7.3.1 第2课时 正弦函数的性质与图像(二)（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 第2课时正弦函数的性质与图像（二） 课程标准 素养解读 1.掌握y=sinx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和 三角函数的性质是高考必考内容，通 最值 过应用，提升学生逻辑推理和数学运 2.掌握y=sinx的单调性，并能利用单调性比较大小 算素养 3.会求函数y=Asin(awz十9)的单调区间 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.用正弦的周期性考查它们的单调性和最 生活中许多美好的事物都有 对称性，如漂亮的蝴蝶，它停飞展 值，你有何发现？ 翅就是一幅异常美丽的对称 图案. 数学中的对称美也比比皆是，如 圆、等腰三角形、正方形、球、圆 2.从图像的变化趋势来看，正弦函数的最大值、最小 柱、正方体等 正弦函数、余弦函数的图像也很美，它们有怎样的对 值点分别处在什么位置？ 称性？除此之外还有哪些性质呢？ 3.正孩函数在[-受，受]上函数值的变化有什么特 2 [知识梳理] 点？推广到整个定义域呢？ [知识点]正弦函数的性质 图售身胶奋 数 性质分类 称 y=sin x 相 定义域 及 同 值域 [-1,1] 处 周期性 最小正周期为2元 [预习自测] 图像 1.函数y=2sin(x十2)的最大值是 A.-2 B.2 奇偶性 奇函数 C.2sin 2 D.-2sin 2 不 2.下列函数，在[受x]上是增函数的是 处 在 上递增：在 单调性 1 上递减 A.y=sin B.y=sin 2 C.y=sin 22 D.y=-sin x r= 最值 时，ymax=1;x 3.y=asin z+b(a>0)的最大值为3，最小值为-1， 时，ymin=一1 则ab= ·27· 必修第三册 数学B 课堂。互动学案 题型一 正弦函数的值域 题型二 比较三角函数值的天小 [例1]求下列函数的值域： [例2] 下列不等式中成立的是 (1)y=2sinx-1;(2)y= sin x-2 sin +1 A.sin )>sn() (3)求函数y=2sin2x十2sinx-1的值域 B.sin 3sin 2 [思路点拔了依正弦函数的定义域、值城求解. D.sin 2>cos 1 汇思路点拨]把角化到同一单调区间，利用正弦 函数的单调性比较， 规律方法 比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导 公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利 用函数的单调性比较 (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，先应利 用诱导公式五、六将名称化为一致.然后再利 用正、余弦函数的单调性进行比较，当角不在 同一个单调区间时，再利用诱导公式一一四将 规律方法 角转化为同一单调区间内.对于正弦函数， L.求解形如y=asin x+b的函数的最值或值域 般将两个角转化到[一 ，1或[受，]内， 问题，利用正、余弦函数的有界性（一1≤sinx 对于余弦函数，一般将两个角转化到[一元，0] ≤1)求解，此时有一|a+b≤y≤|a十b. 或[0，r]内. 2.求形如y=asin2x+bsin x十c,a≠0，x∈R的函 ◇[变式训练] 数的值域或最值时，可以通过换元，令t=sinx,将 2.比较下列各组数的大小. 原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法 sin(-320°)与sin700°. 求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的 有界性。 3求形如y≠0的面数的贫城.司 以用分离常量法求解，也可以反解出y,利用正 弦函数的有界性建立关于y的不等式求解. ◇[变式训练] 1.(1)函数y=1+2sin,x∈【-若，]的值域为 A.[-1,1] B.[0,1] a D.[0,2] (2)设a>0,对于函数f(x)=in+a(0<x<), sin x 下列结论正确的是 ( A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 ·28· 第七章三角函数 题型三 正弦函数的单调性及应用 规律方法 1.求形如y=asin a十b的三角函数的单调区间. [例3]函数y=asin x十1的最大值为1一a,最小值 当a>0时，其单调区间与y=sinx的单调区 为-3. 间相同，当a<0时，其单调区间与y=sinx的 (1)求实数a的值： 单调区间相反. (2)求该函数的单调递增区间； 2.求复合函数单调区间的方法是“同增异减”原 (3)若x∈[一元，π]，求该函数的递增区间. 则，但要注意函数的定义域 [思路点拨]依题意区分a>0还是a<0,利用 ◇[变式训练] 正弦函数的单调性求解. 3.求y=log2sinx的单调递增区间. 随堂。步步夯实 1.已知sin2x+2a-1=0,则a的取值范围是( 4.已知函数y=-3sinx十2，当x= 时，y有 A.[0,1] [o,2] 最大值等于 5.求函数f(x)=sinx-4sinx+5的值域， c.(0.) D.(0,1) 2.y=2sinx-3,x∈R的减区间为 A{受+2x≤≤+2kxk∈Z {音+2张≤≤受+2，kez☑ C[-受+2k,登+2x小，kez D[臣+2，+2x]k∈7 3.下列关系式中正确的是 A.sin11°<cos10°<sin1689 ©温馨提 B.sin168°<sin11°<cos10 学习至此，请完成配套训练 C.sin11°<sin168°<cos10 D.sin168°<cos10°<sim11° 第3课时 正弦函数的性质与图像（三） 课程标准 素养解读 1.了解利用单位圆作正弦函数图像的方法，会用“五点法” 1.通过“五点法”作函数图像培养学生数学直观 素养 画正弦函数的图像 2.会用正弦函数的图像解简单问题 2.根据正弦函数的图像的简单应用提升逻辑推 理和数学抽象素养 课前。预习学案 [情境引入] [问题] 图中细沙形成的曲线是什么曲线类型？ 如图所示，装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙 子落在与单摆运动方向垂直的运动木板上的曲线 轨迹. ·29·(3)y=sin3.x,x∈R, f(-x)=sin[3(-x)]=sin(-3.x)=-sin3.x=-f(x), y=sin3x为奇函数. [例3][解]，f(x)的最小正周期是π， “f受)=f受-2x)=f-吾. :f(x)是R上的偶函数， -吾)-r受)=血晋- 学) 变式训练 3.IB[法-：fx)=厄sin(+至十p)为寺画数，则只需 牙十9=，∈Z,从而9=x-于，k∈Z 显然当=0时，9=一牙满足题意。 法二：因为f(x)是奇画数，所以f(0)=0,即厄sin(T十 9)=0,所以9叶至=，k∈Z,即9=m-至，k∈Z.令友 =0,则9=] (2)解析：fu+受)=-fu),fu+)=fx),即T =受)=f受-2)=-)=f)=1 答案：1 随堂步步夯实 1.A[由于x∈R, f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(z), 所以f(x)为奇函数.] 2.ABC[对于D,x∈(-1,1)时的图像与其他区间图像不 同，不是周期函数.] 3.B[因为f(x)=sin(2x-受)=-sin(受-2x)=-os 2x,所以该函数的最小正周期为元，且为偶函数，故选B.] 4.D[当9=0时，f(x)=sinx在[0，x]上不单调，故A不 正确；当0=2时，f(x)=cosx在[0，x]上单调递减，故B 不正确；当0=π时，f(x)=-sinx在[0，x]上不单调，故 C不正确：当0=时，f(x)=一c0sx在[0，]上单调递 2 增，故D正确.] 5.解：(1)y=sinx,定义域为R. ..f(-z)=sin(-z)=-sinl=sin xl=f(r), y=sinx是偶函数 (2y=a(受+）sin,定又战为R g=cos(受+x）为寺画教。 第2课时正弦函数的性质与图像（二） 课前预习学案 情境引入 提示：它们既是轴对称图形，又是中心对称图形. 知识梳理 知识点 [2kx-2x+]k∈Z)[2x+受 2k+号x]水∈2kx+晋(k∈刀2kx-(k∈z 9 参考答案 [思考] 1.提示：对于正弦函数，任意的两个递增区间相差周期2π 的整数倍，任意的两个递减区间也相差周期2π的整数 倍，取得最大值的任意两个x的值相差周期2π的整数 倍，取得最小值的任意两个x的值相差周期2r的整数 倍.对于余弦函数，也有同样规律， 2.提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐 弯的地方、 3.提示：观察图像可知： y 当x[一受，受]时，曲线逐渐上升，是增画数，sm7的位 由一1增大到1； 当[受，受时，南线运渐下降，是减高，m的值由 1减小到一1. 推广到整个定义域可得 当x∈[-受+2kx,受+2kx]k∈Z)时，正弦函数y=sin x是增函数，函数值由一1增大到1； 当x∈[受十2x,受+2](k∈Z)时，正弦画教y=mx 是减函数，函数值由1减小到一1， 预习自测 1.B2.D 3.解析：，sinx∈[-1,1]，且a>0, 一.部{信22 答案：2 课堂互动学案 [例1][解](1)由-1≤sinx≤1知，y=2sinx-1的值 域为[-3,1]. 2法-y曲青迎 sin x+1 3 -1-sin z+1' .sinx+1∈(0,2]， ÷m+[+） 3 当sinx=1时，ymax=- 1 ,故该函数的值城 为（四，] 法三由需异得m+1y=n一2，牌1 y)sin x=y+2, y+2 显然y≠1，∴.sinx=1-y -1<sinx≤1， -1<+2≤1， 1一y 解得)<一名，即画数的值城为(0，一] 必修第三册 （3将虽配方得y=2(+）广 ,-1≤sinx≤1，当sinx=- 时ym= :当sinx 3 =1时，ymax=3. 画教的值域为[号3小 变式训练 1.解析：1：-晋<≤晋， -子≤in≤号0<1+2n≤2，故画数的值城为 [0,2]. (2)因为0x<π，所以0sinx1, 1>≥1，又因为a sin x >0,所以函教fx)=中=1十有最小值而无 sin x 最大值，故选B. 答案：(1)D(2)B [例2][解析]D[.sin2=sin(x-2,cos1= 血（经-）且(x-2)-(受-）=受-1>0， 受>x-2> 2 -1>0, ∴sinx-2)>sin(受-l）即sn2>cos1.] 变式训练 2.解：，sin(-320)=sin(-360°+40)=sin40°， sin700°=sin(720°-20)=sin(-20) 又高教y=n上在[受，受]上是增画数， .sin40>sin(-20), .sin(-320)>sin700°. [例3][解](1)：ymax=1一a, ∴.a0, 故ymin=1十a=-3,∴.a=-4, ..y=-4sin z+1. (②)当受+2≤<受+26x,6∈Z时. 函数y=-4sinx+1递增， .y=-4sinx十1的递增区间为 [受+2，+2kxkz. (8z[-,1[臣+2x警+2x小水ezn[- 闲-【-][登] 即当x∈[-π，x]时，y=-4sinx十1的递增区间为 ]学刘 变式训练 3.解：令t=sinx,则原函数由y=log2t,t=sinx复合而成， 由复合函数的单调性可知，y=log2sinx的单调递增区间 为(2x,2kx+吾](k∈Z》. 随堂步步夯实 1.B[1-2a=sin2x, .sinx∈[-1,1]， .sin2x∈[0,1]， .0≤1-2a≤1， 即0<a≤分] ·9 数学B 2.D 3.C[,sin168°=sin(180°-12)=sin12°， cos10°=sin(90°-10)=sin80. ∴.由正弦函数的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°， 即sin11<sin168°<cos10°.] 4,解析：当x=-交十2kx,k∈乙时，(sinx)mn=-1,此时 2 ymax =5. 答案：-受+2kx,k∈Z5 5.解：设t=sinx,则t≤1， f(.x)=g(t)=t2-4t+5(-1≤t≤1)， g(t)=t2-4t十5的对称轴为t=2. 因为g(t)的图像开口向上， 对称轴t=2在区间[一1,1]右侧 所以g(t)在[一1,1]上是单调递减的， 所以g(t)max=g(-1)=(-1)2-4×(-1)+5=10, g(t)mim=g(1)=12-4×1+5=2, 即g(t)∈[2,10]. 所以函数f(x)的值域为[2,10]. 第3课时正弦函数的性质与图像（三） 课前预习学案 情境引入 提示细沙在木板上形成的曲线是正弦型函数的曲线， 知识梳理 知识点 2受1受，-1D [思考] 1.提示：(1)图像与x轴的交点：(0,0)，（元，0），(2π，0) （2)图像上的最高点（经1）和最低点（受-） 2.提示：(1)图像与x轴的交点：(0,0)，（π，0），(2π，0)： （2)图像上的最商点（受1和最低点（受，-） 3.提示：作正弦函数y=2十sinx,x∈[0,2π]的图像时，起 关键作用的点有以下五个： 0,2.(号80.20.10.22. 预习自测 1.B[根据正弦曲线的作法可知函数y=sinx,x∈[0,2π]与 y=sinx,x∈[2x,4π]的图像只是位置不同，形状相同.] 2.B 3.(0,0) (受1(,0》(受-1（2x,0 课堂互动学案 [例1][解析] 按五个关键点列表： 3π 9 2π sin x 0 1 0 -1 0 sin x-l 0 -2 -1 描，点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. y 0 2T -2 8