7.3.1 第3课时 正弦函数的性质与图像(三)（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 13.用“五点法”作出函数y=1一2sinx,x∈[-元，元]的 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图： 简图，并回答下列问题： (1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的 区间. ①y>1;②y<1. y=1-2sinx,x∈[T,T] (2)若直线y=a与y=1-2sinx,x∈[-元，π]的 图像有两个交点，求a的取值范围. (1)由图像可知，图像在直线y=1上方部分时y >1,在直线y=1下方部分时y<1, 解：列表如下： 所以①当x∈(-元，0)时，y>1;②当x∈(0，元) 元 时，y<1. 2 0 2 个 (2)如图所示，当直线y=a与y=1一2sinx, sin x 0 一1 0 0 x∈[一π，π]的图像有两个交点时，1<a<3或一1 a<1, 1-2sin x 3 所以a的取值范围是(-1,1)U(1,3). 第3课时 正弦函数的性质与图像（三） 课程标准 素养解读 1.通过“五点法”作函数图像培养学生数学直观 1.了解利用单位圆作正弦函数图像的方法，会用“五点法” 素养 画正弦函数的图像 2.根据正弦函数的图像的简单应用提升逻辑推 2.会用正弦函数的图像解简单问题 理和数学抽象素养 课前。预习学案 对应学生用书P29 [情境引入] (B) y=sinx,x∈[0,2π] 如图所示，装满细沙的漏 3π 、T 斗在做单摆运动时，沙子落在 与单摆运动方向垂直的运动 木板上的曲线轨迹， (ⅱ)将图像向左、向右平行移动（每次2元个单位 [问题]图中细沙形成的曲 长度) 线是什么曲线类型？ ②“五点法”： 提示 细沙在木板上形成的曲线是正弦型函数的 (1)画出正弦曲线在[0,2π]上的图像的五个关键 曲线 [知识梳理] 点0.0.（号1），，0（受-10(2x,01,用光 [知识点]正弦曲线 滑的曲线连接； (1)正弦曲线 正弦函数y=sinx,x∈R的图像叫正弦曲线. (ⅱ)将所得图像向左、向右平行移动（每次2π个 yy=sinx,x∈R 单位长度). -3π_5m /m (3)定义域：R;值域：[-1,1] -=7- 3-- LπT∠2红5m3 2m7 (4)本质：正弦曲线是正弦函数的图形表示，是正弦函 数的一种直观表示. (2)正弦函数图像的画法. (5)应用：根据正弦曲线，能帮助学生更直观地认识正 ①几何法： 弦函数，进而根据正弦曲线，推导正弦函数的一些 (1)利用正弦线画出y=sinx,x∈[0,2π]的 图像； 常用性质 ·51· 必修第三册 数学B 2思考1.按照在y=sinx的图像上的位置不同， [预习自测] 1.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx,x∈[0， “五点法”作图中的五个点可分为哪两类？ 2π]与y=sinx,x∈[2π，4π]的图像 提示：(1)图像与x轴的交点：(0,0)，（元，0），(2π，0)： A.重合 B.形状相同，位置不同 (2)图像上的最高点（受，1和最低点（红，- C.关于y轴对称D.形状不同，位置不同 解析：B[根据正弦曲线的作法可知函数y=sinx, 2.按照在y=sinx的图像上的位置不同，“五点法” x∈[0,2π]与y=sinx,x∈[2π，4π]的图像只是位 作图中的五个点可分为哪两类？ 置不同，形状相同.] 2.用“五点法”作y=2sin2x的图像时，首先描出的五 提示：(1)图像与x轴的交点：(0,0)，（π，0），(2r,0); 个点的横坐标是 ( ) (2)国像上的最高点（受1和最低点（受，-1月 A.0,受x,2,2m 3 B.0,π，x3 4’24元，π 3.在作y=2十sinx的图像时，应抓住哪些关键点？ C.0,元，2元，3元，4π 提示：作正弦函数y=2+sinx,x∈[0,2π]的图像 答案：B 时，起关键作用的点有以下五个： 3.作函数y=sinx,x∈[0,2π]图像的五个关键点 (0,2),(,3),(元，2)，(3,1)，(2元，2). 答案：(0,0) (元，0) (2π，0) 课堂。互动学案 对应学生用书P30 题型一“五点法”作正、余弦函数的图像 ⊙[变式训练] [例1门用“五点法”作出下列函数的简图： 1.用“五点法”作出函数y=1十2sinx,x∈[0,2π]的 y=sinx-1,x∈[0,2x]. 图像. [思路点拨j在作形如y=asin x十b,xE[0,2x] 解：找五个关键点列表： 的图像时，可由五点法作出，注意正确写出五个关 0 3π 2 2x 键点的坐标 [解析]按五个关键点列表： sin a 0 1 0 -1 0 0 元 1+2sin a 1 3 1 2 2 2元 在直角坐标系中描出五点(0,1)，，3（元，1）， sin x 0 1 0 -1 0 〔要，-1,2,1)，然后用光滑曲线腹次连接起 sin 0 1 -2 -1 来，就得到y=1十2sinx,x∈[0,2π]的图像 描，点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示 规律方法 题型二 利用正弦函数图像解不等式 作形如y=asin x+b,x∈[0,2r]的图像的三个步 [例2]求下列函数的定义域： 骤 (1)y=√2sin2.x-1; 列表 在[0,2π]内先分别找出确定所求函数图象的五 (2)y=√sinx+√25-x. 个关键点；在表中列出相应的五点的坐标 [思路点拔]先画出图像，根据图像解不等式， 描点 根据所列出的五个关键点的坐标，在坐标系中描 出相应的点 [解析]1)由2sn2≥1得sin2≥分把2x当 连线 用平滑的曲线将所描出的五个关键点连接起来， 作整体t,画y=sint的图像. 就得到所求函数的图象 52· 第七章三角函数 题型 正弦函数图像的简单应用 y= 0 13m5π17 7m47 [例3]画出函数y=1十sinx,x∈[0,2π]的图像. 6 6 26 (1)试写出y>1及y<1的自变量的取值范围； 在[0,2]内，满足sin≥号有看≤<警， 6 (2)判断其函数图像与直线y=号的交点个数。 所以晋≤2x≤爱 思路点拨]先用五点法作出函数的图像，结合 故在实数集R上2x满足 图像分析不等式的解集：再面出直线y=号的图 +2x2<号+2k,6Z 6 像，利用图像分析交点个数， 即音十≤≤瓷十，C五， [解]用五点法画出函数y=1十sinx,x∈[0,2π] 的图像，如图所示 所以定义域为{x 音十x≤x≤受+6x,6cZ. y 2 (2)根据函数表达式可得 (sinx≥0， 2kπ≤x≤2kπ十π(k∈Z), 0 125-x2≥0， -5≤x≤5 (1)由图像可知，当x∈(0，元)时，y>1;当x∈（π， 在数轴上表示如图所示， 2x)时，0y<1. 3 2m-5-0 52m (2)在平面直角坐标系中作出直线y= 如图所 由图示可得，函数定义域[一5，一π]U儿0，π]. 示，可知此直线与函数y=1十sinx,x∈[0,2π]的 规律方法 图像有两个交点. 利用三角函数图像解sinx>a(或cosx>a)的三 规律方法 个步骤 方程根（或个数）的两种判断方法 (1)作出直线y=a,y=sinx(或y=cosx)的 (1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数. 图像 (2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数， (2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值. 作出函数的图像，利用对应函数的图像，观察 (3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集. 与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有 注意：解三角不等式sinx>a,如是不限定范围 几个根； 时，一般先用图像求出[0,2π]范围内x的取值范 ②转化为两个函数，分别作这两个函数的图 围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等， 像，观察交点个数，有几个交点原方程就有几 写出原不等式的解集 个根. ◇[变式训练] ◇[变式训练] 2.利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件 3.已知直线y=a,函数y=sinx,x∈[0,2π]，试探求 的x的集合 以下问题 sn公 (1)当a为何值时，直线y=a与函数y=sinx的图 解：作出正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像，如 像只有一个交点？ 图所示，由图像可以得到满足条件的x的集合为 (2)当a为何值时，直线与函数图像有两个交点？ 解：由图像易知(1)当 y [+2k,5+2kx],k∈乙. 6 a=土1时，y=a与函 数图像只有一个交点. 2T y=sinx,x∈[0,2π] 1 (2)当a∈(0,1)U( 1,0)时，y=a与函数 0 2πx 图像有两个交点 ·53· 必修第三册 数学B 随堂。步步夯实 对应学生用书P32 ● 1.对于正弦函数的图像，有以下四个说法： 解析：由正弦函数的图像，知当x∈[0,2r]时，sinx ①关于原点对称；②关于x轴对称； ∈[-1,1]，要使得方程sinx=4m+1在x∈[0， ③关于y轴对称；④有无数条对称轴， 其中正确的是 ( 2]上有解，则-1≤m+1≤1，故合≤m≤0， A.①② B.①③ C.①④ D.②③ 解析：C[由正弦曲线知，①④正确.] 答案：【-20] 2.函数y=sin(-x),x∈[0,2x]的简图是 ( 5.利用正弦曲线，求满是}<m<号的工的巢合。 解：首先作出y=sinx在[0,2π]上的图像，如图所 示，作立钱y=弓根据特殊商的正弦位，可知被直 线与y=sin,x∈[0,2x]的交点横坐标为交和5x 6 6 6 解析：B[y=sin(-x)=一sinx,y=-sinx与y =sinx的图像关于x轴对称，故选B.] 3.用“五点法”画函数y=2一3sinx的图像时，首先应 作直线y=」 ，该直线与y=sinx,x∈[0,2x]的交 描出五点的横坐标是 ( A0受要 点横坐标为管和 3 0,2x 观察图像可知，在[02x]上，当音<≤号或行≤ 6 C.0,元，2元，3元，4π <晋时，不等式<训≤停成立 n0晋亭2号 所以 1 <sin≤5的解集为 2 解析：B[所描出的五，点的横坐标与函数y=sinx 的五点的横坐标相同，即0，受x,受2，故选B.] { +2kπ<x≤交+2kπ，k∈Z 3 4.若方程sinx=4m十1在x∈[0,2x]上有解，则实数 成得+2≤r<+2,6Z 6 m的取值范围是 课后。素养提升 对应学生课时P19 基础过关 2.函数y=4sinx,x∈[-π，π]的单调性是( JI CHU GUO GUAN A.在[-元，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 1.函数y=sinx的一个单调增区间是 ( ) B(年) B在[一，]上是增函数，在[一，]和 c.( D(竖2x [受小上都是减函数 解析：C[由y=sinx图像易得函数单调递增区 C.在[0，x]上是增函数，在[-x,0]上是减函数. 间[6x十受1，∈Z吉=1时，得(，）为 D.在[受]与[，]上是增函数，在 =sinx的单调递增区间.] (受·)是减函数 ·54· 第七章三角函数 解析：B[由函数y=4sinx,x∈[-元，元]的图像可 7.函数y=-3si㎡x十9simx十：的最大值 知，该画数在【受]上是增西数，在 为 解析：令t=sinx,则t∈[-1,1]. [-,一]和[受上是减画数.] 故y=-3+9+--3(-)】 +8在t∈[ 3.函数y=2m的单调增区间是 1,1]上递增. A.[2kx-2kr+]k∈) 故当t=1,即sinx=1时函数取得最大值，即 ymax B[2x+营2x+]水e C.[2kπ-π，2kπ](k∈Z) D.[2kπ，2kπ十π](k∈Z) 答案竿 解析：A[函数y=2为增函数，因此求函数y= 8.将sin1,sin2,sin3,sin4按由大到小的顺序排列 2mr的单调增区间即求函数y=sin2x的单调增 为 解析：，sin2=sin(π-2)，sin3=sin(x-3),且0 区间.] 4.点M(受，一m在函数y=sinx的图像上，则m <x-3×1<x-2<受 等于 画教y=sinx在[0，受]上单调递增，且sin40, A.0 B.1 C.-1 D.2 .'sin (-2)>sin 1>sin (-3)>0, 解析：C[由题意一m=sin ，所以-m=1,所以 Ep sin 2>sin 1>sin 3>sin 4. 答案：sin2>sin1>sin3>sin4 m=-1.] 9.(多空题)函数y=√一2sinx的定义域是 单调递减区间是 5,函数y=一3sim(2x一君)的单调递增区间是 解析：由-2sinx≥0，得sina≤0， .2kπ一π≤x≤2kπ(k∈Z), 即函数的定义域是[2kπ一元，2kπ](k∈Z). A[kx+斧kx+]∈7刀 :y=√一2sinx与y=sinx的单调性相反， B[kx-吾x+]k∈Z “函数的单调递减区间为[2kx一受，2kx]小k∈Z》, C[2x+,2x+]∈) 答案：[2k-,2x]∈D[2km-2kx∈ 10.求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并 D.[2kx-吾2x+号]k∈Z刀 求出函数的最大值和最小值. 解析：A[令2x十受≤2x-吾<2x+经，解得 (1)y=2sin x-1:(2)y=-sin sin+ 3 x十音<x十要人∈乙故选A] 解：(1)由-1≤sinx≤1知，当x=2次x+受（传∈ Z)时，函数y=2sinx-1取得最大值，ymx=1: 6.(多选题)已知函数f(x)=2 sin wx(w>0)在区间 [一否，]上的最小值是一2，则。的值可以等于 当2=2x十(k∈Z)时，画数y=2snx-1取 得最小值，ymm=一3. ( 、2 A. 2y-i+ain+--（n罗 B.2 C.2 D.3 4 因为-1≤sina≤1， 解析：BCD[由题意知 T= 2π 解得≥是] 所以当6mE-号，即=26x十至成：=2x 3元 2 4 4 ·55· 必修第三册 数学B (k∈Z)时，函数取得最大值，ym= 5 使y (一)>0且单洞减的区间.为此， sin 当inx=-1即x=2十受（∈刀时，函数取 x滴足：2x+≤ 3 <2kπ十元，k∈Z. 得最小位yn=一子-巨 整理得4坂x十西<<4hx+8红，k∈乙 3 11.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： ∴.函数y=log号sin 元 的增区间为 asim()与sin（): (2)sin196与cos156°. 13.设函数f(x)=2sin2x-4 a∈R. asn(爵)Psn() (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)sin196°=sin(180°+16°)=-sin16°， (2②)求函数fx)在区间[管，]上的最小值和最 c0s156°=cos(180°-24)=-c0s24°=-sin66°， 大值，并求出取最值时x的值. 0°<16<66<90°，.sin16°<sin66°； 解析：(D最小正周期T受=x。 从而-sin16>-sin66°，即sin196>cos156. 能力提升 NENG LI TI SHENG 由2x一受≤2x一至<2x+受（∈Z 12.求下列函数的单调增区间： 得m一晋<<k十晋∈7 (1)y=1-sin “递增区间是[x一营x+5]∈7)， (2)令1=2x-至，则由g≤≤可得0<≤平， 解：1)由2kx+受<号<26x ,k∈Z, 3 得4k元十π≤x≤4kπ十3π，k∈Z 当=平，即-要时-（号） -1, ∴y=1-sin号的增区间为[kr十，4kx十3x],k∈Z 当1=受，即管时ym=厄1=E (2)要求函数y=log号sin 管一)的增区同，即求 7.3.2 正弦型函数的性质与图像 第1课时 正弦型函数的性质与图像（一） 课程标准 素养解读 L.理解y=Asin(awz十p)中w、p、A对图像的影响 1.通过学习y=Asin(wx十9)的图像，培养学生 2.掌握y=sinx与y=Asin(awz十p)图像间的变换关系， 数学抽象和直观想象素养 并能正确地指出其变换步骤 2.通过对三角函数的图像变换，提升逻辑推理 3.掌握y=Asin(wz十p)的图像画法 素养 课前。预习学案 对应学生用书P32 [情境引入] 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其 经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科 学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工 作原理如图. ·56·