7.1.1 角的推广（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 第七章 三角函数 7.1任意角的概念与孤度制 7.1.1角的推广 课程标准 素养解读 1.了解角的概念 1.根据角的概念培养数学直观和逻辑推理素养 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义 2.通过学习终边相同的角，象限角提升数学建 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表 模素养 示这些角 课前。预习学案 [情境引入] 3.角的分类 1.当钟表慢了（或快了）一点时，我们会将分针按某个 名称 定义 图形 方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中，分针 转动的方向是否相同？ 条射线绕其端点 正角 按 方向旋转 形成的角 条射线绕其端点 2.在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻 负角 按 方向旋转 转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少 形成的角 度？转过的度数还能用0°到360°的角表示吗？ 一条射线没有作 零角 旋转形成的角 A(B) ?思考1.当角的始边和终边确定后，这个角就被确 定了吗？ [知识梳理] [知识点一]任意角的概念 2.你能说出角的三要素吗？ 1.角的概念 角可以看成平面内 绕着它的 旋 转所成的图形 3.正角、负角、零角是根据什么区分的？ 2.角的表示 如图，①始边：射线的 位 置OA; 4.如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是 ②终边：射线的 位置OB; 零角吗？ ③顶点：射线的端点O: ④记法：图中的角a可记为“角a”或“∠a”或 “∠AOB”. 必修第三册 数学B [知识点二]平面直角坐标系中的任意角 (1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重 1.象限角 合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 在平面直角坐标系中，若角的顶点与 重 (2)a是任意角且k为整数 合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角 (3)k·360°与a之间用“+”号连接. 的 在第几象限，就说这个角是第几 (4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{xx=· :如果角的终边在 ,就认为这个角不 360°-90°，k∈Z}与{xx=k·360°+270°，k∈Z} 属于任何一个象限. 均表示终边在y轴的非正半轴上的角的集合. 2.各象限角的集合 ?思考5.相等的角终边一定相同吗？不相等的角 象限角 象限角a的集合表示 终边一定不同吗？ 第一象限角 {ak·360°<ak·360°+90°，k∈Z} 第二象限角 {ak·360°+90°<a<k·360°+180°，k∈Z 第三象限角 {ak·360°+180°<a<k·360°+270°，k∈Z 6.角B=a十k·720°，k∈Z,3与a终边相同吗？ 第四象限角 {ak·360°+270°<a<k·360°+360°，k∈Z} 3.终边落在坐标轴上的角 终边落在x轴的非负 {aa=k·360°，k∈Z 半轴上的角的集合 7.把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否 终边落在x轴的非正 {a|a=k·360°+180°，k∈Z 定就是某一个象限的角？ 半轴上的角的集合 终边落在x轴上的角 {aa=k·180°，k∈Z} 的集合 终边落在y轴的非负 {aa=k·360°+90°，k∈Z 8.若角a,3满足S={33=a+k·360°，k∈Z)时，角 半轴上的角的集合 a,3是否是终边相同的角？ 终边落在y轴的非正 {ala=k·360°+270°.k∈Z 半轴上的角的集合 终边落在y轴上的角 {aa=k·180°+90°，k∈Z} 的集合 终边落在坐标轴上的 [预习自测] {aa=k·90°，k∈Z} 角的集合 1.下列各命题正确的是 4.终边相同的角 A.终边相同的角一定相等 所有与角α终边相同的角，连同角a在内，可构成 B.第一象限角都是锐角 一个集合S ,即任一与角a终 C.锐角都是第一象限角 边相同的角都可以表示成角α与 D.小于90°的角都是锐角 的和. 2.一1060°的角终边落在 5.对终边相同的角的理解 A.第一象限 B.第二象限 所有与角α终边相同的角，连同角a在内，构成一 C.第三象限 D.第四象限 个集合，它们彼此相差·360°(k∈Z),即S={B3 3.在（一360°，0°）内与角1250终边相同的角是 =a+k·360°，k∈Z}. 课堂。互动学案 题型一 任意角的概念 (2)若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过 的角度为 [例1](1)下列结论： A.80° B.-80 C.960° D.-960 ①三角形的内角必是第一、二象限角； 规律方法 ②始边相同而终边不同的角一定不相等； 理解与角的概念有关问题的关键 ③小于90°的角是第一象限角： 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平 ④钝角比第三象限角小； 角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向 ⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角， 与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧， 其中正确的结论为 (填序号). 判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需 [思路点拨了利用任意角的概念判断， 要举一个反例即可： ·2 第七章三角函数 ◇[变式训练] 题型写 区间角 1.给出下列四个结论：①一15°是第四象限角；②185 [例3]设A={a90°+k·360°≤a≤180°+ 是第三象限角；③475°是第二象限角；④一350°是第 k·360°，k∈Z,B为终边在如图所示阴 一象限角.其中正确的个数为 ( 影部分中的角的集合，求A∩B. A.1 B.2C.3 D.4 [思路点拨]先写出集合B,再求AB. 题型二 终边相同的角 [例2]已知a=-1910°.(1)把a写成3十k·360°(k ∈Z,0°≤3<360)的形式，指出它是第几象限角： (2)求0，使0与a的终边相同，且-720°≤0<0. [思路点拨]解答本题(1)用a除以360°，使余数 为正，且使余数在[0°，360°)即可；(2)根据终边相 规律方法 同角的定义，用公式α十·360°列不等式求解. 区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其 写法可分为三步： (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 360°到360°范围内的角a和3，写出最简区间{xa<x <},注意，若含边界，则不等式中应带“=”； 规律方法 (3)起始、终止边界对应角a、3,再加上360°的整数 1.终边落在直线上的角的集合的步骤 倍，即得区间角集合. (1)写出在0°~360°范围内相应的角. ◇[变式训练] (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合. 3.如图，角α终边在图中阴影部分， (3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁. 试指出角a的范围. 759 2.终边相同角常用的三个结论 309 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍. (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整 数倍 (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍. ◇[变式训练] 2.在与530°角终边相同的角中，求满足下列条件 题型四 象限角的判断 的角 (1)最大的负角； [例4]已知a为第二象限角，问2，号分别是第几象 (2)最小的正角： 限角？ (3)在区间[-720°，一360°)内的角. 思路点拨]由角a为第二象限角，可以写出a的范 围：90°十k·360°<a<180°+k·360°，k∈Z,在此基础 上可以写出2a,号的范围，进而可以判断出它们所在 的象限。 ·3· 必修第三册 数学B 规律方法 (3)这类问题也可采用特值法判断角的终边位置，如本 (1)解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定 出a或8的范围，再根据k与n的关系进行讨论. 例中受，45+6·180°<号<90+k·180,k∈Z,令k (2)一般地，要确定a所在的象限，可以作出n等分 1,2,3,4分别得号的终边位于第三、一、三、一象限，如 各个象限的从原点出发的射线，它们 y 与坐标轴把周角等分成4n个区域，从 x轴的正半轴起，按逆时针方向把这 2 此循环住复，从而可断定受是第一或第三象限角。 4n个区域依次循环标上号码1、2、3、 4,则标号是几的区域，就是a为第几 ◇[变式训练] 象限角时，号终边可能落在的区域，号 所在的象限就可直观地看出 4.若a是第二象限角，则号是 例如，已知角。所在的象限，可用如图求角？所在的 A.第一象限的角 象限，也可以用下表来表示： B.第二象限的角 a所在的象限 三 分 C.第四象限的角 受所在的象限 、三 、三 二、四 二、四 D.第一象限或第二象限或第四象限角 随堂。步步夯实 1.下列命题中正确的是 5.已知角的集合M={aa=30°+k·90°，k∈Z},回答下 A.终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 列问题： B.第二象限角一定是钝角 (1)集合M中大于一360且小于360°的角是哪几个？ (2)写出集合M中的第二象限角3的一般表达式. C.第四象限角一定是负角 D.始边相同而终边不同的角一定不相等 2.与600终边相同的角表示为(k∈Z) A.k·360°+220 B.k·360°+240° C.k·360°+60° D.k·360°+260 3.已知一990°<a<一630°，且a与120°角的终边相同，则 a- 4.集合{ak·180°≤a≤k·180°+45°，k∈Z}中角表示的 范围（用阴影表示）是图中的 (填序号). C温馨提 学习至此，请完成配套训练参芳 第七章三角函数 7.1任意角的概念与弧度制 7.1.1角的推广 课前预习学案 情境引入 1.提示：不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟表快 了，要逆时针转动分针. 2.提示：因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同，因 此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720°或逆 时针旋转720°，“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转 900°或逆时针旋转900°.显然这些角都不在0°~360°，不 能用0°到360°的角表示 知识梳理 知识点一、1.一条射线端点2.起始终止3.逆时针 顺时针任何 知识点二、1.原点x终边象限角坐标轴上4.{3 =a十k·360°，k∈Z}整数个周角 [思考] 1.提示：不是的.虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转 量的大小（旋转圈数）并没有确定，所以角也就不能确定. 2.提示：角的三要素是顶点、始边、终边 3.提示：根据组成角的射线的旋转方向」 4.提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重 合的角不一定是零角，如360°，一360°等，角的大小不是根 据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转 5,提示：相等的角终边一定相同；不相等的角终边可能相 同，也可能不同. 6.提示：3=a十2k·360°，故3与a终边相同. 7.提示：不一定.因为象限角是指的当角的始边与x轴的非 负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几 象限角.如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个 角不在任何象限内，又叫轴线角. 8.提示：当角a,3满足S={到B=a十k·360°，k∈Z}时，表示 角α与3相隔整数个周角，即角a,3终边相同. 预习自测 1.C 2.A[因为-1060°=-3×360°+20°，所以-1060°的角 终边落在第一象限.] 3.解析：与1250°角的终边相同的角a=1250°+k·360°， :-6<a<01g<K器。 k∈Z,.k=-4,.a=-190. 答案：-190° 课堂互动学案 [例1](1)[解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是 第二象限角，故①不正确； ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确： ③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确： ④钝角大于一100°，而一100°的角是第三象限角，故④不 正确： ⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故 ⑤不正确. [答案]② (2D[40÷60=号360×号=240.“分针是顺 时针旋转，∴.时针走过2小时40分，分针转过的角的度数 为-2×360°-240°=-960°，故选D.] ·8 参考答案 答案 变式训练 1.D[①-15°在第四象限： ②180°<185°<270°在第三象限； ③475°=360°+115°，而90°<115°180°，所以475°在第 二象限： ④-350°=-360°+10°是第一象限角. 所以四个结论都是正确的.] [例2][解](1)，-1910°÷360°=-6余250°， ∴.-1910°=-6×360°+250°， 3=250°，从而a=-6×360°十250°是第三象限角. (2)令0=250°+k·360°(k∈Z), ,-720°≤0<0°， .-720°250°+k·360°<0°， 即一船≤K一需 k∈Z,.k=-1或一2. 即250°+(-1)·360°=-110°， 250°+(-2)·360°=-470°. .∴.0=-110°或0=-470°. 变式训练 2.解析：与530°角终边相同的角为k·360°+530°，k∈Z. (1)由-360°<k·360°+530°<0°且k∈Z,可得k=-2, 故所求的最大负角为一190°. (2)由0°k·360°+530°<360°且k∈Z,可得k=-1,故 所求的最小正角为170°. (3)由-720°≤k·360°+530°<-360°且k∈Z,可得k= 一3.故所求的角为一550°. [例3]「[解]图中的阴影部分表示终边由一45°逆时针旋 转到120°的所有角，故B={a一45°+k·360°a<120 +k·360°，k∈Z}(注意不含边界)， 又.A={a90°+k·360≤a≤180+k·360°，k∈Z, .A∩B={a90°+k·360°≤a<120°+k·360°，k∈Z}. 变式训练 3.解：与30°角的终边在一条直线上的角的集合为S1={aa =30°+k·180°，k∈Z},与180°-75°=105°角的终边在一 条直线上的角的集合为S2={aa=105°十k·180°，k∈ Z,因此，在图中阴影部分的角a的范围为{a30°十k· 180°≤a<105°+k·180°，k∈Z. [例4][解]：90°+k·360°<a<180°+k·360°，k∈Z .180°+2k·360°2a<360°+2k·360°.k∈Z .2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半 轴上的角. 同理45+冬·360<号<90°+专·360 当友为偶数时，不坊令k=21,m∈Z,则45+n·360°<号 <90°十1·360，此时，号为第一象限角； 当k为奇数时，令k=2m+1,n∈乙，则225+m·360°<号 <270°+1·360，此时，号为第三象限角. ·号为第一或第三象限角. 必修第三册 变式训练 4.D[,90°+k·360°<a<180°+360°·kk∈Z 30+120·k<号<60°+120°，友k∈Z 当=0时，30<号<60，号是第一象限角. 当=1时，150<号<180，号是第二象限角. 当=2时，270<号<300，号是第四象限角.] 随堂步步夯实 1.D[A中的角应与直角终边相同，B中如480°不是钝角， C中如300°不是负角，只有D正确.] 2.B[600°=240°+360°， .600°与240°终边相同 ,.与600°终边相同的角即为与240°终边相同. .选B.] 3.解析：因为α与120°角终边相同， 故有a=k·360°+120°，k∈Z. 又因为-990°<a<-630°， 所以-990°<k·360°+120°<-630°， 即-1110°<k·360°<-750. 当k=-3时，a=(-3)×360°+120°=-960°. 答案：一960 4.解析：集合{ak·180°ak·180°+45，x∈Z}中，当k 为偶数时，此集合与{a0°≤α≤45}表示终边相同的角， 位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{a180°≤a≤ 225}表示终边相同的角，位于第三象限.所以集合{αk· 180°αk·180°十45°，k∈Z}中角表示的范围为图② 所示， 答案：② 5.解：1令-360<30+k·90<360,得-号<6<号 31 又k∈Z,.k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,集合M中 大于-360°且小于360°的角共有8个，分别是-330°，一 240°，-150°，-60°，30°，120°，210°，300°. (2),集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， 3=120°+k·360°，k∈Z. 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 课前预习学案 情境引入 1.提示：周角的300等于1度. 2.提示：有不同的单位制，即弧度制. 知识梳理 知识点一1.360 2.(1)半径长圆心角(2)正数负数 0(3)L 知识点二、1.2π360°180° 180 0.01745 180 57.30° 360 [思考] 1.提示：一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值 是唯一确定的.所以1孤度的角的大小与圆的半径无关. 2.提示：计算时，我们要特别注意πrad=180°，用这个公式 进行互化即可， 3.提示：-名120 ·8 数学B 4.提示：知二求二 5.提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对应的孤 长与半径的比值是唯一确定的. 预习自测 1.D2.C 3.解析：扇形的国心角为a=60=吾，故孤长为1-经面积 为S=××2= 3 答案等 课堂互动学案 [例1][解](1)202°30'=202.5°= 5 (2)-2x= ×(9） 6 =-75°. (3)方法-（化为孤度）：a=15”=15×0-音， 9=105°=105×180-12 π 7元 显s爸<音<1<径故KKK0=9 方法二（化为角度）： ×( °=105°. 显然，15°<18°<57.30°<105°.故a<3<y<0=9. 变式训练 1.解：(1)5 ×() 6- =15330°. 6 7元。 =-105° (310=10X7高0-0 (4)-855°= 855X7高0=-1 [例2][解]角的终边在x轴上的角的集合为 {aa=kπ，k∈Z},角的终边在y轴上的角的集合 为{aa=受+x,eZ, ∴角的终边在坐标轴上的角的集合为 aa=,k∈zU{a=受+k,keZ} {ea=·受ezU{a=2+1…受k∈z ={aa=受meZ}. 变式训练 2.解折：10a1=-570°=-7-1g-=-2×2x+要， 180 6 ,=750°-750-2=2×2r+晋 1806 故a1= 1号-警a1的终边在第二拿限的终边 19π 在第一象限。 (2)月=38=3×180°=108， 55 月=-音=-×180=-60. 3 3 设01=108°+k1·360°(k1∈Z),