7.3.1 第1课时 正弦函数的性质与图像(一)（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 规律方法 ◇[变式训练] 1.诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可 sin(x-a)cos(-a)sin(+a) 通过相加、相减分析两角的关系. 4.已知f(a) cos(π+a)sin(-a) 二看函数名称：一般是弦切互化。 (1)化简f(a); 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方 法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形. (2)若角A是△ABC的内角，且A)-号求nA 2.利用诱导公式解决三角形中有关问题的基本 sinA的值. 方法 利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要 注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本 关系式，还要注意三角形的隐含条件一一三角 形内角和等于180°，以及下面的公式的灵活 运用. 在△ABC中，常用到以下结论： sin(A+B)=sin(-C)=sin C, cos(A+B)=cos(x-C)=-cos C, tan(A+B)=tan(x-C)=-tan C, 、、、3三s之2人S2◆ 22 2 )=cos(- C)-sing 随堂。步步夯实 1.已知cos(a-元)= 3,且。是第四象限角，则 5 4.sin95°+cos175°的值为 sin(-2π+a) ) 5.若sin = 吾，且。是第三象限角，则 A号 c±号 c0sa+2021r 2.若cos(a十元)= 2 则sin(-a 3)一 2 ( 3 A号 B.2 c D.-⑤ N. B.6 3 3.化简sin(a+ )·0sa 3)·tan(牙-a)的结 c D-青 果是 ( ©温馨提 A.1 B.sin'a C.-cos'a D.-1 学习至此，请完成配套训练 7.3三角函数的性质与图像 7.3.1正弦函数的性质与图像 第1课时 正弦函数的性质与图像（一） 课程标准 素养解读 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 通过探索正余弦函数y=sinx的周期性、奇偶 2.掌握函数y=sinx的单调性、奇偶性，会判断简单三角 性，重点提升直观想象、逻辑推理和数学抽象 函数的奇偶性 素养 ·23· 必修第三册 数学B 课前。预习学案 [情境引入] 2思考1.对于函数f(x),如果存在一个非零常数 如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几 T,使得当x取定义域内无数个值时，都有f(x+ 点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟.因为 T)=f(x),那么f(x)是周期函数吗？ 你很清楚，0点、1点、2点、3点…23点，每隔24小 时就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以 后是星期几？你也会回答：还是星期一，因为你很清 2.是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是 楚，星期一、星期二…星期天，每隔7天就重复出现 周期函数，它的周期是否唯一？ 一次.相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如 “24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所 熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象，如日出 3.周期函数都有最小正周期吗？ 日落、月圆月缺、四季交替等.正弦函数、余弦函数是 否有这样的周期性呢？ 继续探究： 4.3π是正弦函数f(x)=sinx的周期吗？为什么？ 观察f(x)的部分图像，思考下列问题： [知识点三] 正弦函数y三sinx的性质 -2-110i234x 名称 y=sin x 性质 (1)观察图形，函数图像每相隔多少个单位重复出现？ sin(x+2kr)=sinx'(k∈Z)结 定义域 (2)由诱导公式一： cos(x+2kπ)=cosx, 值域 合正（余）弦曲线，可以看出正（余）弦函数怎样的特 征？图像变化趋势是怎样的？ 当且仅当 时， 最值 y=sinx的最大值ymmx= 当且仅当 时， y=sinx的最小值ymin= 奇偶性 周期性 最小正周期：2π 上递增； 单调性 上递减 [知识梳理] 零点 [知识点一]正弦函数 对于任意一个角x,都有 确定的 与 ?思考5.函数的奇偶性反映了函数的对称性，请 之对应，因此y=sinx是一个函数，一般称为正弦 写出正弦函数的对称中心与对称轴. 函数. [知识点二]函数的周期性 1.对于函数f(x),如果存在一个 ,使得当 x取定义域内的 值时，都有 ,那 么函数f(x)就叫作周期函数， 叫作这 [预习自测] 个函数的周期. 1.若函数f(x)=sin wx(w>0)的周期为元，则w 2.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 2.函数f(x)=1十sinx的最小正周期是 ( ,那么这个 叫作f(x)的最小正 周期。 A.号 B.元 c D.2x 3.正弦函数、余弦函数都是周期函数， 都 是它们的周期，最小正周期为 3.函数y方m为 函数（填奇或偶）. ·24· 第七章三角函数 课堂。互动学案 题型一 正弦函数的周期性 题型三 正弦函数的奇偶性 [例1]求下列函数的周期： [例2]判断下列函数的奇偶性： (1y=2sin(管-若)：(2)y=sinx. (1)f(x)=√2sin2x; [思路点拨](1)可用定义法或公式法求周期， (2)f(x)=sin32+3x 4 2 (2)可用图像法或定义法求解。 [思路点拨]首先求出函数的定义域，在定义域 关于原点对称的前提下，根据f(一x)与f(x)及 一f(x)的关系来判断 规律方法 求三角函数的周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实 数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T. 规律方法 该方法主要适用于抽象函数 (1)判断函数奇偶性的方法步骤为：先求函数的定 (2)公式法：对形如y=Asin(wx+o)和y= 义域，看定义域是否关于原点对称，再根据解析式 Acos(ωx十9)（其中A,w,p是常数，且A≠0， 判断f(x)与f(一x)的关系，并根据奇偶性的定 w>0)的函数，可利用T=2红来求， 义作出判断，对于三角函数，要特别注意诱导公式 的应用 (3)图像法：可画出函数的图像，借助于图像判断 (2)若已知f(x)=Asin(aa十o)(或Acos(o十p)为 函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般 偶函数，则x=0是其对称轴，则f(0)=士A;若 采用此法 已知f(x)=Asin(a.x+p)(或Acos(w.z十p)为奇 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选 函数，则(0,0)是其对称中心，则f(0)=0. 择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前 ◇[变式训练] 要尽可能将函数化为同名同角三角函数. 2.判断下列函数的奇偶性. ◇[变式训练】 (1)y=sinx.x∈(-元，2x); 1.判断等式in(吾+)=s如()是吞成立？ (2)y=sin +1; (3)y=sin 3x. 如果成立，能否说明是函数y=sinx的周期？ ·25· 必修第三册 数学B 题型正弦函数的奇偶性与周期性的应用 规律方法 [例3]定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期 1.利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法 利用函数的周期性，可以把x十nT(n∈Z)的函 函数，若f(x)的最小正周期是元，且当x∈[0，] 数值转化为x的函数值.利用奇偶性，可以找 时，f)=sinx,求f受)的值 到一x与x的函数值的关系，从而可解决求值 问题. 汇思路点拨]根据周期性，把要求角转化到已知 2.判断y=Asin(awz十g)或y=Acos(wz十p)是 角范围中求解. 否具有奇偶性的关键 f)=f5-2)=f(-)=f号). 判断函数y=Asin(aa十)或y=Acos(aa十o)是 否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转 化为y=Asin w(Aaw≠0)或y=Acos wx(Aw≠0) 其中二个 ⊙[变式训练] 3.(1)已知函数f(x)=Esin(x十至十g)是奇函数， 则9的值可以是 A.0 B. C. D.元 (2)函数f(x)为偶函数且f(x+受)=-f(), fξ)=1，则f5)= 随堂⊙步步夯实 1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是 4.函数f(x)=sin(x十)在[0，元]上为增函数，则0的 A.奇函数 值可以是 ( ) B.偶函数 A.0 R受 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 C.元 n受 2.(多选题)下列是定义在R上的四个函数图像的一 5.判断下列函数的奇偶性. 部分，其中是周期函数的是 (1)y=|sin l; y PPPPPPPPP -4-3-2-101234x (2y=co(暨+ -2112 A 6, -3-2613主 0 3.设函数f(x)=sin(2x- )，则f)是 ( A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 C温馨提 D,最小正周期为受的偶函数 学习至此，请完成配套训练 ·26·必修第三册 3.C[因为sima+空)=cosa,os(a一受) 2 -a)= =cos[r+(受-a)]=-sina,an(受 sin(受-a =cosg,所以原式=cosa(-sina)0s8= ms(-a sin a sin a cos2a,选C.] 4.解析：sin95°+cos175°=sin(90°+5°)+cos(180°-5°) c0s5°-c0s5°=0. 答案：0 5.C [sin() ，所以c0sa= 3 后，因为。 3 =-cosa= 是第三象限角，所以sina= ,所以cs(a+2021r） 4 5 2 cas1o10x+a+受）-sma=] 7.3三角函数的性质与图像 7.3.1正弦函数的性质与图像 第1课时正弦函数的性质与图像（一） 课前预习学案 情境引入 (1)提示：每相隔1个单位重复出现. (2)提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出 现，图像发生“周而复始”的变化. 知识梳理 知识点一、唯一正弦sinx 知识点二、L.非零常数T每一个f(x十T)=f(x)非零常 数T2.最小正数最小正数3.2kx(k∈Z,且k≠0)2π 知识点三R[-1,1】x=受+2kx,k∈乙1=警十 2kx,k∈Z-1奇函数[-十2kx,+2kx]k∈Z) [空+2kx,+2x]k∈z)kx,k∈Z [思考] 1.提示：f(x)不是周期函数，因为x应取定义域内每一 个值. 2.提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期 性，则其周期也不一定唯一。 3.提示：①最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y= sin2.x的最小正周期是r,因为y=sin(2x十2π)= sin2(x十π)，即π是使函数值重复出现的自变量x加上 的最小正数，π是对x而言的，而非2x ②并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函 数f(x)=C,任一个正实数都是它的周期，因而不存在最 小正周期. ③特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期 4.提示：不是.，f(x+3π)=sin(x+3π)=sin(x十x+2π)= sin(x+π)=-sinx≠f(x). ,.3π不是f(x)=sinx的周期. 5.提示：正弦函数y=sinx的对称中心为(kπ，0)，(k∈Z), 对称轴为x=号十km(k∈Z). 预习自测 1解析：由同期T-品，得行-好得w=之 答案：2 9 数学B 2.D 3.奇 课堂互动学案 [例1][解](1)方法一： :2sim(管-晋+2x）=2sn(学一若） 即2in[片+6x)-若]-2sm(传-晋) ∴y=2sin(号-)的周期是6元 方法二： :=6,函教y=2in(告一吾)的周期是6m, (2)方法一： 'sin(+x)=-sin zl=Isin zl. .函数y=|sinx的周期是元. 方法二： y=|sinx的图像如图所示. y 2T y=|sinx的周期是元. 变式训练 1.解：n(答+）=sin告=sin(x+吾） =-sin 而sin(）-sim子 上述等式成立. 但不能说明受是y=sin上的周期 理由如下：若5为y=sinx的周期， 3 则对任意实教x都有sm(r+）=sin, 但多=0时，sim(+警）≠imx 所以受不是y=sinx的周期。 [例2][解](1)显然x∈R, f(-x)=√2sin(-2.x)=-√2sin2x=-f(x), f(x)是奇函数 (2)x∈Rf)=sm(+)=-os， f-)=-cos 3(--cos 3x-f(). 4 4 ·画数fx)=in(学十)是偶画数。 变式训练 2.解：(1)y=sinx,x∈(-π，2x), 定义域不关于原点对称， ∴y=sinx,x∈（一元，2x)为非奇非偶函数. (2)y=sinx+1,x∈R, :f(受)=2，f()=0, “f()≠f()f(-)≠-f() 所以y=sinx+1为非奇非偶函数. (3)y=sin3.x,x∈R, f(-x)=sin[3(-x)]=sin(-3.x)=-sin3.x=-f(x), y=sin3x为奇函数. [例3][解]，f(x)的最小正周期是π， “f受)=f受-2x)=f-吾. :f(x)是R上的偶函数， -吾)-r受)=血晋- 学) 变式训练 3.IB[法-：fx)=厄sin(+至十p)为寺画数，则只需 牙十9=，∈Z,从而9=x-于，k∈Z 显然当=0时，9=一牙满足题意。 法二：因为f(x)是奇画数，所以f(0)=0,即厄sin(T十 9)=0,所以9叶至=，k∈Z,即9=m-至，k∈Z.令友 =0,则9=] (2)解析：fu+受)=-fu),fu+)=fx),即T =受)=f受-2)=-)=f)=1 答案：1 随堂步步夯实 1.A[由于x∈R, f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(z), 所以f(x)为奇函数.] 2.ABC[对于D,x∈(-1,1)时的图像与其他区间图像不 同，不是周期函数.] 3.B[因为f(x)=sin(2x-受)=-sin(受-2x)=-os 2x,所以该函数的最小正周期为元，且为偶函数，故选B.] 4.D[当9=0时，f(x)=sinx在[0，x]上不单调，故A不 正确；当0=2时，f(x)=cosx在[0，x]上单调递减，故B 不正确；当0=π时，f(x)=-sinx在[0，x]上不单调，故 C不正确：当0=时，f(x)=一c0sx在[0，]上单调递 2 增，故D正确.] 5.解：(1)y=sinx,定义域为R. ..f(-z)=sin(-z)=-sinl=sin xl=f(r), y=sinx是偶函数 (2y=a(受+）sin,定又战为R g=cos(受+x）为寺画教。 第2课时正弦函数的性质与图像（二） 课前预习学案 情境引入 提示：它们既是轴对称图形，又是中心对称图形. 知识梳理 知识点 [2kx-2x+]k∈Z)[2x+受 2k+号x]水∈2kx+晋(k∈刀2kx-(k∈z 9 参考答案 [思考] 1.提示：对于正弦函数，任意的两个递增区间相差周期2π 的整数倍，任意的两个递减区间也相差周期2π的整数 倍，取得最大值的任意两个x的值相差周期2π的整数 倍，取得最小值的任意两个x的值相差周期2r的整数 倍.对于余弦函数，也有同样规律， 2.提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐 弯的地方、 3.提示：观察图像可知： y 当x[一受，受]时，曲线逐渐上升，是增画数，sm7的位 由一1增大到1； 当[受，受时，南线运渐下降，是减高，m的值由 1减小到一1. 推广到整个定义域可得 当x∈[-受+2kx,受+2kx]k∈Z)时，正弦函数y=sin x是增函数，函数值由一1增大到1； 当x∈[受十2x,受+2](k∈Z)时，正弦画教y=mx 是减函数，函数值由1减小到一1， 预习自测 1.B2.D 3.解析：，sinx∈[-1,1]，且a>0, 一.部{信22 答案：2 课堂互动学案 [例1][解](1)由-1≤sinx≤1知，y=2sinx-1的值 域为[-3,1]. 2法-y曲青迎 sin x+1 3 -1-sin z+1' .sinx+1∈(0,2]， ÷m+[+） 3 当sinx=1时，ymax=- 1 ,故该函数的值城 为（四，] 法三由需异得m+1y=n一2，牌1 y)sin x=y+2, y+2 显然y≠1，∴.sinx=1-y -1<sinx≤1， -1<+2≤1， 1一y 解得)<一名，即画数的值城为(0，一]