2] 最大值等于 5.求函数f(x)=sinx-4sinx+5的值域， c.(0.) D.(0,1) 2.y=2sinx-3,x∈R的减区间为 A{受+2x≤≤+2kxk∈Z {音+2张≤≤受+2，kez☑ C[-受+2k,登+2x小，kez D[臣+2，+2x]k∈7 3.下列关系式中正确的是 A.sin11°<cos10°<sin1689 ©温馨提 B.sin168°<sin11°<cos10 学习至此，请完成配套训练 C.sin11°<sin168°<cos10 D.sin168°<cos10°<sim11° 第3课时 正弦函数的性质与图像（三） 课程标准 素养解读 1.了解利用单位圆作正弦函数图像的方法，会用“五点法” 1.通过“五点法”作函数图像培养学生数学直观 素养 画正弦函数的图像 2.会用正弦函数的图像解简单问题 2.根据正弦函数的图像的简单应用提升逻辑推 理和数学抽象素养 课前。预习学案 [情境引入] [问题] 图中细沙形成的曲线是什么曲线类型？ 如图所示，装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙 子落在与单摆运动方向垂直的运动木板上的曲线 轨迹. ·29· 必修第三册 数学B [知识梳理] ?思考1.按照在y=sinx的图像上的位置不同， [知识点]正弦曲线 “五点法”作图中的五个点可分为哪两类？ (1)正弦曲线 正弦函数y=sinx,x∈R的图像叫正弦曲线 yy=sinx,x∈R 2.按照在y=sinx的图像上的位置不同，“五点法” 作图中的五个点可分为哪两类？ (2)正弦函数图像的画法. ①几何法： (1)利用正弦线画出y=sinx,x∈[0,2x]的 图像； 3.在作y=2十sinx的图像时，应抓住哪些关键点？ y=sinx,x∈[0,2m] 3下 (ⅱ)将图像向左、向右平行移动（每次2π个单位 长度). 汇预习自测] ②“五点法”： 1.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx,x∈[0， (1)画出正弦曲线在[0,2π]上的图像的五个关键 2π]与y=sinx,x∈[2π，4π]的图像 点(0,0)， ,(x,0),(2π，0)，用光 A.重合 B.形状相同，位置不同 滑的曲线连接； C.关于y轴对称D.形状不同，位置不同 (ⅱ)将所得图像向左、向右平行移动（每次2π个 2.用“五点法”作y=2sin2x的图像时，首先描出的五 单位长度) 个点的横坐标是 (3)定义域：R;值域：[-1,1]. 3 (4)本质：正弦曲线是正弦函数的图形表示，是正弦函 A.0,受x,22示 R0年号 数的一种直观表示. C.0,元，2元，3元，4元 (5)应用：根据正弦曲线，能帮助学生更直观地认识正 D0,吾景受 弦函数，进而根据正弦曲线，推导正弦函数的一些 3.作函数y=sinx,x∈[0,2π]图像的五个关键点 常用性质 课堂。互动学案 题型一“五点法”作正、余弦函数的图像 规律方法 作形如y=asin x十b,x∈[0,2π]的图像的三个步骤 [例1]用“五点法”作出下列函数的简图： 列表 在0,2π]内先分别找出确定所求函数图象的五 y=sinx-1,x∈[0,2π]. 个关键点；在表中列出相应的五点的坐标 [思路点拨]在作形如y=asin x十b,x∈[0,2x 描点 根据所列出的五个关键点的坐标，在坐标系中描 出阳应的点 的图像时，可由五点法作出，注意正确写出五个关 键点的坐标 连线 用平滑的曲线将所描出的五个关键点连接起来， 就得到所求函数的图象 ◇[变式训练] 1.用“五点法”作出函数y=1十2sinz,x∈[0,2x]的 图像. ·30· 第七章三角函数 题型二】 利用正弦函数图像解不等式 题型写 正弦函数图像的简单应用 [例2]求下列函数的定义域： [例3]画出函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的图像. (1)y=√/2sin2.x-1; (1)试写出y>1及y<1的自变量的取值范围： (2)y=√sinz+√J25-x (2)判断其函数图像与直线y的交点个数。 汇思路点拔了先画出图像，根据图像解不等式. [思路点拔]先用五点法作出函数的图像，结合 图徐分析不等式的解美：再面出直线y=多的图 像，利用图像分析交点个数】 规律方法 利用三角函数图像解sinx>a(或cosx>a)的三 规律方法 个步骤 方程根（或个数）的两种判断方法 (1)作出直线y=a,y=sinx(或y=cosx)的 (1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数. 图像 (2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数， (2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值， 作出函数的图像，利用对应函数的图像，观察 (3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集. 与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有 注意：解三角不等式sinx>a,如是不限定范围 几个根； 时，一般先用图像求出[0,2π]范围内x的取值范 ②转化为两个函数，分别作这两个函数的图 围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等， 像，观察交点个数，有几个交点原方程就有几 写出原不等式的解集 个根 ◇[变式训练] ◇[变式训练] 2.利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件 3.已知直线y=a,函数y=sinx,x∈[0,2π]，试探求 的x的集合 以下问题， sinx≥2 1 (1)当a为何值时，直线y=a与函数y=sinx的图 像只有一个交点？ (2)当a为何值时，直线与函数图像有两个交点？ ·31· 必修第三册 数学B 随堂。步步夯实 1.对于正弦函数的图像，有以下四个说法： 4.若方程sinx=4m十1在x∈[0,2x]上有解，则实数 ①关于原点对称；②关于x轴对称； m的取值范围是 ③关于y轴对称；④有无数条对称轴. 其中正确的是 ( 3利用正孩脑线，求清足号加停的的华合。 A.①②B.①③ C.①④ D.②③ 2.函数y=sin(-x),x∈[0,2x]的简图是 ( y 3.用“五点法”画函数y=2一3sinx的图像时，首先应 描出五点的横坐标是 A.0,元，元3x 4’2’4,π C.0,元，2元，3x,4π ©温馨提 n0,晋晋受 学习至此，请完成配套训练 7.3.2 正弦型函数的性质与图像 第1课时 正弦型函数的性质与图像（一） 课程标准 素养解读 1.理解y=Asin(awx十9)中w、p、A对图像的影响 1.通过学习y=Asin(wx十9)的图像，培养学生 2.掌握y=sinx与y=Asin(wx十o)图像间的变换关系， 数学抽象和直观想象素养 并能正确地指出其变换步骤 2.通过对三角函数的图像变换，提升逻辑推理 3.掌握y=Asin(awz十9)的图像画法 素养 课前。预习学案 [情境引入] 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其 水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型 经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科 来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时 学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工 间的关系吗？ 作原理如图 ·32·