6.3.1 二项式定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教A版）

参考答案 (2)把这四张不同的卡片平均分成2堆，与把这四张不 同的卡片平均分给甲、乙二人是不同的，如甲得编号为 1,2的两张卡片，乙得编号为3、4的两张卡片，与甲得 编号为3、4的两张卡片，乙得编号为1、2的两张卡片是 不同的分法，但若编号为1、2的两张看成一堆，编号为 3、4的两张看成一堆，上面的两种情况实质是一种平均 分成两堆的分法，所以将四张不同卡片平均分给甲、乙 两人，每人2张，相当于把四张不同卡片平均分成2堆 后，再把每次分得的2堆分给甲、乙两人.设平均分成2 堆的方法有工种，则：x·A是将四张不同的卡片平均 分给甲、乙两人的分法，由(1)知：CC=x·A,所以x CC=3(种. A 6.3二项式定理 6.3.1二项式定理 1.C[因为(a十b)”的展开式共有n十1项，而(x十2)"的展开 式共有12项，所以n=11,故选C.] 2.B[(忙-)'的展开式的通项为T4=C, (-1)'x=(-1)rCx0-”,令10-3r=4,r=2,∴x的系 数为C=10.] 3.C[二项展开式第m项的二项式系数为C] 4A[工=C(合 (-2) =C2-5(-2)x5-y', 当r=3时，系数为C23-5(-2)3=-20.故选A.] 5.ABC[二项展开式的通项为T+1= C()广=(-1C·产，根据常数项是15， 可得2n=3k,且(-1)·C=15,验证n=6时，k=4符合题 意，故选ABC.] 6.ABC[令x=-1得(-1-1)5=a,即a=-32,故A正 确.令x=0得(-1)5=a十a1十…十a5,即a十a1十…十a5 =-1,故D不正确.令x十1=y,则(x-1)5=a十a1(x十1) +a2(x+1)2+…十a(x+1)5就变为(y-2)5=a+a1y十 a2y十…十a5y,根据二项式定理知，a2为二项式(y-2)5展 开式中y项的系数，T,+1=CGy(-2y,故a2=Cg·(-2)3 =-80,B正确.a4=C6(-2)'=-10,a3=C号(-2)2 =40.故C正确.故选ABC.] 1:解析：(：-)广展开式的逼项为 T=Cxy（-)厂=(-1rCx-“ 令12一4r=0,则r=3,所以常数项为 T4=(-1)3C=-4. 答案：一4 8解析：(+子)》 的展开式的通项为 ·21 课时作业马 当6,3=0时，r=2, 2 此时常数项为C号=15. 当6,3”为整教时，对应的项为有理项。 2 因为r∈N且r6,所以r可取0,2,4,6，故共有4项为 有理项. 答案：154 9.解析：法一：（双通项法）(1一√)6的展开式的通项为 C·(-√)m=C(-1)”x艺，(1十√)的展开式的通 项为C(W元)”=Cx,则(1-√元)(1十√x)的展开式 的通项为Cg(-1)mCx罗+号，其中m=0,1,2,…,6,n= 0,1,2,3,4.令受+=1，得m+n=2,于是(1-@)(1 十√元)4的展开式中x的系数等于Cg·(一1)°·C十C ·(-1)1·C4+C%·(-1)2·C9=-3. 法二：(1-√)(1十√元)4=[(1-√)(1十)]4(1 √E)2=(1-x)(1-2√E+x). 于是(1-√元)(1十√)的展开式中x的系数为C· 1+ C·(-1)1·1=-3. 答案：-3 10.解：法一：直接利用二项式定理展开并化简. (2x-)广=C(2x)-c(2x)·是+cG2x ()-c2x·(2)+c2x·() c·()）’=32x-80r2+80-0+19- xxx7-xo 法二：先化简再展开。 (2x-2)广=[22x-0]=-1-2xy 高[1-G·2x+g(2xy-c(2x2+ C(2x3)4-C(2x3)5] =-16+10-40+80-80x2+32x. x I 1.解：)因为T=C回（是）=4C宁， =C@(-2)=-2C学， 依题意得4C+2C=162, 所以2C%+C=81, 所以n2=81,即n=9. (2②设第+1项含，则工+1=CW回()】 =(-2)rC5x学， 所以9,3r=3,r=1,所以第二项为含x的项， 2 T2=-2Cgx3=-18x3. 7 世五维课堂 12.B[(-是+1)°=[+(-)门，则共展开式的 通项T1=C(-子)（其中=0,12,34,5）.要求 原式的展开式中的常数项，需求(：一)广的展开式中 的常数项.（一子）广的展开式的通项T1=C （-）广=(-1Cx(共中7=0,1,2,0，根据 题意，令k一2r=0,则k=2r,即k是2的倍数，所以k= 0,2,4,所以原式的展开式中的常数项为C9一C号C2十 CgC=11,故选B.] 令6-3=3，则r=2,得A=C8·a2=1502; 2 令6--0，则=4，得B=C·。-15a。 由B=4A可得a2=4,又a>0,a=2. 14解当>0时，+-2到八-()户： 共通项为T,-C.回一（启） =(-1)'C2n(W)2m-2r 令2n-2r=0,得n=r, 所以展开式的常数项为（一1）"C2;当x<0时， +--r(+六广 同理可得，展开式的常数项为（一1）"C%. 无论哪一种情况，常数项均为（一1）”Cg。, 令(-1)"C2n=-20.把n=1,2,3…,逐个代入， 得n=3. 6.3.2二项式系数的性质 1.C[二项式(a十b)”的展开式中，奇数项的二项式系数 和等于偶数项的二项式系数和， 2-1=64,.n=7.故选C.] 2D[由=大（匠-》”的展开大为，=G (同)(-)=(-2yGa◆2025 -3r=0,解得r=675,此时T676=(-2)5·C725,所以 2025 二项式（匠-）的晨开式的常数项为第676项.] 3.D[展开式第6项系数为一C。,第5项和第7项系数分 别为C1o,Ci。,且C1。=Cio] 4.B[x20=[1+(x-1)]1°=a+a1(x-1)+a2(x-1)2 +…十ao(x-1)10, .ag=Ci。=C20=45.] ·21 数学·选择性必修第三册 的展开式的第5项与第7项的 二项式系数相等可知n=10. 又展开式的各项系数之和为1024，即当x=1时， (a十1)10=1024，所以a=1, 所以ax2+是）” 十左=(x+x)”,其展开式的各二项 式系数的和为210=1024，则奇数项的二项式系数的和 为2×1024=512，故A错误；由n=10可知展开式共 有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式 系数最大，因为x2与x言的系数均为1，所以展开式的 各项的二项式系数与系数相同，即第6项的各项的二项 式系数相等且最大，故B正确；若展开式中存在常数项， 则展开式中存在x的指数为0的项，由通项T+1=C。 20-m·x=C20,可得当20-号r=0,即r=8 时，符合要求，故C正确；由通项T+1=C1。x20-可得， 当20-号=15时=2，所以展开式中含25项的系数 为C。=45,故D正确.故选BCD.] 6.BC[对于A:令x=0,则a。=1,故A错误； 对于B:令x=1,则a0十a1十…十a224=322,故B 正确； 对于C:令x=-1,则a0-a1十a2一ag+…+a224=1, 故C正确；对于D:由(1十2x)2024=a。十a1x十a2x2+ 十a2o24x2024,两边同时求导得2024X2X(1+2x)2028- a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2o24x2023,令x=-1,则 a1-2a2+3a3十…-2024a202=-4048,故D错误.] 7.解析：(1十元)"=a十a1√元+a2(W)2+…十an· ()",令x=l,得各项系数的和S=ao+a1十…十an =2, .8<2m<32.又n∈N,.n=4. 由二项式系数的性质得系数最大的项为 T3=C(√E)2=6x. 答案：6x 8.解析：令x=1,得各项系数之和为4”， .4”=256,解得n=4,.x2的系数为C·32=54. 答案：54 9.解析：令x=0,得（一3）3×15=a,所以a=一27. 令x=1,得(-2)3X35=a十a1+a2+…十ag, 令x=-1,得(-4)3(-1)5=a-a1十a2-…十ag,两式 相加得2(a,十a2十…十ag)=-1880,所以a,十a2十… 十ag=-940. 答案：-27；-940第六章 计数原理 课时作业乡 数课时 6.3二项式定理 学作业 6.3.1 二项式定理 纠错空间 [基础过关] 9.(1一√元)(1十√)的展开式中x的系数 1.(x十2)”的展开式共有12项，则n等于 是 的二项展开式 A.9 B.10 C.11 D.8 2在=项式(- 的展开式中，含 x4的项的系数是 A.-10B.10 C.-5 D.5 3.(x一y)224的二项展开式中，第m项的 二项式系数是 ( A.C24 B.C 11.已知反- 的展开式中第三项的 C. D.(-1)m-1C024 系数比第二项的系数大162，求： 4.(2-2 的展开式中x2y3的系数是 方法总结 (1)n的值； ( (2)展开式中的含x3的项 A.-20 B.-5 C.5 D.20 5(多选)在（女-” 的展开式中，常数 项为15，则下列选项中不可作为n取值 的是 () A.3 B.4 C.5 D.6 6.(多选)已知(x-1)5=a十a1(x十1)+ a2(x十1)2+…十a(x十1)5，则() A.a=-32 B.a2=-80 C.a3+4a4=0 D.ao十a1+…+as=1 的展开式中常数项为 &+ 的展开式中的常数项等于 有理项共有 项. ·171· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 [能力提升] [素养培优] 空 间 12(x+1 展开式中的常数项为 14.若x+-2” 的展开式的常数项为 纠错空间 ) 20,求n的值. A.1 B.11 C.-19 D.51 13.若二项式 (a>0)的展开式中 x3的系数为A,常数项为B,且B= 4A,求a的值. 方法总结 。。。,。 01月1中月1+1144“为4 4444444444 44444年4 ·172·