7.5 正态分布-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教A版）

世五维课堂 空 数课时 间 7.5 纠错空间 学作业 [基础过关] 1.已知随机变量X~N(1,o2),若P(0<X <3)=0.5,P(0<X<1)=0.2,则P(X <3)= ( ) A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8 2.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随 机变量X,且X~N(30,2).记一天中 旅客人数不少于26万人的概率为P。, 则P。的值约为 ( (参考数据：若XN(u,o2),有P(u一o <X≤4十o)≈0.683，) P(u-2o<X≤μ十2o)≈0.954，P(4 方法总结 3o<X≤μ十3)≈0.997 A.0.977 B.0.9725C. 0.954 D.0.683 3.某工厂生产的零件外直径（单位：cm)服 从正态分布N(10,0.04),今从该厂上 午、下午生产的零件中各随机取出一 个，测得其外直径分别为9.75cm和 9.35cm,则可认为 ( ) A.上午生产情况异常，下午生产情况 正常 B.上午生产情况正常，下午生产情况 异常 C.上午、下午生产情况均正常 D.上午、下午生产情况均异常 4.某物理量的测量结果服从正态分布 N(10,62),下列结论中不正确的是()》 A.。越小，该物理量在一次测量中在 (9.9,10.1)的概率越大 B.该物理量在一次测量中大于10的概 率为0.5 19 数学·选择性必修第三册 正态分市 C.该物理量在一次测量中小于9.99与 大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中落在(9.9， 10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 5.(多选)某市组织一次高三调研考试，考 试后统计的数学成绩X(单位：分)服从 正态分布，其概率密度函数为f(x)= e需，则下列说法正确的是 1 10√2元 () A.这次考试的数学平均成绩为80分 B.分数在120分以上的人数与分数在 60分以下的人数相同 C.分数在110分以上的人数与分数在 50分以下的人数相同 D.这次考试的数学成绩的标准差为10 6.(多选)已知随机变量X服从正态分布 N(4,o2),其正态曲线在(-∞，80)上单 调递增，在(80，十∞)上单调递减，且 P(72<X≤88)=0.6827，则() A.=80 B.σ=4 C.P(X>64)=0.97725 D.P(64<X≤72)=0.1359 7.某种零件的尺寸X(单位：cm)服从正态分 布N(3,1),则不属于区间(1,5)这个尺 寸范围的零件数约占总数的 8.设随机变量服从标准正态分布N(0,1), 在某项测量中，已知在（一∞，一1.96] 内取值的概率为0.025，则P(ξ|< 1.96)= 第七章随机变量及其分布 课时作业乡 9.新高考中，某省对政治、地理、化学、生 11.在某次数学考试中，考生的成绩X服 物四门选考科目进行赋分制度计分，即 从正态分布N(90,100) 将每门选考科目的考生原始成绩从高 (1)试求考试成绩X位于区间(70， 纠错空间 分到低分划分为A、B、C、D、E共5个等 110)上的概率是多少？ 级，参照正态分布原则，确定各等级人数 所占比例分别为10%，35%，35%， 18%,2%,选考科目成绩计入考生总成 绩时，将A至E等级内的考生原始成 绩，依照等比例转换原则，分别转换到 [86,100],[71,85],[56,70],[41,55], [30,40]五个分数区间，得到考生的赋 分等级成绩，如果该省某次高考模拟考 试政治科目的原始成绩X~N(50, 256),若一名学生想取得A等的赋分等 级，则他的原始分数最低为 (2)若这次考试共有2000名考生，试 分.（分数保留整数） 估计考试成绩在(80,100)内的考生大 附：①若X~N(,g),Y=X-上，则Y 方法总结 约有多少人？ ~N(0,1);②当YN(0,1)时，P(Y≤ 1.3)≈0.9. 10.设随机变量X~N(2,9),若P(X>c +1)=P(X<c-1). (1)求c的值： (2)求P(-4<x<8) ·197· 世五维课堂 [能力提升] 空 12.某年级的一次信息技术测验成绩近似 间 服从正态N(70,102),如果规定低于 纠错空间 60分为不及格，求： (1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80~90分的学生占多少？ 下年年男年年年年里年年年年年手年年年年手年 方法总结 13.某大型电器企业为了解组装车间职工 的工作情况，从中随机抽取100名职 工进行测试，得到频数分布表如下 所示. 日组装 [155,165) [165,175) [175,185) 个数 人数 6 12 34 日组装 [185,195) [195,205) [205,215] 个数 人数 30 10 8 (1)现从参与测试的日组装个数少于 175的职工中任意选取3人，求至少有 1人日组装个数少于165的概率. ·198 数学·选择性必修第三册 (2)由频数分布表可以认为，此次测试 得到的日组装个数Z服从正态分布 N(u,169),近似为这100人日组装 个数的平均值（同一组数据用该组区 间的中点值作为代表)： ①若组装车间有20000名职工，求日 组装个数超过198的职工人数； ②为鼓励职工提高技能，企业决定对 日组装个数超过185的职工日工资增 加50元，若在组装车间所有职工中任 意选取3人，求这三人增加的日工资 总额的期望 附：若随机变量X服从正态分布N(μ， 。2),则P(u-o≤X≤十o)≈0.6827， P(u-2a≤X≤u+2o)≈0.9545，P(μ 3o≤X≤u+3o)≈0.9973. 第七章随机变量及其分布 [素养培优] 14.零部件生产水平是评判一个国家高端 装备制造能力的重要标准之一，其中 切割加工技术是一项重要技术.某精 密仪器制造商研发了一种切割设备， 用来生产高精度的机械零件，经过长 期生产检验，可以认为该设备生产的 零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2).某机 械加工厂购买了该切割设备，在正式 投人生产前进行了试生产，从试生产 的零件中任意抽取10件作为样本，记 样本的尺寸为x:(i=1,2,3,…,10,单 位：mm),测得的数据如下表： 100.03 100.4 99.92 100.52 99.98 100.35 99.92 100.44 100.66 100.78 用样本的平均数x作为4的估计值， 用样本的标准差s作为。的估计值. (1)按照技术标准的要求，若样本尺寸 均在[μ一3o,+3o](单位：mm)范围 内，则认定该设备质量合格，根据数据 判断该切割设备的质量是否合格 ·199 课时作业乡 (2)该机械加工厂将该切割设备投入 生产，对生产的零件制定了如下两种 空 涧 销售方案（假设每种方案对销售量没 纠错空间 有影响). 方案1：每个零件均按70元定价销售。 方案2：若零件的实际尺寸在[99.7， 100.3](单位：mm)范围内，则该零件 为A级零件，每个零件定价100元，否 则为B级零件，每个零件定价60元 哪种销售方案的利润更大？请根据数据 计算说明， 附：8d≈100601.8，样本方差 -(x-n2 若X~N(μ，G2),则P(μ-o≤4十o) ≈0.6827， 方法总结 P(μ-2o≤X≤μ+2o)≈0.9545. 。。。。。。。。参考答案 PY=20)= Cc9=若=5，P0Y=50)= C。45=15' P(Y=60)= C=3=1」 C。45-15 因此随机变量Y的分布列为 Y 0 10 20 50 60 1 1 P 3 15 15 7.5 正态分布 1.D[由题意可得P(1<X<3)=0.5-0.2=0.3. 随机变量X~N(1,),.P(X<3)=0.3十0.5= 0.8.] 2.A[因为X~N(30,22),所以u=30,=2, ∴.P(26<X≤34)=0.954， 根据正态曲线的对称性可得，P。=P(X≥26)=P(26< X≤34)+P(X>34)=0.954+1-0,954=0.977,] 2 3.B[零件外直径服从正态分布N(10,0.04),∴.根据 3o原则，产品外直径在[10-3×0.2,10+3×0.2] 即[9.4,10.6]之外时为异常. 9.4<9.75<10.6,9.35<9.4,∴.可认为上午生产情况 正常，下午生产情况异常，故选B.] 4.D[考查对正态分布概念和性质的理解，属于简单题. 因为以=10，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率 大于落在(10,10.3)的概率，故D不正确.] 5.ACD[由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80 分，标准差为10，故A,D正确.因为函数图象关于直线x =80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40 分以下的人数相同；分数在110分以上的人数与分数在 50分以下的人数相同，故B错误，C正确.] 6.ACD[因为正态曲线在（一∞，80）上单调递增，在(80， 十∞)上单调递减，所以正态曲线关于直线x=80对称， 所以u=80;因为P(72<X≤88)=0.6827，结合P(u-o <X≤4十σ)≈0.6827，可知o=8; 因为P(-2aX≤十2a)≈0.9545， 且P(X<64)=P(X>96), 所以P(X<64)≈分×(1-0.9545)=合×0.0455 =0.02275,所以P(X>64)=0.97725; 国为P(X≤72)=合1-P(72<X≤88》 =合×1-0.6827)=0.15865， 所以P(64<X≤72)=P(X>64)一P(X>72) =0.97725-(1-0.15865)=0.1359.] 7.解析：属于区间(4一2c,u十2o),即区间(1,5)的取值概率 约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件 数约占总数的1一95.4%=4.6%. 答案：4.6% ·28 课时作业乡 8.解析：因为曲线的对称轴是直线x=0, 所以由图知P(>1.96)=P(≤ -1.96)=0.025, ∴.P(||<1.96)=1-0.025- -1.960 1.96 0.025=0.950. 答案：0.95 9.解析：由题意知：从高分到低分，即A等级人数所占比例 为10%，若A等级的原始分最低为X,又原始成绩X~ N50,256g=50,g=16,令Y=Xe0,则YN0, 1),又P(Y≤1,3)≈0.9，所以PY≥1.3)=1-P(Y≤1.3) ≈0.1，即X50≥1.3，可得X≥50+1.3×16=70.8≈ 16 71分，则他的原始分数最低为71. 答案：71 10.解：(1)由X~N(2,9)可知， 密度函数关于直线x=2对 称（如图所示）， 又P(X>c十1)=P(x< 0c-121+c c-1),故有2-(c-1)= (c+1)一2，所以c=2. (2)P(-4<x<8)=P(2-2X3<x<2+2X3)≈ 95.4%. 11.解：因为X~N(90,100),所以μ=90，o=√100=10. (1)由于X在区间（μ-2a,μ+2o)内取值的概率是 0.9545,而该正态分布中，4-2g=90-2×10=70,4十 2a=90+2×10=110, 于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率 是0.9545. (2)由4=90，o=10,得4-o=80,μ十o=100. 由于变量X在区间(u一o十o)内取值的概率是0.6827， 所以考试成绩X位于区间（80,100)内的概率是 0.6827,一共有2000名考生，所以考试成绩在(80， 100)内的考生大约有2000×0.6827≈1365（人）. 12.解：(1)设学生的得分情况为随机变量X, X~N(70,102),则k=70,a=10. 所以成绩在60一80的学生的比为 P(70-10<X70+10)=0.6826. 所以成绩不及格的学生的占比为 3×1-0.68270=0.15865, 即成绩不及格的学生占15.87%. (2)成绩在80一90的学生比为 2[P(70-2×10<X≤70+2X10）-P(70-10<X≤ 70+10)] =7×(0.9545-0.6827)=0.1359. 即成绩在80~90的学生占13.59%. 13.解：(1)设至少有1人日组装个数少于165为事件A, 则P(A)=1- C2=149 C204 巴五维课堂 (2)这100人日组装个数的平均值为0×(160×6+ 170×12+180×34+190×30+200×10+210×8)= 185,所以=185. 因为。2=169，所以。=13. ①易知μ十。=198，所以P(X>198)=P(X>4十σ)= 2[1-Pg-≤X≤r+o]≈1-0,6827-0.15865， 2 所以日组装个数超过198的人数为0.15865×20000 =3173. ②因为4=185，所以日组装个数在185以上的概率为 0.5. 设这3人中日组装个数超过185的人数为，这3人增加的 日工资总额为，则7=505，且一B(3,0.5),所以E()= 3×0.5=1.5,所以E()=50E()=75元. 4,解：)根据题意知，样本的平均数工三0言x: (100.03+100.4+99.92+100.52+99.98+100.35+ 99.92+100.44+100.66+100.78)=100.3, 方差子=品x-)=品（鸡￡-107） 0×(10601.8-10×10.3)=0.09,所以u 100.3,o=0.3.因为样本尺寸x∈[99.4,101.2]，所以 该切割设备的质量合格. (2)若采用方案2，则可设生产的零件售价为随机变量 ξ，则ξ可以取60,100： 由(1)知，该设备生产的零件尺寸X一N(100.3,0.32), 所以P(=100)=P(99.7≤X≤100.3)=P(-2G≤ X≤）≈2×0.9545=0.47725， P(=60)=1-P(=100)≈1-0.47725=0.52275. 所以随机变量的分布列如下. 60 100 P 0.52275 0.47725 所以的数学期望为E()≈60×0.52275十100× 0.47725=79.09. 因为79.09>70，即采用方案2时每个零件的平均售价 高于采用方案1时的定价，所以方案2的利润更大. 第八章成对数据的统计分折 8.1成对数据的统计相吴性 1.C[C是相关关系，A,B,D是函数关系.] 2.A[对于A,儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与 身高具有正相关关系，A正确； 对于B,儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力 与身高不具有正相关关系，B错误； ·28 数学·选择性必修第三册 对于C,肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身 高不具有正相关关系，C错误； 对于D,BMI指数与身高的相关性很弱，不具有正相关 关系，D错误.] 3.D[有负相关关系的各点整体呈递减趋势，因此点应该 散布在从左上角到右下角的区域内.] 4.C[由线性相关系数r1=0.7859>0知x与y正相关， 由线性相关系数r2=-0.9568<0知u,v负相关，又|n <|r2|,所以变量u与v的线性相关性比x与y的线性 相关性强.门 5.CD[对于A,学生的学籍号与学生的数学成绩没有相 关关系：对于B,一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与 患胃病的人数成负相关关系；对于C,一般情况下，气温 与冷饮销售量成正相关关系；对于D,一般情况下，电瓶 车的质量和行驶每千米的耗电量成正相关关系.] 6.BCD[根据相关系数的意义对每个结论进行分析、判断 可得错误的结论. 对于相关系数r,有以下结论：①当>0时，表明两个变 量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关.②r的绝对 值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝 对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相 关关系. 对于A,当r<0时此结论不成立，所以A不正确 对于B,由相关系数的性质可得一1≤r≤1，所以B正确. 对于C,由相关系数的性质可得正确. 对于D,由相关系数的性质可得正确，故选BCD.门] 7.解析：对于①，正方形的边长a和面积S是函数关系，不 是相关关系；对于②，一般情况下，一个人的身高h和右 手一柞长x是正相关关系；对于③，真空中的自由落体 运动其下落的距离h和下落的时间t是函数关系，不是 相关关系；对于④，一般情况下，一个人的身高h和他的 体重x是正相关关系. 答案：②④ 8.解析：两个变量y与x的相关系数的绝对值越接近于1， 它的线性相关性越强.在甲、乙、丙中，所给的数值中 |一0.98|是最大的值，即乙的线性相关性最强， 答案：乙 9.解：法-x=1.5y=1,2=22,立=56，xy.=-20, =1 =1 1=1 相关系数r= -20-4×1.5×1 =一1. W(22-4×1.5)(56-4×1) 法二：观察四个，点，发现其在一条单调递减的直线上，故 y与x的相关系数为一1. 10.解析：由已知得元=4+6+2+8+5=5，y= 5 4+4十3+5+4=4,2=3+6+2+5+4=4，将题表中 5 5 2