7.1.1 角的推广（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 第七章 三角函数 7.1任意角的概念与孤度制 7.1.1角的推广 课程标准 素养解读 1.了解角的概念 1.根据角的概念培养数学直观和逻辑推理素养 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义 2.通过学习终边相同的角，象限角提升数学建 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表 模素养 示这些角 对应学生用书P] ● 课前。预习学案 [情境引入] 3.角的分类 1.当钟表慢了（或快了）一点时，我们会将分针按某个 名称 定义 图形 方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中，分针 条射线绕其端点 转动的方向是否相同？ 正角 按逆时针方向旋转 提示：不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟 形成的角 01 表快了，要逆时针转动分针 一条射线绕其端点 2.在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻 负角 按顺时针方向旋转 转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少 形成的角 度？转过的度数还能用0°到360的角表示吗？ 提示：因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不 零角 条射线没有作任 何旋转形成的角 A(B) 同，因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋 转720°或逆时针旋转720°，“向前翻转两周半”可以 是颜时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角 ?思考1.当角的始边和终边确定后，这个角就被确 定了吗？ 都不在0°~360°，不能用0°到360°的角表示. 提示：不是的.虽然始、终边确定了，但旋转的方向 [知识梳理] 和旋转量的大小（旋转圈数）并没有确定，所以角 [知识点一]任意角的概念 也就不能确定 1.角的概念 2.你能说出角的三要素吗？ 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所 提示：角的三要素是顶点、始边、终边 成的图形. 3.正角、负角、零角是根据什么区分的？ 2.角的表示 提示：根据组成角的射线的旋转方向. 如图，①始边：射线的起始位B 4.如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是 置OA; 零角吗？ ②终边：射线的终止位置OB; 提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与 ③顶点：射线的端点O: 始边重合的角不一定是零角，如360°，-360°等， ④记法：图中的角a可记为“角a”或“∠a”或 角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射 “∠AOB”. 线的旋转. 1 必修第三册 数学B [知识点二]平面直角坐标系中的任意角 (4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{xx=· 1.象限角 360°-90°，k∈Z}与{xx=k·360°+270°，k∈Z} 在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角 均表示终边在y轴的非正半轴上的角的集合. 的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在 。思考5.相等的角终边一定相同吗？不相等的角 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终 终边一定不同吗？ 边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个 提示：相等的角终边一定相同；不相等的角终边可 象限 能相同，也可能不同 2.各象限角的集合 6.角B=a十k·720°，k∈Z,B与a终边相同吗？ 象限角 象限角a的集合表示 提示：3=a+2k·360°，故3与a终边相同. 第一象限角 {ak·360°<a<k·360°+90°，k∈Z 7.把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否 第二象限角 {ak·360°+90°<a<k·360°+180°，k∈Z} 定就是某一个象限的角？ 第三象限角 ak·360°+180°<a<k·360°+270°，k∈Z} 提示：不一定.因为象限角是指的当角的始边与x 第四象限角 {ak·360°+270°<a<k·360°+360°，k∈Z 轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说 这个角是第几象限角.如果一个角的终边在坐标轴 3.终边落在坐标轴上的角 上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴 终边落在x轴的非负 {aa=k·360°，k∈Z 线角. 半轴上的角的集合 终边落在x轴的非正 8.若角a,3满足S={33=a十k·360°，k∈Z)时，角 {aa=k·360°+180°，k∈Z 半轴上的角的集合 a,3是否是终边相同的角？ 终边落在x轴上的角 提示：当角a,3满足S={βB=a十k·360°，k∈Z {aa=k·180°，k∈Z 的集合 时，表示角a与3相隔整数个周角，即角a,B终边 终边落在y轴的非负 {aa=k·360°+90°，k∈Zh 相同 半轴上的角的集合 终边落在y轴的非正 [预习自测] 半轴上的角的集合 {aa=k·360°+270°.k∈Z 1.下列各命题正确的是 终边落在y轴上的角 A.终边相同的角一定相等 {aa=k·180°+90°，k∈Z 的集合 B.第一象限角都是锐角 终边落在坐标轴上的 {aa=k·90°，k∈Z} C,锐角都是第一象限角 角的集合 D.小于90的角都是锐角 4.终边相同的角 答案：C 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成 2.一1060°的角终边落在 一个集合S={33=a+k·360°，k∈Z},即任一与 A.第一象限 B.第二象限 角a终边相同的角都可以表示成角a与整数个周 C.第三象限 D.第四象限 角的和. 解析：A[因为一1060°=-3×360°+20°，所以 5.对终边相同的角的理解 一1060°的角终边落在第一象限.] 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成一 3.在（一360°，0）内与角1250终边相同的角是 个集合，它们彼此相差·360°(k∈Z),即S=〈13 解析：与1250°角的终边相同的角a=1250°+k =a+k·360°，k∈Z}. ·360°， (1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重 合，角的始边与x轴的非负半轴重合， .-360°<a<0°，. 161<k<-125 36 36 (2)a是任意角且k为整数. ,k∈Z,.k=-4,.a=-190 (3)k·360°与a之间用“十”号连接 答案：一190 课堂。互动学案 对应学生用书P2 题型 任意角的概念 ②始边相同而终边不同的角一定不相等； [例1门(1)下列结论： ③小于90°的角是第一象限角； ①三角形的内角必是第一、二象限角： ④钝角比第三象限角小； 第七章三角函数 ⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角， [思路点拨]解答本题(1)用a除以360°，使余数 其中正确的结论为 (填序号) 为正，且使余数在[0°，360°)即可；(2)根据终边相 汇思路点拔利用任意角的概念判断 同角的定义，用公式a十k·360列不等式求解. [解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第 [解](1)，-1910°÷360°=-6余250°， 二象限角，故①不正确： .-1910°=-6×360°+250°， ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故② .3=250°，从而a=一6×360°+250°是第三象 正确； 限角 ③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不 (2)令0=250°+k·360(k∈Z), 正确； ∵-720°≤0<0， ④钝角大于一100°，而一100°的角是第三象限角，故 ∴.-720°≤250°+k·360°<0°， ④不正确； ⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或 即器<<一器 锐角，故⑤不正确. ,k∈Z,.k=-1或-2. [答案]② 即250°+(-1)·360=-110°， (2)若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过 250°+(-2)·360°=-470°. 的角度为 .0=-110°或0=-470°. A.80° B.-80° 规律方法 C.960 D.-960° 1.终边落在直线上的角的集合的步骤 解析：D[:40÷60 号360×号-240.分 (1)写出在0°360°范围内相应的角. (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合 针是顺时针旋转，.时针走过2小时40分，分针转 (3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁. 过的角的度数为一2×360°一240°=一960°，故 2.终边相同角常用的三个结论 选D.] (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍， 规律方法 (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整 理解与角的概念有关问题的关键 数倍. 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平 (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向 90°的整数倍 与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧， ◇[变式训练] 判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需 2.在与530°角终边相同的角中，求满足下列条件 要举一个反例即可、 的角， ◇[变式训练] (1)最大的负角； 1.给出下列四个结论：①一15°是第四象限角：②185 (2)最小的正角； 是第三象限角：③475°是第二象限角；④一350°是第 (3)在区间[-720°，一360°)内的角. 一象限角.其中正确的个数为 解析：与530°角终边相同的角为k·360°十530°，k A.1B.2C.3D.4 ∈Z. 解析：D[①一15°在第四象限； (1)由-360°<k·360°+530°<0°且k∈Z,可得k ②180°<185°<270°在第三象限； =一2，故所求的最大负角为一190°. ③475°=360°+115°，而90°<115°<180°，所以 (2)由0°<k·360°+530°<360°且k∈Z,可得= 475°在第二象限； 一1，故所求的最小正角为170°. ④-350°=-360°+10°是第一象限角. (3)由-720°≤k·360°+530°<-360°且k∈Z,可 所以四个结论都是正确的.] 得k=一3.故所求的角为一550. 题型二 终边相同的角 题型三 区间角 [例2]已知a=-1910°.(1)把a写成3+k·360°(k [例3]设A={a90°+k·360°≤a≤180°+ ∈Z,0°≤3<360°)的形式，指出它是第几象限角： k·360°，k∈Z,B为终边在如图所示阴 (2)求0，使0与a的终边相同，且一720°≤0<0°. 影部分中的角的集合，求A∩B. ·3 必修第三册 数学B [思路点拨"先写出集合B,再求A∩B. 当k为奇数时，令k=2n十1，n∈Z,则225°+n·360°< [解]图中的阴影部分表示终边由一45°逆时针旋转 号<270°十n·360,此时，号为第三象限角。 到120°的所有角，故B={a一45°+k·360°<a<1209 十k·360°，k∈Z}(注意不含边界)， “号为第一或第三象限角。 又.A={a90°+k·360°≤a≤180°+k·360°，k∈Z}, 规律方法 ∴.A∩B={a|90°+k·360°≤a<120°+k· (1)解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定 360°，k∈Z}. 规律方法 出加或号的范围，再根据与n的关系进行讨论。 区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角. (2)一般地，要确定。所在的象限，可以作出n等分 其写法可分为三步： (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止 各个象限的从原点出发的射线，它们 边界； 与坐标轴把周角等分成4个区域，从 (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 x轴的正半轴起，按逆时针方向把这 360°到360°范围内的角α和3，写出最简区间 4n个区域依次循环标上号码1、2、3、 {xa<x<3},注意，若含边界，则不等式中应带 4,则标号是几的区域，就是为第几 “=”; 象限角时，Q终边可能落在的区域，&所在的象限就 7 (3)起始、终止边界对应角a、B,再加上360°的整 可直观地看出. 数倍，即得区间角集合。 ◇[变式训练] 例如，已知角α所在的象限，可用如图求角受所在的 3.如图，角α终边在图中阴影部 象限，也可以用下表来表示： 分，试指出角a的范围。 75° 30 a所在的象限 解：与30°角的终边在一条直线 0 上的角的集合为S1={aa=309 受所在的象限 、三 二、四 二、四 十k·180°，k∈Z},与180°一75°=105°角的终边在 (3)这类问题也可采用特值法判断角的终边位置，如 一条直线上的角的集合为S2={aa=105°十k· 本例中号，45+k·180°<号<90°+k·180,k∈Z, 180°，k∈Z},因此，在图中阴影部分的角a的范围 为{a30°+k·180°≤a<105°+k·180°，k∈Z}. 令=1,23,4分别得号的终边位于第三、一、三、 题型四 象限角的判断 象限，如此循环往复，从而可断定？是第一或第三象 [例4] 已知。为第二象限角，间2，号分别是第几象 限角， 限角？ ⊙[变式训练] 汇思路点拨]由角α为第二象限角，可以写出aα的范 4.若α是第二象限角，则号是 围：90°+k·360°<a<180°+k·360°，k∈Z,在此基础 A.第一象限的角 上可以写出2，受的范围，进而可以判断出它们所在 B.第二象限的角 的象限。 C,第四象限的角 [解]90°+k·360°<a<180°+k·360°，k∈Z D.第一象限或第二象限或第四象限角 ∴.180°+2k·360°<2a<360°+2k·360°.k∈Z 解析：D[,90°+k·360°<a<180°+360°·kk∈Z ∴2a是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正 ÷30+120,号<60+120，k∈Z 半轴上的角。 同理45+令·360<号<90+冬·360 当6=0时，30<号<60，号是第一象限角。 当k为偶数时，不妨令k=2,n∈Z,则45°+n·360°< 当k=1时，150<号<180，号是第二象限角 号<90十n…360,此时，号为第一象限角： 当=2时，270<号<300，号是第四象限角.] 第七章三角函数 随堂。步步夯实 对应学生用书P4 1.下列命题中正确的是 ( 4.集合{ak·180≤a≤k·180°+ A.终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 45°，k∈Z中角表示的范围（用 B.第二象限角一定是钝角 阴影表示)是图中的 C.第四象限角一定是负角 (填序号) D D.始边相同而终边不同的角一定不相等 解析：集合{ak·180≤a≤k· 解析：D[A中的角应与直角终边相同，B中如480°不 180°+45°，x∈Z}中，当k为偶 是钝角，C中如300°不是负角，只有D正确.] 数时，此集合与{a0°≤a≤45} 2.与600终边相同的角表示为(k∈Z) ( 表示终边相同的角，位于第一象限；当飞为奇数时，此 A.k·360°+220 B.k·360°+240° 集合与{a180°≤a≤225}表示终边相同的角，位于第 C.k·360°+60 D.k·360°+260 三象限.所以集合{ak·180°≤a≤k·180°+45°，k∈Z} 解析：B[600°=240°+360°， 中角表示的范围为图②所示。 ∴.600°与240终边相同. 答案：② .与600°终边相同的角即为与240终边相同. 5.已知角的集合M={aa=30°+k·90°，k∈Z},回答下 选B.] 列问题： 3.已知-990°<a<-630°，且a与120°角的终边相同，则 (1)集合M中大于-360°且小于360°的角是哪几个？ a- (2)写出集合M中的第二象限角3的一般表达式. 解析：因为α与120°角终边相同， 故有a=k·360°+120°，k∈Z. 解，0令-300<30+·80<360，得-号<<号 3 又因为-990°<a<-630°， 又k∈Z,.k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,.集合M 所以-990°<k·360°+120°<-630°， 中大于一360°且小于360°的角共有8个，分别是 即-1110°<k·360°<-750. -330°，-240°，-150°，-60°，30°，120°，210°，300°. 当k=-3时，a=(-3)×360°+120°=-960°. (2),集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， 答案：-960 .3=120°+k·360°，k∈Z 对应学生课时P1 ● 课后。素养提升 基础过关 3.给出下列四个结论：①一15°角是第四象限角； JI CHU GUO GUAN ②185°角是第三角限角；③475°角是第二象限角； 1.与600角终边相同的角可表示为 ( ④一350°角是第一象限角.其中正确的个数为 A.k·360°+220(k∈Z) ( B.k·360°+240°(k∈Z) A.1 B.2 C.k·360°+60(k∈Z C.3 D.4 D.k·300°+260°(k∈Z) 解析：D[①一15°角是第四象限角；②因为180 解析：B[,600°=360°+240°，.与600°角终边相 <185°<270°，所以185°角是第三角限角；③因为 同的角可表示为k·360°+240°(k∈Z).] 475°=360°+115°，90°<115°<180°，所以475°？角是 2.设集合A={0|0为锐角}，B={00为小于90°的 第二象限角；④因为-350°=一360°十10°，所以 角}，C={θ0为第一象限角}，D={00为小于90° 一350°角是第一象限角.所以四个结论都是正确的.门 的正角}，则下列等式中成立的是 ( ) 4.在一720°~0°范围内所有与30°角终边相同的角为 A.A=B B.B=C () C.A=C D.A=D A.-330 B.-690° 解析：D[集合A中锐角0满足0°<0<90°；而集 C.-690°或-330°D.-300°或-330° 合B中0<90°，可以为负角；集合C中0满足k· 解析：C[所有与30°角终边相同的角可表示为B 360°<0<k·360°+90°，k∈Z;集合D中0满足0 =30°+k·360°(k∈Z),则令-720°≤30°+k· <0<90°.故A=D.] 360°<0°(k∈Z),得-750°≤k·360°<-30°(k∈ ·5· 必修第三册 数学B Z),解得750°、 360三363kk,从而=2或 (2)由0°<k·360°+530°<360°且k∈Z,可得k= -1, k=-1,代入得B=-690°或3=-330°.故选C.] 故所求的最小正角为170°. 5.若a与3终边相同，则a一3的终边落在 ( (3)由-720°≤k·360°+530°<-360°且k∈Z,可 A.x轴的非负半轴上 得=一3，故所求的角为一550° B.x轴的非正半轴上 11.写出终边在直线y=x上的角的集合. C.y轴的非负半轴上 解析：终边在直线y=x上的角的集合为： D.y轴的非正半轴上 S=S1US2={aa=45+k·360°，k∈ZU{aa 解析：A[,a=3十k·360°，k∈Z,.a-3=k· =225°+k·360°，k∈Z} 360°，k∈Z,.其终边在x轴的非负半轴上.] ={aa=45°+2k·180°，k∈Z}U{aa=45°+(2k 6.若α是第一象限角，则下列各角中不是第四象限角 +1)·180°，k∈Z 的是 ( ={aa=45°+180°的整数倍} A.90°-a B.90°+a ={aa=45°+n·180°，n∈Z}. C.360°-a D.180°+a 解析：ABD[a是第一象限角，则一a是第四象限 能力提升 NENG LI TI SHENG 角，所以360°一a为第四象限角，选ABD.] 12.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的 7.一1040°角在第 象限 角，并判断它们是第几象限的角： 解析：与一1040°角终边相同的角可表示为a=k· (1)-120°. 360°+(-1040°)，当k=3时，a=40°，所以-1 (2)640°. 040°角与40°角的终边相同，故一1040°角的终边在 解析：(1)与一120°终边相同的角的集合为M={3 第一象限， 13=-120°+k·360°，k∈Z. 答案：一 当k=1时，3=-120°+1×360°=240°， 8.与2020°角终边相同的最小正角是 角. 所以在0°到360°范围内，与一120°终边相同的角 解析：因为与2020°角终边相同的角是2020°+k· 是240°，它是第三象限的角. 360°(k∈Z),所以当=一5时，与2020°角终边相 (2)与640°终边相同的角的集合为M={33= 同的最小正角是220°角. 640°+k·360°，k∈Z}.当k=-1时，3=640° 答案：220 360°=280°， 9.(多空题)(2019·河南省实验中学高一检测)如图 所以在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为 (1)(2),从OA旋转到OB,OB1,OB2时所成的角 280°，它是第四象限的角. 度a= B= ,y= 13.已知角3的终边在直线√5.x一y=0上. (1)写出角3的集合S, B 210° 150/ (2)写出集合S中适合不等式-360°<3<720°的 6女30 元素 解析：(1)如图，直线x一y=0过原点，倾斜角为 (1) (2) 60°，在0°~360°范围内，终边落在射线OA上的角 解析：题图(1)中的角是一个正角，a=390°.题图 是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以 (2)中的角一个是负角、一个是正角，3=一150°，Y 射线OA,OB为终边的角的集合分别为 =60°. S1={33=60°+k·360°，k∈Z}, 答案：390°-150°60° S2={3B=240°+k·360°，k∈Z}, 10.在与530°终边相同的角中，求分别满足下列条件 A 的角. 3x-y=0 (1)最大的负角； 609 (2)最小的正角； (3)在-720°~-360°范围内的角. 解析：(1)与530°终边相同的角为k·360°+530°， B k∈Z.由-360°<k·360°+530°<0°且k∈Z,可 所以，角B的集合S=S1US2={3B=60°+k 得k=一2，故所求的最大负角为一190°. ·360°， ·6 第七章三角函数 k∈ZU{3=60°+180°+k·360°，k∈Z={33 n=一2，-1,0,1,2,3.所以集合S中适合不等式 =60°+2k·180°，k∈Z}U{B=60°+(2k+1)· -360°<3<720°的元素为60°-2×180°= 180°，k∈Z}={33=60°+n·180°，n∈Z. 300°；60°-1×180°=-120°； (2)由于-360°<3<720°，即-360°<60°+n· 60°+0×180°=60°；：60°+1×180°=240°： 180<720weZ.解得-名<a<号w∈7.所以 60°+2×180°=420°；60°+3×180°=600°. 7.1.2孤度制及其与角度制的换算 课程标准 素养解读 1.理解弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间 通过学习弧度制的有关概念及表示， 的互化 重点培养学生的数学抽象、直观想象 2.体会引入弧度制的必要性 素养 3.理解弧度制下弧长与面积公式 课前。预习学案 对应学生用书P5 [情境引入] 2思考1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小与圆 1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 的半径是否有关系？ 提示：周角的30等千1度 提示：一定大小的圆心角α所对应的孤长与半径 的比值是唯一确定的.所以1弧度的角的大小与 2.在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用 “尺”作单位，有不同的单位制，度量质量时，可以使 圆的半径无关 用“千克”“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度 [知识点二]角度与弧度的换算 制之外，是否也有不同的单位制呢？ 1.角度与弧度的换算 提示：有不同的单位制，即弧度制， 角度化弧度 弧度化角度 [知识梳理] 360°=2xrad 2πrad=360° [知识点一]度量角的单位制 1.角度制 180°=元rad x rad=180 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定 周角的60等于1度，记作1日 1"-180 rad 1 rad- 180 2.弧度制 0.01745rad ≈57.30° (1)弧度制的定义 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的 角，用符号rad表示，读作弧度： 度 0° 15° 30° /45 60 75 90 120 1359 150 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制. 0 π 5π 2π 3π 5π (2)任意角的弧度数与实数的对应关系 度 6 4 3 1 正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个 负数；零角的弧度数是0. 度 180° 210 225 240 270° 300° 315° 330°360 (3)角的弧度数的计算 7π 3π 5元 11π 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为I,那 度 6 3 2 3 4 2元 么，角a的狐度数的绝对值是1a=是