7.3.1 第2课时 正弦函数的性质与图像(二)（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 f(x)的定义域关于原点对称 (2)函数的定义域关于原点对称， 又：f(x)=lg(1-sinx)-lg(1十sinx) .f(-x)=log sin(-x) .'.f(-z)=1g[1-sin(-x)]-1g[1+sin(-z)] =log sin zl=f(x), =lg(1+sin z)-lg(1-sin z)=-f(z). 函数f()是偶函数 f(x)为奇函数. (3):f(x+x)=log sin(x+π)川 (2).1十sinx≠0，.sinx≠-1， =log sin l=f(z), ÷x∈R且x≠2kx-受，k∈Z. ∴函数f(x)是周期函数，且最小正周期是π. 13.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2) ,定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶 ff)≠0). 1 函数 能力提升 (1)求证：函数f(x)是周期函数. NENG LI TI SHENG (2)若f(1)=一5，求f(f(5))的值. 12.已知函数f(x)=log|sinx. 1 (1)求其定义域和值域； 解：(1)证明：，f(x十2)= f(x)' (2)判断其奇偶性； 1 1 ∴.f(x+4)= f(x+2) 1 -=f(x), (3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正 f(z) 周期. f(x)是周期函数，4就是它的一个周期. 解：(1).sinx>0, (2)4是f(x)的一个周期， ∴.sinx≠0，.x≠kr,k∈Z. .f(5)=f(1)=-5, .函数的定义域为{xx≠kπ，k∈Z}. .f(f(5)=f(-5)=f(-1) 0<sinx≤1，.logsin a≥0， -1 -11 ∴.函数的值域为{yy≥0}. f(-1+2)=f1)=5· 第2课时 正弦函数的性质与图像（二） 课程标准 素养解读 1.掌握y=sinx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和 三角函数的性质是高考必考内容，通 最值 过应用，提升学生逻辑推理和数学运 2.掌握y=sinx的单调性，并能利用单调性比较大小 算素养 3.会求函数y=Asin(ωx+p)的单调区间 课前。预习学案 对应学生用书P27 [情境引入] [知识梳理] 生活中许多美好的事物都有 [知识点]正弦函数的性质 对称性，如漂亮的蝴蝶，它停飞展 翅就是一幅异常美丽的对称 名 y=sin x 图案. 数学中的对称美也比比皆是，如 性质分类 圆、等腰三角形、正方形、球、圆柱、正方体等 相 定义域 R 正弦函数、余弦函数的图像也很美，它们有怎样的对 同 值域 [-1,1] 称性？除此之外还有哪些性质呢？ 处 周期性 最小正周期为2π 提示：它们既是轴对称图形，又是中心对称图形. ·45· 必修第三册 数学B 3.正弦函数在[ 工，3π]上函数值的变化有什么特 22 图像 点？推广到整个定义域呢？ 提示：观察图像可知： 奇偶性 奇函数 3 个 同 在[2kx一2+艺]k∈Z)上递增：在 单调性 当x[一三，罗]时，曲线逐渐上升，是增画数， sinx的值由-1增大到1； 当[受受]时，曲线逐新下降，是减画数5n 1=2x+艺(k∈Z)时nx=1:x=2 的值由1减小到一1. 最值 推广到整个定义域可得 吾∈Z)时m=一】 当xE[-受+2km,号十2x]质∈Z)时，正弦函数 y=sinx是增函数，函数值由一1增大到1； ?思考1.用正弦的周期性考查它们的单调性和最 当x[受+2kx,要+2k](k∈7刀时，正孩函载) 值，你有何发现？ =sinx是减函数，函数值由1减小到-1. 提示：对于正弦函数，任意的两个递增区间相差周 [预习自测] 1.函数y=2sin(x+2)的最大值是 期2π的整数倍，任意的两个递减区间也相差周期 A.-2 B.2 C.2sin 2 D.-2sin 2 2π的整数倍，取得最大值的任意两个x的值相差 答案：B 周期2π的整数倍，取得最小值的任意两个x的值 2.下列函数在[受x]小上是增函数的是 相差周期2π的整数倍.对于余弦函数，也有同样 A.y=sin x 1 B.y=sin 规律. C.y=sin 2x D.y=-sin x 2.从图像的变化趋势来看，正弦函数的最大值、最小 答案：D 3.y=asin x+b(a>0)的最大值为3，最小值为-1， 值点分别处在什么位置？ 则ab= 提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于 解析：，sinx∈[-1,1]，且a>0, 图形拐弯的地方。 解号合=2 答案：2 课堂 。互动学案 对应学生用书P28 题型一 正弦函数的值域 .sinx+1∈(0,2]， [例1]求下列函数的值域： (1)y=2sinx-1:(2)y sin x-2 sin1; 当sinx=1时，ymax= 了，故演函数的位城 (3)求函数y=2sinx+2sinx-1的值域， [思路点拔依正弦函数的定义域、值域求解. 为(] [解](1)由-1≤sinx≤1知，y=2sinx-1的值 法二 域为[-3,1]. 由y n于，得(sinx十1Dy=sin-2, sin x-2 (2)-y=sin a-2-sin z+1-3 即(1-y)sinx=y+2, sin z+1 sin 2+1 =1 3 星然≠1，sinx=3 1-y sin +1 .-1<sinx≤1， ·46· 第七章三角函数 -1<+2≤1， 题型二 比较三角函数值的天小 1-y [例2] 下列不等式中成立的是 解得y≤- ,即函数的值域为(-∞，一] A.m(>sn（ B.sin 3>sin 2 .-1≤sinx≤1，当sinx=- 2时y= 受当 D.sin 2>cos 1 sin2=1时，ymux=3. [思路点拨了把角化到同一单调区间，利用正弦 画数的值城为[一号3小 函数的单调性比较. 规律方法 [解析] D ['.'sin 2=sin (x-2),cos 1=sin 1.求解形如y=asin x十b的函数的最值或值域 问题，利用正、余弦函数的有界性（一1≤sinx 且（π一2） (-1小受-1>0>-2>号 ≤1)求解，此时有一a十b≤y≤a+b. -1>0, 2.求形如y=asin2x十bsin x十c,a≠0，x∈R的函 数的值域或最值时，可以通过换元，令t=sinx,将 sin(x-2)>sin（径-1，即sin2>cos1.] 原函数转化为关于1的二次函数，利用配方法 规律方法 求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的 比较三角函数值大小的方法 有界性. (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导 3求形如y一细护c≠0的西数的值减，可 公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利 用函数的单调性比较」 以用分离常量法求解，也可以反解出y,利用正 (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，先应利 弦函数的有界性建立关于y的不等式求解。 用诱导公式五、六将名称化为一致.然后再利 ⊙[变式训练] 用正、余弦函数的单调性进行比较，当角不在 1.1)函数y=1+2sinx,z∈[-若，若]的值域为 同一个单调区间时，再利用诱导公式一~四将 角转化为同一单调区间内.对于正弦函数， ( ) A.[-1,1] B.[0,1] 级将两个角转化到[-受，受]或[受，受]内， 对于余弦函数，一般将两个角转化到[一元，0] D.[0,2] 或[0，x]内 (2)设a>0,对于函数f(x)=sinx十(0<x<元)， ◇[变式训练] sin a 2.比较下列各组数的大小 下列结论正确的是 ( sin(-320)与sin700°， A.有最大值而无最小值 解：.sin(-320)=sin(-360°+40)=sin40°， B.有最小值而无最大值 sin700°=sin(720°-20°)=sin(-20°) C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 又函数y=snx在[一受]上是增函数， 解折：1-晋≤<晋 ∴.sin40>sin(-20°)， .sin(-320)>sin700° -号≤sm≤号，0<1+26in≤2，故a纸的 题型 正弦函数的单调性及应用 [例3]函数y=asin x十1的最大值为1一a,最小值 值域为[0,2] 为-3. 2)因为0<x<元，所以0<$inxD,3 (1)求实数a的值； 因为a>0,所以函教fx）=sin1十a=1十a有 (2)求该函数的单调递增区间； sin x sin x (3)若x∈[一π，π]，求该函数的递增区间 最小值而无最大值，故选B. [思路点拨]依题意区分a>0还是a<0,利用 答案：(1)D(2)B 正弦函数的单调性求解. ·47 必修第三册 数学B [解](1)，ymx=1一a, 规律方法 a<0, 故ymn=1十a=-3,a=-4, 1.求形如y=asin z十b的三角函数的单调区间. ..y=-4sin x+1. 当a>0时，其单调区间与y=sinx的单调区 (2)当受+26≤≤受+26长7时， 间相同，当a<0时，其单调区间与y=sinx的 函数y=-4sinx十1递增， 单调区间相反. .y=一4sinx+1的递增区间为 2.求复合函数单调区间的方法是“同增异减”原 [受+2x,要+2kx]keZ. 则，但要注意函数的定义域. (8):r[-x,[受+2km,受+2]k∈z刀 ◇[变式训练] 3.求y=log2sinx的单调递增区间. n[-,]-【-,受][修] 解：令t=sinx,则原函数由y=log2t,t=sinx复合 即当x∈[-π，r]时，y=一4sinx十1的递增区间 而成，由复合函数的单调性可知，y=log2sinx的单 为[-，][5] 调递增区间为(2kx,2kx+受](k∈Z). 随堂。步步夯实 对应学生用书P29 1.已知sin2x+2a一1=0，则a的取值范围是( 解析：C[.sin168°=sin(180°-12)=sin12°， A.[0,1] B[0,] cos10°=sin(90°-10)=sin80°. .由正弦函数的单调性，得sin11°<sin12°< c.(0.) D.(0,1) sin80°， 解析：B[1-2a=sin'x, 即sin11°<sin168°<cos10°.] ,sinx∈[-1,1]， 4.已知函数y=-3sinx十2，当x=时，y有 ∴.sinx∈[0,1]， 最大值等于 .0≤1-2a≤1， 解析：当x=一受十2k元，k∈7时，(sinx)。=-1, 即0<a≤] 此时ymx=5. 2.y=2sinx-3,x∈R的减区间为 答率：-空+2km,A∈Z5 A{号+2r≤r≤+2m,kez 5.求函数f(x)=sinx-4sinx十5的值域. 解：设t=sinx,则t≤1， B{-+2≤≤号+2m,k∈7 f(x)=g(t)=t2-4t+5(-1≤t≤1)， C.[-+2kx,受+2kx]k∈Z g(t)=t一4t十5的对称轴为t=2. 因为g(t)的图像开口向上， D.[受+2kx,3+2kx]k∈Z 对称轴t=2在区间[一1,1]右侧. 答案：D 所以g(t)在[-1,1]上是单调递减的， 3.下列关系式中正确的是 所以g(t)mx=g(-1)=(-1)2-4×(-1)+5 A.sin11°<cos10°<sin168° =10, B.sin168°<sin11°<cos10 g(t)mm=g(1)=12-4X1+5=2, C.sin11°<sin168°<cos10 即g(t)∈[2,10]. D.sin168°<cos10°<sin119 所以函数f(x)的值域为[2,10]. ·48· 第七章三角函数 课后。素养提升 对应学生课时P17 --● 基础过关 解析：D[由y=sinx与y=一sinx的图像关于 JI CHU GUO GUAN x轴对称可知选D.] 1.若sinx= 1,且0≤x≤2r,则x ( 5.方程x+sinx=0的根有 A.哥 R妥 A.0个 B.1个 C.0 D.元 C.2个 D.无数个 解析：B[画图观察易知选B.] 解析：B[设f(x)=一x,g（x)=sinx,在同一直 角坐标系中画出f(x)和g(x)的图像，如图所示 2.函数y= 2sin (后一学)的周期、振幅初相分 由图知f(x)和g(x)的图像仅有一个交点，则方程 别是 x十sinx=0仅有一个根. A.4,-2,号 B.8x,-2,号 C42,-号 y=sinx D.8元，2， 解析：D y=-2m(-)-2sim(-: 所以周期T=2红=8元， 6.(多选题)已知sinx= 且x∈[0,2x],则x等于 2 4 振幅A=2,初相9=一 A.晋 B 3.将函数y=sin2x的图像向右平移于个单位，所得 c.晋 号 图像对应的函数是 ( 解析：AB[根据正弦函数的图像，在[0,2π]内， A.奇函数 sin a=- 的解为x=晋或= 5π B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 7如果方程sinx=a在x∈[吾]上有两个不同的 D.非奇非偶函数 解，则实数a的取值范围是 向右平移受个单位 解析：A[y=sin2x 解析：画出y=sinx,x ∈[x]的图像，如图 y=si(2-] sin(2x-x)=-sin(x-2x) 所示。 -sin 22. Y=0 由于一sin(-2x)=sin2x,所以是奇函数.] 09 4函数y=一sn,∈[一受]的简图是（ 当子<a<1时，直线y=a与y=nx,x [晋文于两点， 1≤a<1. 答案：[哈) 8.方程sinx=lgx的解的个数是 解析：用五，点法画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图 像，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y= sinx的图像. 描出点（品一小，10.10,1并用光滑肉线连 接得到y=lgx的图像，如图所示 ·49· 必修第三册 数学B (3)找关键的五个点，列表如下： 元 2下 3m 10x 0 3π 2 2元 由图像可知方程sinx=lgx的解有3个 sin x 0 1 0 0 答案：3 -1+2sin x -1 -1 -3 9.(多空题)函数ysin z一 1 2 的定义域是 描点作图，如图所示」 ,值域是 2 1 1 解析：“sinx-2≥0，即sinx≥2，结合正弦函数 的图像， y=1+2sinx,x∈[0,2π] 得晋+2r≤<晋+2kx,k∈乙. 6 11.函数f(x)=sinx十2sinz|,x∈[0,2x]的图像 y√n一的定义战为 与直线y=k有且仅有两个不同的交点，求实数k 的取值范围. 红l后+2≤≤+2x∈7 解析：由题意知，f(x)=sinx十2sinx, 3sinx,a∈[0，x) 2≤sinx≤1，.0≤sinz 1 1 2 2 -sinx,x∈[元，2π] 0≤y ,即值城为0， 在坐标系中画出函数图像： 2 2 答案：{x 16 +2≤≤+26x6∈} 6 [ 10.用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y=-sinx(0≤x≤2x); (2)y=|sinx,x∈R; 0 2π (3)y=-1+2sinx,x∈[0,2π]. 解：(1)找关键的五个点，列表如下： 由其图像可知当直线y=k,R∈(1,3)时， f(x)=sin 2+2 sin 2 0 3π 2 2元 x∈[0,2π]的图像与直线y=k有且仅有两个不同 的交点，故答案为：(1,3). sin x 0 1 0 0 答案：(1,3) -sin x 0 0 1 0 能力提升 NENG LI TI SHENG 描点作图，如图所示. 12.求函数y0g:sD1的定义域 sin a 解：为使函数有意义，需满足 T3T 2T 1 (log2 sin z 1≥0， 1 即 (sinx≤2 (2)找关键的五个点，列表如下： (sin 2>0, (sin 2>0. 正弦函数图像如图所示， 0 3元 2 2元 y sin x 0 1 0 0 sin x 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移 得到y=sinx,x∈R的图像，如图所示. y “定义为{2k<x≤2π+，k∈Z -2π-3π-π-T0 T3π2 2 U{2x+要≤x<2十kZ. ·50· 第七章三角函数 13.用“五点法”作出函数y=1一2sinx,x∈[-元，元]的 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图： 简图，并回答下列问题： (1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的 区间. ①y>1;②y<1. y=1-2sinx,x∈[T,T] (2)若直线y=a与y=1-2sinx,x∈[-元，π]的 图像有两个交点，求a的取值范围. (1)由图像可知，图像在直线y=1上方部分时y >1,在直线y=1下方部分时y<1, 解：列表如下： 所以①当x∈(-元，0)时，y>1;②当x∈(0，元) 元 时，y<1. 2 0 2 个 (2)如图所示，当直线y=a与y=1一2sinx, sin x 0 一1 0 0 x∈[一π，π]的图像有两个交点时，1<a<3或一1 a<1, 1-2sin x 3 所以a的取值范围是(-1,1)U(1,3). 第3课时 正弦函数的性质与图像（三） 课程标准 素养解读 1.通过“五点法”作函数图像培养学生数学直观 1.了解利用单位圆作正弦函数图像的方法，会用“五点法” 素养 画正弦函数的图像 2.根据正弦函数的图像的简单应用提升逻辑推 2.会用正弦函数的图像解简单问题 理和数学抽象素养 课前。预习学案 对应学生用书P29 [情境引入] (B) y=sinx,x∈[0,2π] 如图所示，装满细沙的漏 3π 、T 斗在做单摆运动时，沙子落在 与单摆运动方向垂直的运动 木板上的曲线轨迹， (ⅱ)将图像向左、向右平行移动（每次2元个单位 [问题]图中细沙形成的曲 长度) 线是什么曲线类型？ ②“五点法”： 提示 细沙在木板上形成的曲线是正弦型函数的 (1)画出正弦曲线在[0,2π]上的图像的五个关键 曲线 [知识梳理] 点0.0.（号1），，0（受-10(2x,01,用光 [知识点]正弦曲线 滑的曲线连接； (1)正弦曲线 正弦函数y=sinx,x∈R的图像叫正弦曲线. (ⅱ)将所得图像向左、向右平行移动（每次2π个 yy=sinx,x∈R 单位长度). -3π_5m /m (3)定义域：R;值域：[-1,1] -=7- 3-- LπT∠2红5m3 2m7 (4)本质：正弦曲线是正弦函数的图形表示，是正弦函 数的一种直观表示. (2)正弦函数图像的画法. (5)应用：根据正弦曲线，能帮助学生更直观地认识正 ①几何法： 弦函数，进而根据正弦曲线，推导正弦函数的一些 (1)利用正弦线画出y=sinx,x∈[0,2π]的 图像； 常用性质 ·51·