7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 变式训练 4.D[,90°+k·360°<a<180°+360°·kk∈Z 30+120·k<号<60°+120°，友k∈Z 当=0时，30<号<60，号是第一象限角. 当=1时，150<号<180，号是第二象限角. 当=2时，270<号<300，号是第四象限角.] 随堂步步夯实 1.D[A中的角应与直角终边相同，B中如480°不是钝角， C中如300°不是负角，只有D正确.] 2.B[600°=240°+360°， .600°与240°终边相同 ,.与600°终边相同的角即为与240°终边相同. .选B.] 3.解析：因为α与120°角终边相同， 故有a=k·360°+120°，k∈Z. 又因为-990°<a<-630°， 所以-990°<k·360°+120°<-630°， 即-1110°<k·360°<-750. 当k=-3时，a=(-3)×360°+120°=-960°. 答案：一960 4.解析：集合{ak·180°ak·180°+45，x∈Z}中，当k 为偶数时，此集合与{a0°≤α≤45}表示终边相同的角， 位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{a180°≤a≤ 225}表示终边相同的角，位于第三象限.所以集合{αk· 180°αk·180°十45°，k∈Z}中角表示的范围为图② 所示， 答案：② 5.解：1令-360<30+k·90<360,得-号<6<号 31 又k∈Z,.k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,集合M中 大于-360°且小于360°的角共有8个，分别是-330°，一 240°，-150°，-60°，30°，120°，210°，300°. (2),集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， 3=120°+k·360°，k∈Z. 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 课前预习学案 情境引入 1.提示：周角的300等于1度. 2.提示：有不同的单位制，即弧度制. 知识梳理 知识点一1.360 2.(1)半径长圆心角(2)正数负数 0(3)L 知识点二、1.2π360°180° 180 0.01745 180 57.30° 360 [思考] 1.提示：一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值 是唯一确定的.所以1孤度的角的大小与圆的半径无关. 2.提示：计算时，我们要特别注意πrad=180°，用这个公式 进行互化即可， 3.提示：-名120 ·8 数学B 4.提示：知二求二 5.提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对应的孤 长与半径的比值是唯一确定的. 预习自测 1.D2.C 3.解析：扇形的国心角为a=60=吾，故孤长为1-经面积 为S=××2= 3 答案等 课堂互动学案 [例1][解](1)202°30'=202.5°= 5 (2)-2x= ×(9） 6 =-75°. (3)方法-（化为孤度）：a=15”=15×0-音， 9=105°=105×180-12 π 7元 显s爸<音<1<径故KKK0=9 方法二（化为角度）： ×( °=105°. 显然，15°<18°<57.30°<105°.故a<3<y<0=9. 变式训练 1.解：(1)5 ×() 6- =15330°. 6 7元。 =-105° (310=10X7高0-0 (4)-855°= 855X7高0=-1 [例2][解]角的终边在x轴上的角的集合为 {aa=kπ，k∈Z},角的终边在y轴上的角的集合 为{aa=受+x,eZ, ∴角的终边在坐标轴上的角的集合为 aa=,k∈zU{a=受+k,keZ} {ea=·受ezU{a=2+1…受k∈z ={aa=受meZ}. 变式训练 2.解折：10a1=-570°=-7-1g-=-2×2x+要， 180 6 ,=750°-750-2=2×2r+晋 1806 故a1= 1号-警a1的终边在第二拿限的终边 19π 在第一象限。 (2)月=38=3×180°=108， 55 月=-音=-×180=-60. 3 3 设01=108°+k1·360°(k1∈Z), 02=-60°+k2·360°(k2∈Z), 令-720°≤01≤-180°，-720°≤02≤-180°， 即-720°≤108°+k1·360°≤-180°(k1∈Z) -720°≤-60°+k2·360°≤-180°(k2∈Z) 得k1=-2或k1=-1,k2=-1. 故在[-720°，-180]内，与31终边相同的角是-612°和 一252°，与32终边相同的角是一420°. [例3][解](1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心 角为经，所以半径=1.2 所以这个圆心角所对的孤长1=25×2红_4 3X3=9 (2)由(1)得扇形的面积S=号×2,5×43x-4红 2 3 9 91 变式训练 3.(1)解析：周为135”--票，所以扇形的半径为 180 3π 4 4,面积为2×3xX4=6x 答案：46π (2)解：设扇形的圆心角为0，半径为r,孤长为1，面积为 S,则l+2r=40,所以l=40-2r, 所以S=71=7×40-2rr=-(-10)2+10. 所以当半径r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2,这时9=L=40-2X10=2rad 10 随堂步步夯实 1.C[:-<-3radK-受.-3rad是第三象限角.] 2.B[-30=-30×70--] 3.解析：2要=吾十，2要与吾终边相月， 产是第一象限角， 答案：一 4.解析：设扇形半径为r,则 2ar2=1,1a=2, (ar=2, {x=1. 六AB的长为2rsin号=2sin1. 答案：22sin1 5.解：1)：-800°=-3×360°+280°，280°=4 , a=-800°=14r+(-3)X2元. 9 “a与角终边相同e是第四象限角。 (2):与a终边相同的角可写为2kx十14红，k∈乙的形式， 9 而7与a的终边相同y=2x十号，k∈乙 又7(-晋，受，-吾<2kx+1g<受k∈z 解得=-1y-2x十号=怎 9 ·8 参考答案 7.2任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 课前预习学案 情境引入 提示：当a在第一象限时，sina>0,cosa>0,tana>0;当 a在第二象限时，sina>0,cosa<0,tana<0;当a在第三 象限时，sina<0,cosa<0,tana>0;当a在第四象限时， sin a<0,cos a>0,tan a<0. 知识梳理 知识点一兰号 工卫 x 知识点二、(1)一二三四一四二三一三二四 「思考] 1.提示：a终边在x轴非负半轴时，sina=0, cos a=1,tan a=0; a终边在y轴非负半轴时，sina=l,cosa=0,tana不 存在； a终边在x轴非正半轴时，sina=0,cosa=一1，tana=0: a终边在y轴非正半轴时，sina=一l,cosa=0,tana不 存在. 2.提示：不会，三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位 圆上，点的坐标（坐标的比值）为函数值的函数：三角函数 值只与角a的大小有关，即由角a的终边位置决定. 3.提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由 角α终边上任意一点的坐标来确定. 预习自测 1.B2. 3.A[r=√b2+16,cosa= -b -6 r√62+16 =一子所以6=3.] 课堂互动学案 [例1]解：因为点P的坐标为（一3a,4a)(a≠0），原，点 为O, 所以r=|OP|=√(-3a)2+(4a)2=5a. i.当a>0时，则r=5a,角a在第二象限，sina=义=如 r 5a 4 8 、—，C。sx二3区3，以2sm十osx—5 r 5a 多1 i.当a<0时，则r=一5a,角a在第四象限， sin a=4a=4 -5a -5a5' 所以2na十eosa=-号+号-1 综上所述，2sina十cosa=士l. 变式训练 1.解析：由题意得x=m,y=√3，∴r=OP|=√m2+3, m ∴.cosa= r √m2+3 下4，很明显m>0, 解得m=√5. 答案：√5 [例2]解析：在直线y=2x上任取一点P(t,2t)(t≠0) 则r=√2+(2t)z=√5t. @若0时，则r=5,从而sina后-5， cos a= 5=5,tana=义=2.7.1.2孤度制及 课程标准 1.理解弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角 的互化 2.体会引人弧度制的必要性 3.理解弧度制下弧长与面积公式 课前。 [情境引入] 1.在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 2.在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用 “尺”作单位，有不同的单位制，度量质量时，可以使 用“千克”“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度 制之外，是否也有不同的单位制呢？ [知识梳理] [知识点一]度量角的单位制 1.角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定 周角的 等于1度，记作1 2.弧度制 (1)弧度制的定义 长度等于 的弧所对的 叫作1弧 度的角，用符号rad表示，读作弧度， 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制. (2)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 ；负角的弧度数是 一个 ;零角的弧度数是 (3)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那 么，角a的弧度数的绝对值是a= ?思考1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小与圆 的半径是否有关系？ 第七章三角函数 其与角度制的换算 素养解读 度与弧度之间 通过学习弧度制的有关概念及表示， 重点培养学生的数学抽象、直观想象 素养 预习学案 [知识点二]角度与弧度的换算 1.角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°= rad 2x rad- 180°=rrad πrad= 1°= rad 1 rad= rad ≈ 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 度 0° 15° 30°45°60 75 90°1209 1359 150° 弧 0 π 5x π 2x 3π 5π 度 12 6 3 12 4 6 度 180° 2109 225 240 270 300° 3159 330° 360 弧 7π 5π 4π 3π 5π 7π 11 度 6 2π ?思考2.角度制、弧度制都是角的度量制，那么 它们之间换算的关键是什么？ 3.一30转化为弧度是多少弧度？ 匹转化为角度是 3 多少度？ [知识点三]扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R,弧长为1，圆心角为a(n°)，则 度量单位 n为角度制 a为弧度制 类别 (0°<n°<360°) (0<a<2π) 扇形的弧长 l= l= 扇形的面积 S= S== 必修第三册 ?思考4.在弧度制下，扇形的弧长公式与面积公 式中有四个量a、R、l、S,根据公式已知几个量可 以求其他量呢？ 5.你认为式子a=中，比值与所取的圆的半 径大小是否有关？ 课堂 题型一 角度制与弧度制的换算 [例1](1)把20230化成弧度； (2)把- x化成角度： (3已知a=15,g=07=1ad,9=105,g=7登， 试比较a3、Y、0、9的大小 [思路点拨] 第(1)(2)小题可直接利用1°=， 180 rad,1 rad= (门)选行转化，等(8)小意可先统 一单位，由于用弧度表示的角较多，可统一为弧 度，再根据实数大小进行比较. 数学B [预习自测] 1.下列语句正确的是 A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆周角 C.一弧度的圆心角所对的弧长为1 D.一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 2.下列各式正确的是 A.π=180 B.π=3.14 C.90°=受rad D.1 rad=x 3.已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长 为 ,扇形的面积为 互动学案 规律方法 1.角度与弧度的理解 (1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一 对应关系 (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但 数量相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任 意非零角，单位不同，数量也不同. (3)牢记180°=πrad,充分利用其进行角度制与 弧度制互化. (4)角度的单位“。”不可省略，而弧度的单位“rad” 可以省略. (5)在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于抓住 “=180”这一关系，由它可以得：度数×高 弧度数，弧度数× (180=度数，同时还要牢 记一些特殊角的度数与弧度数的对应关系. 3.将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单 位时，应先将它们统一化为“度”表示，再利用 80rad”化为弧度即可. “1°=元 ◇[变式训练] 1.将下列角度与弧度进行互化： (1) 5x:(2)-7:310:40)-85. 题型二 用弧度制表示任意角 [例2]用弧度制表示终边在坐标轴上的角的集合. [思路点拨]先表示出终边在x轴、y轴上的角 的集合，再求它们的并集 规律方法 1.弧度制下角的集合表示 可联想角度制下的角的集合表示，再转化为弧 度制，求象限角、区域角.难点是区间合并时，要 作到准确无误，如本题中，前一集合是以受的偶 数倍表示，后一集合是以受的奇数倍表不，两者 合并，即用受的整数倍表示。 2.用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ十α(k∈Z) 时，其中2kπ是元的偶数倍，而不是整数倍. (2)还要注意角度制与弧度制不能混用. ◇[变式训练] 2.已知1=-5700g=750°，8-8=-于 (1)将a1,a2用弧度制表示出来，并指出它们各自的 终边所在的象限。 (2)将B1,B2用角度制表示出来，并在[一720°， 一180]内找出与它们终边相同的所有角. 7 第七章三角函数 题型三 扇形的弧长公式及面积公式 [例3]已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为 条求， (1)这个圆心角所对的弧长： (2)这个扇形的面积， 汇思路点拨]利用弧长公式和面积公式直接求解， 规律方法 关于弧度制下扇形问题的解决方法 (①D三个公式：a=,S==am,要怡当选择 公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程 (组)求值. (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表 示出弧长（面积），利用函数知识求最值，一般利 用二次函数的最值求解 ◇[变式训练] 3.(1)弧长为3π.圆心角为135°的扇形的半径为 ,面积为 (2)已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心 角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积 是多少？ 必修第三册 数学B 随堂。步步夯实 1.已知a=-3rad.则a是 5.已知a=-800°. A.第一象限角 B.第二象限角 (1)把a改写成3+2kπ(k∈Z,0≤3<2x)的形式，并 C.第三象限角 D.第四象限角 指出a是第几象限角； 2.将一300°化为弧度数为 (2)求X使7与a的终边相同，且Y(一受，受). 7 C.一6r . 3角是第 象限角. 4.如图，扇形AOB的面积是1，它的 B 弧长是2，则扇形的圆心角α的弧 度数为 ;弦AB的 C温馨提今 长为 学习至此，请完成配套训练 0 7.2任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 课程标准 素养解读 1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 通过学习三角函数的定义培养学生直观想 2.掌握三角函数在各象限的符号 象和数学抽象素养 课前。预习学案 [情境引入] 其中r=√x2+y 根据三角函数的定义，各个三角函数值是用单位 圆上点的坐标表示的，当角在不同象限时，其与单位 ?思考1.终边在坐标轴的角α的三角函数值分别 圆的交点坐标的符号就不同，因此其各个三角函数值 是什么？ 的正负就不同，你能推导出sina,cosa,tana在不同 象限内的符号吗？ 2.对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P 在α终边上的位置的改变而改变吗？ [知识梳理] [知识点一]利用角α终边上一点的坐标定义三角 函数 如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一 点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P与原 [知识点二]三角函数值的符号 点的距离为r, (1)图形表示： 则sina= cos a- tan a- y + 0+ sin a cos a an o 正弦： 象限正， 象限负； 余弦： 象限正， 象限负； 正切： 象限正， 象限负 (2)记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦. ·8·