8.2 一元线性回归模型及其应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教A版）

世五维课堂 课时 数 间 8.2元 纠错空间 学作业 1.已知x与y之间的一组数据： 0 2 3 1 3 5 7 若y与x线性相关，则y与x的经验回 归直线y=ix十a必过点 ( A.（2,2) B.(1.5,0) C.(1,2) D.(1.5,4) 2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y 的回归模型时，分别选择了4种不同模 型，计算可得它们的决定系数R分别 如表： 甲 乙 丙 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 方法总结 哪位同学建立的回归模型拟合效果 最好 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.某产品的广告费用x(单位：万元)与销 售额y(单位：万元)的统计数据如下表， 根据下表可得回归方程y=x十a中的 =10.6,据此模型预报广告费用为10 万元时，销售额约为 万元 广告费用 3 2 5 x(万元) 销售额 49 26 39 58 y(万元) A.112.1万元 B.113.1万元 C.111.9万元 D.113.9万元 4.已知由样本数据(x,y)(i=1,2,3,…, 8)组成的一个样本，得到经验回归方程 为y=2x+0.75,且x=1.125,增加两 个样本点（一2,5）和(1,3)后，得到新样 本的经验回归方程为y=3x十.在新的 经验回归方程下，样本(3,8.7)的残 差为 ·20 数学·选择性必修第三册 线性回怕模型及其应用 A.1.1 B.0.5 C.-0.5 D.-1.1 5.在一项调查中有两个变量x和y,下图 是由这两个变量近8年来的取值数据 得到的散点图，那么适宜作为y关于x 的回归方程的函数类型是 () y 580 560 540 520 500· 038404244464850525456 A.y=a+bx B.y=c+dx C.y=m十n.x D.y=p十qc(q>0) 6.(多选)为研究需要，统计了两个变量x, y的数据情况如下表： X1 T2 X3 In y y y2 y3 yn 其中数据x1,x2,x3,…,xn和数据yy2, y,…yn的平均数分别为x和y,并且计 算相关系数r=一0.8，回归方程为y=x 十a,如下结论正确的为 () A.将以上数据的每个数据都加一个相 同的常数后，方差不变 B.变量x,y的相关性强 C.当x=x1时，必有y=y1 D.i<0 7.预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅 料，配以调味料等经预选、调制等工艺 加工而成的半成品.近几年预制菜市场 快速增长.某城市调查近4个月的预制 菜市场规模y(万元)得到如表所示的数 据，根据数据得到y关于x的非线性回 归方程y=e-a 2 3 4 y e e 第八章成对数据的统计分析 按照这样的速度，预估第8个月的预制 菜市场规模是 万元.（结果用e 表示) 8.在研究两个变量的相关关系时，观察散 点图发现样本点集中于某一条指数曲 线y=er+a的周围.令z=lny,求得经验 回归方程为之=0.25x一2.58，则该模型 的回归方程为 9.已知n组成对样本数据确定的经验回 归方程为y=一x十2且y=4,通过残 差分析，发现两组成对样本数据 （-1.7,2.9),(-2.3,5.1)误差较大， 除去这两组成对样本数据后，重新求得 经验回归直线的斜率估计值为一1.5， 则当x=一4时，y 10.已知变量x,y有如下对应数据. 1 2 3 y 1 3 (1)作出散点图； (2)用最小二乘法求关于x,y的经验 回归方程. 11.在一段时间内，某淘宝网店一种商品 的销售价格x(元)和日销售量Y(件) 之间的一组数据为： 价格 22 20 18 16 14 x(元) 日销售 37 41 43 50 56 量y(件) 求出y关于x的经验回归方程，并说 明该方程拟合效果的好坏。 ·205 课时作业乡 参考数据：之xy:=3992,之x 1 1660. 间 纠错空间 [能力提升] 12.某公司的生产部门调研发现，该公司 第二、第三季度的月用电量y与月份x 线性相关，且数据统计如下： 月份 4 5 6 7 8 9 月用电量 1627 55 46 56 方法总结 (千瓦时) 但核对电费报表时发现一组数据统计 有误 (1)请指出哪组数据有误，并说明 理由； (2)在排除有误数据后，求月用电量与 月份之间的经验回归方程y=x十a, 并预测统计有误的那个月份的用电 量.（结果精确到0.1） 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 13.为了研究某种细菌随时间x的变化繁 (1)计算y与x的相关系数r(保留三 殖个数Y的变化，收集数据如下： 位小数)； 间 时间 (2)求y关于x的线性回归方程，并预 纠错空间 1 2 3 6 x/天 测该地区2025年新能源汽车购买 繁殖个 数量. 6 12 25 49 95 190 数Y 参考公式r= (1)将天数做解释变量，繁殖个数做相 2(x,-x)(y:-) 应变量，作出这些数据的散点图； (2)描述解释变量与响应变量之间的 含x-- 关系 -,a=j-bx. 2x,-o) 参考数值：3≈3.6056，含(x-习 (y:-y)=3.6. 方法总结 [素养培优] 14.近年来我国新能源汽车行业蓬勃发 展，新能源汽车不仅对环境保护具有 重大的意义，而且还能够减少对不可 再生资源的开发，是全球汽车发展的 重要方向.“保护环境，人人有责”，在 政府和有关企业的努力下，某地区近 几年新能源汽车的购买情况如表 所示： 年份x 2019202020212022 2023 新能源汽车购买 0.400.701.101.50 1.80 数量y(万辆) ·206·参考答案 x,y,x的相关数据分别减去x,y,z,记a=（x1一x,x2 -I,x3-E,x-,x;-x),b=(y-y,y2-y,y3-y, y4一y,y5一y),C=（z1一2,22-2,23-，24-2，- z).则a=(-1,1,-3,3,0),b=(0,0,-1,1,0),c= (-1,2,-2,1,0).于是c0sa,b) -1×0+1×0+(-3)×(-1)+3×1+0×0 √(-1)2+12+(-3)2+32+02×√02+02+(-1)2+12+02 25X2V0.9≈0.95， 6 -1×(-1)+1×2+(-3)×(-2)+3×1+0×0 o0s(a,c〉= √(-1)2+12+(-3》2+32+0×√/(-102+2+(-22+12+02 12 25×√105 =3y2≈0.85，所以y与x,z与x正相 关，又cos(a,b)>cos(a,c),则y与x之间的相关性比 x与x之间的相关性强 11.解：画出散点图如图所示，由图可知x,y有线性相关 关系 70 60 50 40 30· 0 2468x =5,y=47.5,2x=120,2=9900, i=1 2x:=1080, 四 √宫-)2-4) 1080-4×5×47.5 ≈0.9827. √(120-4×5)(9900-4×47.5) 故x与y之间具有很强的正相关关系. 12.解析：(1)由已知得样本平均数y=12+10+16+14+18 5 14,从而广阳岛这种鸟数量的估计值为14×50=700. (2)x=0.18,y=14,∑(x:-x)(y:-y)=0.009×2+ ▣1 0.028×4+0.012×2+0.016×4=0.218, 故样本的相关系数，0218≈0.94 0.232 (3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层， 再对50个地块进行分层抽样， 理由如下：由(2)知各样区的这种鸟数量与植物覆盖面 积有很强的正相关，由于各地块间植物覆盖面积差异 很大，从而各地块间这种鸟数量差异也很大，采用分层 抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致 性，提高了样本的代表性，从而可以获得广阳岛这种鸟 数量更准确的估计. 答案：(1)700 (2)0.94 ·23 课时作业乡 (3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层， 再对50个地块进行分层抽样，理由见解析 13.解：2=0(120+108+…十99+108)=107.8， y=0(84+64+…+57+71)=68, 2d=120+108g+…+99+1o8=16584 2=84+64+…叶57+71=47384， 2x,=120×84+108X64+…+108X71=73796 所以，相关系数为 73796-10×107.8×68 r= W√(116584-10×107.82)(47384-10×682) ≈0.7506， 故两次数学考试成绩有显著的线性相关关系， 14.解：(1)由样本数据得(x,i)(i=1,2,3,…,16)的相关系 数为 (x,-D)(i-8.5) =1 ②x-√/-8. -2.78 ≈-0.18； 0.212×√16×18.439 由于|r<0.25,因此可以认为这一天生产的医疗物资 尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 (2)由于x=9.97,s≈0.212， 由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在 (元-35，x十3s)以外，因此需对当天的生产过程进行 检查 8.2一元线性回扭模型及其应用 1.D[:2=0+1+2+3=1.5, 4 y=1+3+5+7=4, 4 回归直线必过点(1.5,4).故选D.] 2.A[决定系数R越大，表示回归模型的拟合效果 越好.] 3.C[花样本中心点的坐标（仔，43）代入回归方程得 a=5.9,所以广告费用为10万元时，估计销售额约为 10.6×10+5.9=111.9(万元).] 4.D[2=1.125×8=9,增加两个样本点后x的 平均数为9-2+1=0.8 10 y=2×1.125+0.75=3…含%=3×8=24，增加两 个样本点后y的平均数为24+5+3=3.2， 10 3 巴五维课堂 3.2=3×0.8十i,解得：=0.8，∴.新的经验回归方程 为：y=3x十0.8， 则当x=3时，y=9.8,.样本(3,8.7)的残差为 8.7-9.8=-1.1.J 5.B[散，点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除 选项C,D,故选B.] 6.ABD[A.因为方差是表示数据波动大小的量，将一组 数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，所以 A正确；B.相关系数r=-0.8,r>0.75,变量x,y的 相关性强，所以B正确；C.当x=x1时，不一定有y=少， 因此C错误；D.因为r=一0.8<0，是负相关，所以< 0,故D正确.] 7.解析：令x=h=号-a,则x=1+2+3+4=马， 4 3计445+6-号，所以号-号-a→a=-4,则=l时 4 =音十4，所以x=8代入回归方程，则=-登，可得 y=e号万元. 答案：e 8.解析：因为之=0.25x一2.58，之=lny 所以y=e0,25x-2.58」 答案：y=e0.25x-2.58 9.解析：由样本数据点集{(x,y)i=1,2,…,n}求得的经验 回归方程为y=一x十2，且y=4,所以x=一2，故数据的样 本中心点为（一2,4）， 去掉(-1.7,2.9)，(-2.3,5.1)， 重新求得的经验回归直线的斜率估计值为一1.5， 经验回归方程设为y=-1.5.x十a,代入(-2,4)， 求得a=1, 所以经验回归直线a的方程为：y=一1.5.x十1，将x=一4 代入经验回归方程，求得y的估计值为一1.5×（一4）十 1=7. 答案：7 10.解：(1)散点图如图所示. y 5 1 01234x (2)z=1+2+3+4-5,=1+3+4+5_13 4 2y= 4 49 含x.=1+6+12+20=39. ·234 数学·选择性必修第三册 x2=1+4+9+16=30, 1 39-4×2 30-4×(号)】 =10 所以=吕即为所桌的经验回归方程。 11.解：作出散点图（此处略），观察散点图，可知这些点散 布在一条直线的附近，故可用线性回归模型来拟合 数据」 因为元=22+20+18+16+14=18， 5 y=37+41+48+50+56=45.4, 5 所以6=39925X18X45.4=-2.35, 1660-5×182 a=45.4-(-2.35)×18=87.7. 所以经验回归方程为y=-2.35x十87.7. y:一y:与y:一y的值如下表： 1 0.3 2.4-0.11.2 yi-y -8.4 -4.4-2.4 4.610.6 计算户(y-)2=8.3,(y-y)2=229.2,所以R2= =1 1-8020.964 因为0.964很接近于1， 所以该模型的拟合效果比较好， 12.解：(1)作散，点图如图所示.因为用电量与月份之间线 性相关，所以散点图的样本点分布在经验回归直线附 近比较窄的带状区域内，而点(7,55)离其他点所在区 域较远，故(7,55)这组数据有误. y千瓦时) 65 5 45 5 25 15 5 0456789x (2)排除(7,55)这一组有误数据后，计算得x=6.4,y= 30.2. 因为= 是x:-5xy ≈9.98， x-5x 2=1 a=y-bx≈-33.67， 所以经验回归方程为y=9.98x一33.67， 当x=7时，y≈36.2， 即7月份的用电量大约为36.2千瓦时. 参考答案 13.解：(1)由表中数据作散点图如图所示. y/个 200 180 160 140 120 100 80 60 40H 20 。。 0123456x1天 (2)由散，点图看出样本点分布在一条指数函数y= c1e2的图象的周围，其中G1和c2是待定系数.于是令 Z=lnY,则之=ix十a(a=1nc1,i=c2),因此变换后的 样本点应该分布在直线之=x十à的周围，因此可以用 经验回归模型来拟合Z与x的关系，则变换后的样本 数据如表： 1 56 Z1.792.483.223.894.555.25 由表中数据得到经验回归方程z=0.69x十1.115. 因此细菌繁殖个数关于时间的非线性经验回归方程为 y=e°.69x+1.115 14.解析：(1)元=2021×5+(-2)+(-1)+0+1+2 5 2021,y=40+0-70+10+1.50+1.80-1.10,2 5 3、 (x:-x)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,∑( =1 y)2=(-0.7)2+(-0.4)2+02+0.42+0.72=1.3所以r= 2(z-x)y- 3.6 V而X,房≈3.60S6≈ 3.6 0.998; (2)由(1)知，8=白1 (x,-(4- 2a-2 2=38=0.36, 10 a=y-6x=1.1-2021×0.36=-726.46, 所以y关于x的线性回归方程是y=0.36x一726.46， 当x=2025时，y=0.36×2025-726.46=2.54(万 辆)，该地区2025年新能源汽车购买数量约为2.54 万辆. 8.3列联表与独立性检验 1.ACD[x2的值不可能为负值；独立性检验显示“患慢性 支气管炎和吸烟习惯有关”即指有一定的把握说他们相 关，或者说有一定的出错率；2×2列联表中的4个数据 有一定的关系，不能为任意实数.] 2.C[根据题意.结合题目中的数据，列出2×2列联表， 求出X的观测值，对照数表可得出概率结论，这种分析 数据的方法是独立性检验，] ·2 课时作业乡 3.D「根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不 超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优 秀有关.] n(ad-bc)2 4.B[因为X=a+b(c十0(ac6+D,所以A中 X-14X10-12) 9×8×5×6 ≈0.026，B中X=14X20-62 8×7×6×7 14×(15-8)2 1.17,C中X2= 7×9×7×5 ≈0.31，D中x2= 14×(8-15)2 5×7×9X7 -≈0.31，比较可知1.17最大，故选B.] 5A[设男生人教为，则女生人数为受， 则列联表如下： 喜欢该软件情况 性别 合计 喜欢 不喜欢 男生 5.x 6 6 x 女生 工 6 合计 3x 2 若有95%的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，则 x2≥3.841， 即7二2后·6-若·学3.84，解得》 8 10.24. 又因为营，受，音晋为整数，所以男生至少有12人，故 选A.] 6,AB[由事件的独立性知，A选项正确；由独立性检验的 意义知，B选项正确；X的大小是判定事件A与B是否 相关的一种方法，不是唯一依据，C选项不正确；若事件 A与B相关，则A发生B可能发生，也可能不发生，D选 项不正确.门 7.解析：由2×2列联表的性质，可得：a=18一6=12，b= 20-12=8,6+d=30-20,可得d=4,所以a-b+d =8. 答案：8 8解析：独立性检验的前提是假设两个分类变量无关系， 然后通过随机变量X的观测值来判断假设是否成立. 答案：无关系不成立 9.解析：由公式计算得X2=4.882. 因为x2>3.841,所以我们有95%的把握认为服用此药 的效果与患者的性别有关，从而出错的可能性为5%. 答案：4.8825% 5