7.3.1 第1课时 正弦函数的性质与图像(一)（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 又a为第三象限角，∴.cosa=一√1一sina= 13.是否存在角a,3,且a∈ （受0，x,使 2√6 5· 等式 同时成立 即f(a)的值为2⑤ 5· 3cos(-a)=-/2cos(x+8) 若存在，求出α，3的值；若不存在，说明理由. 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.证明： 解：由条件，得sina=2sin月， ① (√3cosa=√2cosB. ② sin(2π- a)cos(π+a)cos ①2+②2，得sin2a十3cos2a=2, ③ cos(π-a)sin(3x a)sin(--e)sin(+a） 又因为sin2a十cos2a=1, ④ -tan a. 由@得ma=分：即ina=士 21 证明：左边= 4 (-sin a)(-cos a)(-sin a)cos 5x+(受-a] a)[- sinx+a小sin[4红++a] 当a一于时，代入②得c0sg9,又c0,. (-cosa)sin(元 所以月吾，代入①可知符合. sin acos a cos(j]】 当a=一 (-cos a)sin a[-(-sin a)]sin 2+a 时，代入②得ms月9，又E(0 sin'xcos a sin a_ 所以=否，代入①可知不符合。 =一tana=右边，所以原 -cos asin a cos a 式成立 综上所述，存在a=至9=晋满足条件 7.3三角函数的性质与图像 7.3.1 正弦涵数的性质与图像 第1课时 正弦函数的性质与图像（一）》 课程标准 素养解读 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 通过探索正余弦函数y=sinx的周期性、奇偶 2.掌握函数y=sinx的单调性、奇偶性，会判断简单三角 性，重点提升直观想象、逻辑推理和数学抽象 函数的奇偶性 素养 课前。预习学案 对应学生用书P24 [情境引入] 日落、月圆月缺、四季交替等.正弦函数、余弦函数是 如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几 否有这样的周期性呢？ 点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟.因为 继续探究： 你很清楚，0，点、1点、2，点、3，点…23点，每隔24小 观察f(x)的部分图像，思考下列问题： 时就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以 后是星期几？你也会回答：还是星期一，因为你很清 楚，星期一、星期二…星期天，每隔7天就重复出现 34 一次.相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如 “24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所 (1)观察图形，函数图像每相隔多少个单位重复出现？ 熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象，如日出 提示：每相隔1个单位重复出现. ·39· 必修第三册 数学B sin(x+2kπ)=sinx, (2)由诱导公式一： (k∈Z)结 4.3π是正弦函数f(x)=sinx的周期吗？为什么？ (cos(x+2k元)=cosx 提示：不是.，f(x十3r)=sin(x+3π)=sin(x十x 合正（余）弦曲线，可以看出正（余）弦函数怎样的特 +2π)=sin(x十π)=-sinx≠f(x). 征？图像变化趋势是怎样的？ .3π不是f(x)=sinx的周期 提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出 [知识点三] 正弦函数y=sinx的性质 现，图像发生“周而复始”的变化 名称 [知识梳理] y=sin x 性质 [知识点一]正弦函数 定义域 R 对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sinx与 值域 [-1,1] 之对应，因此y=sinx是一个函数，一般称为正弦 函数 当且仅当=+2kx,k∈Z时， 2 [知识点二]函数的周期性 y=sinx的最大值ymx=l; 1.对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当 最值 当且仅当：- +2kx,k∈Z时， x取定义域内的每一个值时，都有f(x十T)三 f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T y=sinx的最小值ymn=一1 叫作这个函数的周期. 奇偶性 奇函数 2.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小 周期性 最小正周期：2π 正数，那么这个最小正数叫作f(x)的最小正周期. 3.正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z,且k 十2，受+2x]小k∈ZD上递增 单调性 ≠0)都是它们的周期，最小正周期为2元 2 ,3+2k]小∈Z)上递减 +2kπ， ?思考1.对于函数f(x),如果存在一个非零常数 零点 kπ，k∈Z T,使得当x取定义域内无数个值时，都有f(x十 T)=f(x),那么f(x)是周期函数吗？ ?思考5.函数的奇偶性反映了函数的对称性，请 提示：f(x)不是周期函数，因为x应取定义域内 写出正弦函数的对称中心与对称轴， 每一个值。 提示：正弦函数y=sinx的对称中心为(kπ，0)， 2.是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是 (k∈Z),对称轴为x= 十kπ(k∈Z). 周期函数，它的周期是否唯一？ 2 提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具 工预习自测] 有周期性，则其周期也不一定唯一 1.若函数f(x)=sin wx(aw>0)的周期为元，则w 3.周期函数都有最小正周期吗？ 提示：①最小正周期是指能使函数值重复出现的 解析：由周期T= =π，解得ω=2. 自变量工要加上的那个最小正数，这个正数是对 吾得西 x而言的，如y=sin2x的最小正周期是π，因为y 答案：2 =sin(2x十2r)=sin2(x十x),即π是使函数值重 2.函数f(x)=1十sinx的最小正周期是 复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而 A登 B.元 c号 D.2x 言的，而非2x 答案：D ②并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如， 常数函数f(x)=C,任一个正实数都是它的周期， 3.函数y=-2sinx为 1 函数（填奇或偶） 因而不存在最小正周期。 答案：奇 ③特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期. ·40· 第七章三角函数 课堂。互动学案 对应学生用书P25 题型一 正弦函数的周期性 ◇[变式训练] [例1门求下列函数的周期： 1.判断等式n(+)=sin()是吞成立？ 1y=2sin(号-若)：2)y=sinx. 如果成立，能否说明是函数y=sinx的周期？ [思路点拨了“()可用定义法或公式法求周期， (2)可用图像法或定义法求解.。 解sn(受+受)=sim餐-sin(+) [解](1)方法一： :2sim(一+2x2sin() =-sin 3' 即2n3红+6x)若]-2in(音吾)： 上述等式成立， y=2sin(号-)的周期是6x 方法二： 但不能说明警是y=sinx的周期. :=6x∴函数y=2sin(一)的期是6 理由如下：若5为y=sinx的周期， 3 3 (2)方法一： 则对任意实数x都有sinx十 -sin .sin(+x)=|-sin l=lsin zl. ∴.函数y=|sinx的周期是元. 但当=0时，sin(+）产sin 方法二： 所以5不是y=sinx的周期. y=|sinx的图像如图所示. 题型三 正弦函数的奇偶性 [例2]判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=√2sin2.x; ∴.y=sinx的周期是元. (2f)=sm(+）】 规律方法 求三角函数的周期的方法 思路点拨了“首先求出函数的定义域，在定义域 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实 关于原点对称的前提下，根据f(一x)与f(x)及 数x都满足f(x十T)=f(x)的非零常数T. 二f(x)的关系来判断。 该方法主要适用于抽象函数 [解](1)显然x∈R, (2)公式法：对形如y=Asin(wx十9)和y Acos(wx十p)(其中A,w,p是常数，且A≠0， f(-x)=√2sin(-2x)=-√2sin2.x=-f(x), w>0)的函数，可利用T=2红来求. f(x)是奇函数. (3)图像法：可画出函数的图像，借助于图像判断 (2R,f)=sn(+）=-cs 函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般 采用此法 f(-x)=-cs3》=-os=f, 4 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选 择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前 画致f)=in(+)是锅通数。 要尽可能将函数化为同名同角三角函数 ·41· 必修第三册 数学B 规律方法 f-)=f管)=im晋- (1)判断函数奇偶性的方法步骤为：先求函数的定 义域，看定义域是否关于原点对称，再根据解析式 受) 判断f(x)与f(一x)的关系，并根据奇偶性的定 规律方法 义作出判断，对于三角函数，要特别注意诱导公式 1.利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法 的应用 利用函数的周期性，可以把x十nT(n∈Z)的函 (2)若已知f(.x)=Asin(aa十p)(或Acos(aa十p)为 数值转化为x的函数值.利用奇偶性，可以找 偶函数，则x=0是其对称轴，则f(0)=士A;若 到一x与x的函数值的关系，从而可解决求值 已知f(x)=Asin(wx十p)(或Acos(awx十p))为奇 问题. 函数，则(0,0)是其对称中心，则f(0)=0. 2.判断y=Asin(wa十g)或y=Acos(w十)是 ◇[变式训练] 否具有奇偶性的关键 2.判断下列函数的奇偶性. 判断函数y=Asin(aw十g)或y=Acos(十p)是 (1)y=sin2x.x∈(-元，2x); 否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转 (2)y=sin 2+1; 化为y=Asin(Aw≠0)或y=Acos(Aw≠0) (3)y=sin 3x. 其中一个 解：(1)y=sinx,x∈(-元，2x), ◇[变式训练] 定义域不关于原点对称， 3.(1)已知函数f(x)=巨sin(z十平十p)是奇函数， y=sin2,x∈(（一元，2π)为非奇非偶函数. 则9的值可以是 (2)y=sinx+1,x∈R, A.0 :f()2f()0, B一 “()≠()()≠-() c D.元 所以y=sinx十1为非奇非偶函数。 解析：B[法一：f(x)=2sin(x+牙十p)为奇函 (3)y=sin3x,x∈R, 数，则只需牙十9=m,k∈Z,从而9=x f(-2)=sin[3(-)]=sin(-3x)=-sin 3 =-f(x), 平，k∈Z .y=sin3.x为奇函数. 题型正弦函数的奇偶性与周期性的应用】 显然当=0时9=一至满足题意。 [例3]定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期 法二：因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0,即 函数，若f()的最小正周期是元，且当x∈[0，受] V2sin(至十p)=0,所以9+平=ex,k∈Z,即g=kx 时，f(x)=sinx,求f()的值. 平，k∈五.令=0，则9=-平.] 汇思路点拨]根据周期性，把要求角转化到已知 (2)函数f(x)为偶函数且f(x+受)=-f(), 角范围中求解。 f(5)=1,则f)= f(5)=f5-2x)=f(-号)=f(5). 解析：“f(x+交)=一f(x)f(x十x)=f(x), [解]：f(x)的最小正周期是π， ∴f警)=f受-2x)=f-晋). 即T=元，f(受)=f5-2)=-5)=f号)=1 答案：1 ,f(x)是R上的偶函数， ·42· 第七章三角函数 随堂。步步夯实 对应学生用书P26 1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是 A.奇函数 解析：B[因为f)=sin2-受)=一n(受-2) B.偶函数 =一c0s2x,所以该函数的最小正周期为π，且为偶 C.既是奇函数又是偶函数 函数，故选B.] D.非奇非偶函数 4.函数f(x)=sin(x+0)在[0，π]上为增函数，则0的 解析：A[由于x∈R, 值可以是 ( f(-x)=sin x=-sin(-2)=-f(x), A.0 B受 所以f(x)为奇函数.] 2.(多选题)下列是定义在R上的四个函数图像的一 C.元 D. 部分，其中是周期函数的是 ( 解析：D[当0=0时，f(x)=sinx在[0，x]上不单 °PPPP PPP P 调，故A不正确：当0=受时，f)=0sx在[0，m]上 3-2-101234x 21L2 A 单调递减，故B不正确；当0=π时，f(x)=一sinx在 AA [0,]上不单调，故C不正确；当0=誓时，f() 一cosx在[0，π]上单调递增，故D正确.] 5.判断下列函数的奇偶性. 解析：ABC[对于D,x∈（一1,1)时的图像与其他 (1)y=|sin xl; 区间图像不同，不是周期函数，] 3.设函数f()=sin(2x-受)，则f()是 ( 2g=管+ 解：(1)y=sinx|,定义域为R. A.最小正周期为元的奇函数 .'.f(-)=sin(-z)=-sin =sin l=f(x), B.最小正周期为π的偶函数 .y=sinx是偶函数. C.最小正周期为受的奇函数 (2y=o(+ =sinx,定义域为R, D,最小正周期为受的偶函数 课后。素养提升 对应学生课时P15 基础过关 3.已知定义在R上的奇函数f(x)是以π为最小正周 JI CHU GUO GUAN 1.函数y=sin 红+)的周期是 ( 期的周期函数，且当x[o,受]时，f(x)=sin, A.2x B.元 则()的值为 C. p. A.- B.7 C.D. 解析：C[T-年-受] 解析：C】 ()f+)=) 2.下列函数中是奇函数的是 A.y=-sin xl B.y=sin(-) )()-() C.y=sin lxl D.y=xsin l 解析：D[利用定义，显然y=xsin是奇函数.] =选C] ·43· 必修第三册 数学B 4.函数f(x)=x十sinx,x∈R ()8.若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)= A.是奇函数，但不是偶函数 sinx,则f(x)的解析式是 B.是偶函数，但不是奇函数 解析：当x<0时，一x>0,f(一x)=sin(一x)=一sin C.既是奇函数，又是偶函数 x.:f(x)是R上的偶函数，.f(-x)=f(x), D.既不是奇函数，又不是偶函数 当x<0时，f(x)=-sinx..f(x)=sinx,x 解析：A[f(x)的定义域为R,关于原，点对称.又 ∈R. 因为f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sinx= 答案：f(x)=sin|x,x∈R 一（x十sinx)=-f(x),所以f(x)为奇函数，但不 9.(多空题)函数y=2sinx+1的图像的对称中心是 是偶函数.] ,对称轴方程为 5.(2022·黑龙江大庆实验中学高一期末)函数f(x) 解析：由正弦函数的对称性可知y=sinx的对称中心为 =3|sinx|+2sinx的最小正周期为 (x,0,∈乙，时称轴为直线=受+，∈乙 A. B受 y=2sin.x十1的图像是由y=sinx的图像向上平移 一个单位，再纵坐标伸长到原来的2倍得到，故y C.2x D.4π 2sinx十1的对称中心为(kπ，1)，k∈Z,对称轴是直 解析：C[由题意知f(x)= (5sinx,2kπ≤x≤元+2k元， 线x=受+x,k∈7. (k∈Z). -sinx,2kπ十r<x2元十2kπ 答案：(kx,1),k∈Z=受十，k∈Z 画出函数图像如图所示，由图可知最小正周期 10.求下列函数的周期： 为2元.] y-sim(（2+z∈R: (2)y=|sin2x(x∈R) 0外πT3T2π3 解：(1)方法一 令=2x+号，：江∈R,x∈R 函数f(x)=sin之的最小正周期是2元， 就是说变量之只要且至少要增加到之十2π， 6.(多选题)下列函数中，周期为的是 函数f(x)=sin之(z∈R)的值才能重复取得， A.y=sin受 B.y=sin 2.x 而x十2x=2+号+2x=2(x十x)+牙，所以自变 C.y=sin 4x+1 D.y=sin (-4z) 量x只要且至少要增加到x十元，函数值才能重复 解析：CD[T-2受] 取得，从而函数fx)=sin(2x十)x∈R)的周 期是元 7.函数f()=sin号x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+ 方法二 f)=sin(2a+)的周期为经=元 f(2013)= (2)作出y=sin2x的图像 解折：“f(x)=sin子x的周期T-2=6. .f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013) =335[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)] 所以该函数的最小正周期为受。 +f(2011)+f(2012)+f(2013)= 11.判断下列函数的奇偶性： (n晋tsn号十血+sn青十sm号+n (1)f(x)=Ig(1-sin x)-1g(1+sin ) +f335×6+1)+f335×6+2)+f(335×6+3) (2)f(x)=1+sin z-cos'x 1+sin =335×0+f(1)+f(2)+f(3) =sin吾+sin号x十sinx=原 解：(1)由1-sin2>0, 1+sin z>0, 得-1<sinx<1. 答案W5 解得定义战为{红∈R且x≠kπ+受，∈Z, 第七章三角函数 f(x)的定义域关于原点对称 (2)函数的定义域关于原点对称， 又：f(x)=lg(1-sinx)-lg(1十sinx) .f(-x)=log sin(-x) .'.f(-z)=1g[1-sin(-x)]-1g[1+sin(-z)] =log sin zl=f(x), =lg(1+sin z)-lg(1-sin z)=-f(z). 函数f()是偶函数 f(x)为奇函数. (3):f(x+x)=log sin(x+π)川 (2).1十sinx≠0，.sinx≠-1， =log sin l=f(z), ÷x∈R且x≠2kx-受，k∈Z. ∴函数f(x)是周期函数，且最小正周期是π. 13.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2) ,定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶 ff)≠0). 1 函数 能力提升 (1)求证：函数f(x)是周期函数. NENG LI TI SHENG (2)若f(1)=一5，求f(f(5))的值. 12.已知函数f(x)=log|sinx. 1 (1)求其定义域和值域； 解：(1)证明：，f(x十2)= f(x)' (2)判断其奇偶性； 1 1 ∴.f(x+4)= f(x+2) 1 -=f(x), (3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正 f(z) 周期. f(x)是周期函数，4就是它的一个周期. 解：(1).sinx>0, (2)4是f(x)的一个周期， ∴.sinx≠0，.x≠kr,k∈Z. .f(5)=f(1)=-5, .函数的定义域为{xx≠kπ，k∈Z}. .f(f(5)=f(-5)=f(-1) 0<sinx≤1，.logsin a≥0， -1 -11 ∴.函数的值域为{yy≥0}. f(-1+2)=f1)=5· 第2课时 正弦函数的性质与图像（二） 课程标准 素养解读 1.掌握y=sinx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和 三角函数的性质是高考必考内容，通 最值 过应用，提升学生逻辑推理和数学运 2.掌握y=sinx的单调性，并能利用单调性比较大小 算素养 3.会求函数y=Asin(ωx+p)的单调区间 课前。预习学案 对应学生用书P27 [情境引入] [知识梳理] 生活中许多美好的事物都有 [知识点]正弦函数的性质 对称性，如漂亮的蝴蝶，它停飞展 翅就是一幅异常美丽的对称 名 y=sin x 图案. 数学中的对称美也比比皆是，如 性质分类 圆、等腰三角形、正方形、球、圆柱、正方体等 相 定义域 R 正弦函数、余弦函数的图像也很美，它们有怎样的对 同 值域 [-1,1] 称性？除此之外还有哪些性质呢？ 处 周期性 最小正周期为2π 提示：它们既是轴对称图形，又是中心对称图形. ·45·