7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

k∈Z}U{3B=60°+180°+k·360°，k∈Z}={33 =60°+2k·180°，k∈Z}U{313=60°+(2k+1)· 180°，k∈Z}={33=60°+n·180°，n∈Z}. (2)由于-360°<3<720°，即-360°<60°+n· 180<720n∈Z,解得-子<n<号n∈Z,所以 7.1.2孤度制及 课程标准 1.理解弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角 的互化 2.体会引人弧度制的必要性 3.理解弧度制下弧长与面积公式 ● 课前 [情境引入] 1.在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 提示：周角的0等千1度. 2.在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用 “尺”作单位，有不同的单位制，度量质量时，可以使 用“千克”“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度 制之外，是否也有不同的单位制呢？ 提示：有不同的单位制，即弧度制. [知识梳理] [知识点一]度量角的单位制 1.角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定 周角的0等于1度，记作1心 2.弧度制 (1)弧度制的定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的 角，用符号rad表示，读作弧度 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制. (2)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个 负数；零角的弧度数是0. (3)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那 么，角a的弧度数的绝对值是a= 第七章三角函数 n=一2，一1,0,1,2,3.所以集合S中适合不等式 -360°<3<720°的元素为60°-2×180°= 300°；60°-1×180°=-120°； 60°+0×180°=60°；60°+1×180°=240°： 60°+2×180°=420°；60°+3×180°=600°. 其与角度制的换算 素养解读 度与弧度之间 通过学习弧度制的有关概念及表示， 重点培养学生的数学抽象、直观想象 素养 预习学案 对应学生用书P5 2思考1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小与圆 的半径是否有关系？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的孤长与半径 的比值是唯一确定的.所以1弧度的角的大小与 圆的半径无关 [知识点二]角度与弧度的换算 1.角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°=2πrad 2rrad=360° 180°=元rad x rad=180 1'-18o rad 1 rad= 180 0.01745rad ≈57.30° 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 度 /0° 15°30°45° 60°75° 90°1209 135 150° 玄 0 π 5 2x 3π 5π 度 12 4 3 4 6 180° 210 225 240 270° 300°315 330°360 弧 7π 5π 11π 度 6 4 3 2 3 6 2π 必修第三册 配思考2.角度制、弧度制都是角的度量制，那么 它们之间换算的关键是什么？ 提示：计算时，我们要特别注意元rad=180°，用 这个公式进行互化即可. 3.一30转化为弧度是多少弧度？ 转化为角度是 多少度？ 提示：一 120°. [知识点三] 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,圆心角为α(n°)，则 度量单位 n为角度制 a为弧度制 类别 (0°<n°<360) (0<a<2r) 扇形的弧长 l=nπR 180 l-aR 扇形的面积 S=nπR S 360 2lR-5aR ?思考4.在弧度制下，扇形的弧长公式与面积公 式中有四个量a、R、1、S,根据公式已知几个量可 以求其他量呢？ 提示：知二求二 课堂 题型一 角度制与弧度制的换算 [例1](1)把20230化成弧度； (2)把 之π化成角度： (3)已知a=15,月=0，y=1rad,9=105,g 7π 12 试比较a、B、y、0、9的大小 [思路点拨] 第(1)(2)小题可直接利用1° 180 rad,1 rad= 180 °进行转化，第(3)小题可先统 单位，由于用弧度表示的角较多，可统一为弧 度，再根据实数大小进行比较， [解](1)20230'=202.5 0 元 9 2 1808. (2) 12x=- 2元/ 180 -75° (3)方法一（化为孤度）：a=15°=15× =105°=105×7高-7受 ·8 数学B 5.你认为式子a=二中，比值与所取的圆的半 径大小是否有关？ 提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所 对应的孤长与半径的比值是唯一确定的 [预习自测] 1.下列语句正确的是 A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆周角 C.一弧度的圆心角所对的弧长为1 D.一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 答案：D 2.下列各式正确的是 A.π=180 B.π=3.14 C.90=受rad D.1 rad= 答案：C 3.已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长 为 ,扇形的面积为 解析：扇形的國心角为Q=60=苔，故孤长为1 3 3 答案誓 3 互动学案 对应学生用书P6 10 方法二（化为角度）： =18°，y=1≈57.30°， 显然，15°<18°<57.30°<105°.故a<3<y<0=9 规律方法 1.角度与弧度的理解 (1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一一 对应关系」 (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但 数量相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任 意非零角，单位不同，数量也不同 (3)牢记180°=元rad,充分利用其进行角度制与 弧度制互化. (4)角度的单位“。”不可省略，而弧度的单位“rad”可 以省略 (5)在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于抓住“π 180”这一关系，由它可以得：度数×尽0=弧度 数，弧度数× 180°=度数，同时还要牢记一些特 π 殊角的度数与弧度数的对应关系。 3.将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位 时，应先将它们统一化为“度”表示，再利用“1°= 180rad”化为孤度即可. ⊙[变式训练] 1.将下列角度与弧度进行互化： 13:(2)-70:810,40)-85 6 =15330°. 6 ×() (2)-12 180 =-105°. (3)10°=10× 元 18018 (4)-855°=-855×780 19π 4 题型二 用弧度制表示任意角 [例2]用弧度制表示终边在坐标轴上的角的集合 匚思路点拨了先表示出终边在x轴、y轴上的角 的集合，再求它们的并集。 [解]角的终边在x轴上的角的集合为 {aa=br,k∈Z,角的终边在y轴上的角的集合 ∴角的终边在坐标轴上的角的集合为 aa=kr,k∈zU{a=受+kx,k∈Z {aa=2谈…受，k∈zU{e。=(2+D…受∈z 规律方法 1.弧度制下角的集合表示 可联想角度制下的角的集合表示，再转化为弧 度制，求象限角、区域角.难点是区间合并时，要 作到准确无误，如本题中，前一集合是以牙的偶 数倍表示，后一集合是以乏的奇数倍表示，两者 合并，即用乏的整数倍表示。 2.用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2k元十α（∈Z) 时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)还要注意角度制与弧度制不能混用. 第七章三角函数 ◇[变式训练] 2.已知4=-570a,=750,月-誓2=-号 (1)将a1,a2用弧度制表示出来，并指出它们各自的 终边所在的象限 (2)将3，B2用角度制表示出来，并在[一720°， 一180]内找出与它们终边相同的所有角， 解析：(1)a1=-570°=-570x=-19x=-2X2 180 6 个6，a2=750°=00π=25π=2×2π十. 1806 故a1= 1g-2,a的终边在第二象限，e 的终边在第一象限 (2月--号×180=108， =5 =-=-号×180=-60 设01=108°+k1·360°(k∈Z), 02=-60°+k2·360°(k2∈Z), 令-720°≤01≤-180°，-720°≤02≤-180°， 即-720°≤108°+k1·360°≤-180°(k,∈Z) -720°≤-60°+k2·360°≤-180°(k2∈Z) 得k1=-2或k1=-1,k2=一1. 故在[一720°，一180°]内，与月，终边相同的角是 一612°和-252°，与32终边相同的角是一420°. 题型三 扇形的弧长公式及面积公式 [例3]已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为 警求。 (1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积. 汇思路点拨]利用弧长公式和面积公式直接求解.： [解](1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角 为行，所以半径 1 _25 元 31 sin 3 所以这个圆心角所对的孤长1=25×2红43 3 3 91 (2)由(1)得扇形的面积S=1×25×43x4红 24 3 91 规律方法 关于弧度制下扇形问题的解决方法 (0三个公式：la=,S-=2a2,要拾当选择 1 公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程 (组)求值. (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表 示出弧长（面积），利用函数知识求最值，一般利 用二次函数的最值求解。 必修第三册 ◇[变式训练] 3.(1)弧长为3元.圆心角为135的扇形的半径为 ,面 积为 解析：因为135”-1-不，所以扇形的半径为 π 元 4 =4,面积为 X3xX4=6玩 答案：46π ● 随堂© 1.已知a=一3rad.则a是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析C[:-x<-3radK-受-3rad是第 三象限角.门 2.将一300°化为弧度数为 4 B.- 5 A.一3 C.-6 D.-7x 4 解析： B[-300°=-300× 180 3.角%是第 象限角， 解析：管-香十4要与晋终边相同， “25严是第一象限角. 6 答案：一 4.如图，扇形AOB的面积是1，它的 B 弧长是2，则扇形的圆心角α的弧 度数为 ;弦AB的 长为 课后 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.把50°化为弧度为 A.50 B餐 c D.9000 解析：B[50°=50× ·1 数学B (2)已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心 角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积 是多少？ 解：设扇形的圆心角为0，半径为r,孤长为l,面积为 S,则1+2r=40,所以l=40一2r, 所以S=2r=2×(40-2r)r=-(r-10) +100. 所以当半径r=10cm时，扇形的面积最大，最大值 为100cm,这时9=↓=40-2X10=2rad. 10 步步夯实 对应学生用书P8 解析：设扇形半径为r,则 2r2=1,a=2, =1 ar=2, AB的长为2rsin号=2sin1. 答案：22sin1 5.已知a=-800°. (1)把a改写成3十2kπ(k∈Z,0≤3<2x)的形式，并 指出a是第几象限角； (2)求，使7与。的终边相同，且(-受，受 解：(1)：-800°=-3×360°+280°，280°=14元 9， .a=-800°=14x+(-3)X2元. 。与角号终边相同0是第回象限角。 (2):与a终边相同的角可写为2元十14红，k∈Z的 9 形式，而y与a的终边相同y=2x十1华，k∈乙 又y(-受受-登<2x+1<受k∈z 2 9 2 解得k=-1,.y=一2x十14=-4红 9 9 素养提升 对应学生课时P3 2.若a=-10,则a为 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三角限角 D.第四角限角 解析：B[:-10<-3元且-10>-3m一受， a的终边在第二象限，故选B.] 3.扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积 是 ( ) A.16π B.32πC.16D.32 解析：C[孤长l=2r,∴.4r=16,r=4,得l=8,即 s-2=16.] 4.终边与坐标轴重合的角α的集合是 A.{aa=2kπ，k∈Z} B.{aa=kπ，k∈Z} Caa-经kez D.aa=2+km,k∈Z 解析：C[特值法：令k=0,1,2,3可知选C.] 5.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆 心角所对的弧长为 ( 1 A.sin 0.5 B.sin 0.5 C.2sin 0.5 D.tan 0.5 解析：A[连接圆心与弦的中点（图略），则弦心 距.弦长的一半、半径构成一个直角三角形、弦长的 一半为1，弦所对的圆心角也为1，所以圆的半径为 sin0.5,所以该圆心角所对的孤长为1X,1 sin 0.5 sin0.5故选A.] 1 6.(多选题)下列说法中错误的是 A.弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一 一对应的关系； B.1弧度是长度为半径长的弧； C.1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的 大小： D.用弧度作角的单位仅能表示正角、 解析：BD[由孤度制的定义知AC正确，B错误； 用弧度作单位不仅可以表示正角，也可以表示负角 与零角，D错误.] 7.把钙化为度为 解析：Ξ-誓×( 180=80. π 答案：80 8.时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转 了 弧度 解析：时钟共走了3小时50分钟，分钟旋转了 (3×2x+吾·2=- 23π 3 答案：-23π 3 9.(多空题)已知两角的和是1弧度，两角的差是1°， 则这两个角分别为 解析：设这两个角为a,3弧度，不妨设a>B, ·1 第七章三角函数 a十B=1, e0解得a=+号30 1 答案：2+日0 10.把下列角化为2kπ十a(0≤a<2π，k∈Z)的形式： (21g,2)-315, 解析：①D因为0≤红<2x,所以15=4标十智 3 3 (2)-315=-315×7高0=7--2x+至 因为0≤牙<2，所以-315°=一2x十平 11.已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角a(0<a<π)的大小； (2)求圆心角a所在的扇形弧长l及弧所在的弓 形的面积S. 解：(1)因为圆O的半径为10，弦AB的长为10， 所以△AOB为等边三角形，所以a=∠AOB=吾. (2a=季，所以1=ar=10。 3 =2×10×10=50s a6=r= 3 3 又因为S-2X10X10×9=25vB 所以S=S扇形 -Sam=50x-255= 3 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.已知a=1690°， (1)把a写成2k元十3(k∈Z,3∈[0,2π))的形式； (2)求0，使0与a终边相同，且0∈(-4π，4π). 解：1160=4X360+250=4X2x+得 (2)9与e终边相同0=2x+意x传∈7刀. 又9e(-4,4-4<2kx+2得<4x 舒得3器<k<0∈A=-2,1,01. 9的值是是，是常0 13.(1)已知扇形的周长为20cm,面积为9cm2,求扇 形圆心角的弧度数. (2)一个扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角a 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出 这个扇形的最大面积. 必修第三册 数学B 解：(1)设扇形的半径为rcm,孤长为lcm,圆心角 (2)设扇形的半径为rcm,则孤长为1=(20一 为0，则1+2r=20,.l=20-2r. 2r)cm. 又：2r=9,即号(20-2r)r=9.r-10r+9 由0≤1<2r,得0<20-2r<2πr,元 <10. 三0， 即(r-1)(r-9)=0,∴.r1=1,r2=9. 于是扇形的面积为5=7(20-2r)1=-(,-5)2 当=1时1=18，则0==18>2x(含去).当7 +2510 =9时1=2，则0-号，即扇形园心角的孤度 当r=5时，l=10,a=2,S取到最大值，此时最大 值为25cm. 效为品 故当扇形的圆心角α等于2孤度时，这个扇形的 面积最大，最大面积是25cm2. 7.2 任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 课程标准 素养解读 1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 通过学习三角函数的定义培养学生直观想 2.掌握三角函数在各象限的符号 象和数学抽象素养 课前。预习学案 对应学生用书P8 [情境引入] ?思考1.终边在坐标轴的角α的三角函数值分别 根据三角函数的定义，各个三角函数值是用单位 是什么？ 圆上点的坐标表示的，当角在不同象限时，其与单位 提示：a终边在x轴非负半轴时，sina=0, 圆的交点坐标的符号就不同，因此其各个三角函数值 cos a=1,tan a=0; 的正负就不同，你能推导出sina,cosa,tana在不同 a终边在y轴非负半轴时，sina=1,cosa=0, 象限内的符号吗？ tana不存在； 提示：当a在第-象限时，sina>0,cosa>0,tana> a终边在x轴非正半轴时，sina=0,cosa=一1， 0;当a在第二象限时，sina>0,cosa<0,tana<0;当 tan a=0; a在第三象限时，sina<0,cosa<0,tana>0;当a在 a终边在y轴非正半轴时，sina=一1，cosa=0, 第四象限时，sina<0,cosa>0,tana<0. tana不存在. [知识梳理] 2.对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P [知识点一]利用角α终边上一点的坐标定义三角 在a终边上的位置的改变而改变吗？ 函数 提示：不会，三角函数也是函数，是以角为自变量， 如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一 以单位圆上，点的坐标（坐标的比值）为函数值的函 点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P与原 数；三角函数值只与角a的大小有关，即由角α的 点的距离为r, 终边位置决定 则sina=之，cos artan a> [知识点二]三角函数值的符号 护 (1)图形表示： y ++ 0 sin a cos a 正弦：一二象限正，三四象限负： 余弦：一四象限正，二三象限负； 其中r=√Jx十y 正切：一三象限正，二四象限负。 (2)记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦. ·12·