7.1.1 条件概率（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

参考答案 第七章随机变量及其分布 7.1条件概率与全概率公式 7.1.1条件概率 课前预习学案 知识梳理 知识点一 P(BIA)=P(AB) P(A) [思考] 1.提示：不同.P(BA)是指在事件A发生的条件下，事件B 发生的概率，而P(AB)是指在事件B发生的条件下，事 件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同. 2.提示：P(B到A)=nCAB) n(A). 知识点三 2.13.P(BA)+P(CA) 预习自测 1.(1)×(2)×(3) 1 2A[由P(BAD-PAA-是=合t选A] P(A) 3 3.解析：根据条件概率公式知P=04=0.5. 0.8 答案：0.5 课堂互动学案 [例1]解：由古典概型的概率公式可知 aPM-号， P(B)=2X1+3X2_8_2 5×4 20-5 P(ANB)=2X1_1 5×4101 1 (2)P(B|A)= P(A∩B)_10=1 P(A) 24· 5 变式训练 1.A[由题知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概 奉是P(A)=},第一次出现正西且第二次也出现正西的 1 率是PAB)=号×号-子，则P(BlA)=票- 4 P(A) 2 =] ·1 五维课堂到 [例2]解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到 舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为 事件A∩B. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(2) =A=30, 根据分步乘法计数原理n(A)=A1A=20,于是P(A)= (A)_20_2 n(2)303 (2)因为n(A∩B)=A-12,于是P(AnB)=(AnB) n(2) =122 305 (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件 下，第2次抽到舞黯节目的概率为P(BA)=P(A∩B) P(A) 2 53 251 3 法二：因为n(A∩B)=12,n(A)=20, 所以P(B1A)=n(AnB)=12_3 n(A)205 变式训练 2.解：将产品编号为1,2,3号的看作一等品，4号为二等品， 以(i,j)表示第一次，第二次分别取得第i号，第j号产品， 则试验的基本事件空间2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)， (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}, 事件A有9种情况，事件AB有6种情况，P(B|A)= n(AB)=6=2 n(A)=9=3· [例3]解：设第i次按对密码为事件A;(i=1,2),则A= A1U(A1A2)表示不超过2次按对密码. (1)因为事件A1与事件A1A2互斥，由概率的加法公 式得 PA)=PA)+PaA)=品+0=号 (2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(AB)= PAB+P(AAgB)=号+-号 变式训练 3.解：设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸出第二个球 为黄球”为事件B,“摸出第三个球为黑球”为事件C. 则P(A)-0,P(AB)=号- 1 1×3 0X9=6,P(AC)=10X9 301 29 世五维课堂 所以P(B1A)=0=右÷品=号P(CA) P(AC)=1·1=1 P(A)30·103 所以P(BUCIA)=P(BAN+PCA)=号+号=号 所以所求的概率为日 [例4]解：设A:表示事件“第i次取到的是黑球”(i=1,2), 则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”.由题设知 PA)=,P(A2A)=号，于是根据乘法公式，有 PAA,)=PAPA:lA,)=帚×号- 变式训练 4.解析：记“射中第一个目标”为事件A,“射中第二个目标” 为事件B,则P(A)=0.8,P(BA)=0.5. 所以P(AB)=P(BA)·P(A)=0.8×0.5=0.4,即这个 选手过关的概率为0.4. 答案：0.4 当堂达标 1 1.C[P(AB)=PAB2=生=.] P(B) 1 3 2.A[设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”， P(BA)--8日所以当数学不及格时，该 学生语文也不及格的概率为行] 3.解析：记“种子发芽”为事件A,“种子长成幼苗”为事件 AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B引A)= 0.8,又P(A)=0.9,故P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.72. 答案：0.72 4.解析：设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A,“取 出的两个元素构成可约分数”为事件B,则n(A)=7. n(AB)=4,所以P(BA)=nAB)-4 n(A)-7 答案：号 ·18 数学·选择性必修第三册 5.解：2={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}. 设B=“有男孩”，则B={(男，男)，（男，女），（女，男）}. A=“有两个男孩”，则A={(男，男)》， B1=“第一个是男孩”，则B1={(男，男)，（男，女）}， 于是得(IDP(B)=是，P(BA)=PA)=是， 1 所以PAB)=PBA=1； P(B)-3 (2)P(B1)=2,P(BA)=P(A)=, 1 4, 所以P(A|B1)=P(BA)=1 P(B1)2 7.1.2全概率公式 课前预习学案 知识梳理 知识点一 1.2P(A:)P(BA,)2.P(BA,)2P(A,)P(BA) [思考] 提示：全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用 化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和 即可. 知识点二 1.PA:)P(B|A,) P(A:)P(BA;) P(B) P(ADP(BIA) 2. P(A:)P(BIA;) P(ADP(BIAD) k=1 预习自测 1.(1)/(2)×(3)× 2.C [P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) 号×号+(-)×号-日故选c] 3.B[设A:(i=1,2,3)分别表示买到的智能手机为甲品 牌、乙品牌、其他品牌，B:是优质品，则P(A1)=50%, P(A2)=30%,P(A3)=20%,且P(B|A1)=95%, P(B|A2)=90%,P(B|A3)=70%,所以，由全概率公式可知， P(B)=P(A1)·P(B|A)+P(A2)·P(B|A2)+ P(A3)·P(B|A3)=50%×95%+30%×90%+20%× 70%=88.5%.] 0第七章随机变量及其分布 五维课堂型 第七章 随机变量及其分布 7.1条件概率与金概率公式 7.1.1 条件概率 课程标准 素养解读 1.通过条件概率的学习，体会数学抽象的 1.在具体情境中，了解条件概率 素养 2.掌握条件概率的计算方法 2.借助条件概率公式解题，提升数学运算 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题 素养 课前。预习学案 [情境引入] 2.古典概型中的条件概率还可以怎样计算？ 高二(1)班共有30名男生，20名女生，其 中男生中共有8名共青团员，女生中共有10 名共青团员. 问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女 生的概率是多少？ 问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同 知识点二]概率的乘法公式 学是共青团员的概率又是多少？ 对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则 [知识梳理] P(AB)=P(A)·P(B|A) [知识点一]条件概率 特例：当P(A)>0,当且仅当事件A与B相 一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A) 互独立时，有P(BA)=P(B). >0,我们称 为 [知识点三]条件概率的性质 在事件A发生的条件下，事件B发生的条 1.0≤P(B|A)≤1； 件概率，简称条件概率。 2.P(AA)= 思考1.P(BA)和P(AB)的意义相同吗？ 3.如果B与C互斥，则P(BUC|A)= 为什么？ 4.设B和B互为对立事件，则P(B|A)=1 -P(BA). ·41· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 [预习自测] 2.设A,B为两个事件，且P(A)>0,若P(A∩B) 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”）. =号P(A)=号则PBA)= (1)若事件A,B互斥，则P(B|A)=1. A日 B号 c D. (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相 3.设某动物由出生算起活到20岁的概率为 当于A,B同时发生 ( 0.8,活到25岁的概率为0.4，现有一个20 岁的这种动物，则它活到25岁的概率 (3)P(BA)≠P(A∩B). 是 ● 课堂。互动学案 题型一 利用定义求条件概率 规律方法 1.用定义法求条件概率P(BA)的步骤 [例1]一个袋中有2个黑球和3个白球，如果 (1)分析题意，弄清概率模型； 不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到 (2)计算P(A),P(A∩B)； 黑球”为A;事件“第二次抽到黑球”为B. (1)分别求事件A,B,A∩B发生的概率； (3)代入公式求P(B1A)= P(A∩B) P(A) (2)求P(BA). 2.结合古典概型分别求出事件A,B的概 配思路点拔町“首先弄清“这次试验”指的是 率，从而求出P(B|A),弄清楚P(A), 什么，然后判断该问题是否属于古典概型， P(B)和P(B|A)三者之间的关系. 最后利用相应公式求解， ◇[变式训练] 1.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正 面”为事件A,“第二次出现正面”为事件B, 则P(B引A)等于 ( A号 B.4 c 题型二利用基本事件个数求条件概率 [例2]现有6个节目准备参加比赛，其中4个 舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地 依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的 概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2 次抽到舞蹈节目的概率， ·42· 第七章随机变量及其分布 五维课堂兰 汇思路点拔了“第(1)、(2)问属古典概型间 ◇[变式训练] 题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率， 2.一个盒子内装有4个产品，其中3个一等 品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个， 可以借用前两问的结论，也可以直接利用 做不放回抽取.设事件A为“第一次取到的 基本事件个数求解 是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等 品”，试求条件概率P(BA) 题型三 条件概率的综合应用 [例3]一张储蓄卡的密码共有6位数字，每 位数字都可从0~9中任选一个.某人在银 行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一 位数字.求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按 对的概率； (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不 超过2次就按对的概率. [思路点拨](1)不超过2次，即第1次按 对或第1次未按对第2次按对； (2)利用互斥事件的条件概率公式求解。 规律方法 利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法 将原来的基本事件全体2缩小为已知的条 件事件A,原来的事件B缩小为AB.而A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发 生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间 上利用古典概型公式计算条件概率，即 2”,这里n(A)和n(AB的 P(BIA)=n(AB) 计数是基于缩小的基本事件范围的 ·43· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 规律方法 ®[变式训练] 1.利用公式P(BUCA)=P(BA)+P(CA) 4.某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进 可使条件概率的计算较为简单，但应注意这 行射击，只有两个目标都射中才能过关.某 选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射 个性质的使用前提是“B与C互斥” 击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选 2.为了求复杂事件的概率，往往需要把该事 手过关的概率为 件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件 [当堂达标] 的概率后，相加即可得到复杂事件的概率. ◇[变式训练] 1.设A,B为两个事件，若P(A∩B)=1, 3.在一个袋子中装有10个球，其中有1个红 P(B)-3,则P(AB) 球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次 摸2个球，求在第一个球是红球的条件下， A是 B c D. 第二个球是黄球或黑球的概率. 2.某班学生的考试成绩中，数学不及格的占 15%,语文不及格的占5%，两门都不及格的占 3%,已知一学生数学不及格，则他的语文也不 及格的概率是 ( A司 R高 c D 3.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成 活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则 这粒种子能长成幼苗的概率为 题型四 利用乘法公式求概率 4.分别用集合M={2,4,5,6,7,8,11,12}中的 [例4]一袋中装10个球，其中3个黑球、7 任意两个元素作分子与分母构成真分数，已 个白球，先后两次从中随意各取一球（不放 知取出的一个元素是12，则取出的另一个 回)，求两次取到的均为黑球的概率 元素与之构成可约分数的概率是 5.考虑恰有两个小孩的家庭， 思路点拨]P(AB)=P(A)P(BA),分 (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩 别求P(A)和P(BA). 的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两 个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假 定生男生女为等可能). … 规律方法 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的 求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可 先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及 P(AB),再利用乘法公式P(AB)=P(A). C温馨提 P(BA)=P(B)P(AB)求解即可. 学习至此，请完成配套训练 ·44·