7.1.1 条件概率（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

第七章随机变量及其分布 第七章 随机变量及其分布 7.1条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 课程标准 素养解读 1.在具体情境中，了解条件概率 1.通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养 2.掌握条件概率的计算方法 2.借助条件概率公式解题，提升数学运算素养 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题 课前。预习学案 对应学生用书P41 [情境引入] [知识点三] 条件概率的性质 高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生 1.0≤P(BA)≤1； 中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员. 2.P(AA)=1; 问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率 3.如果B与C互斥，则P(BUCA)= 是多少？ P(BA)+P(CA). 问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共 4.设B和B互为对立事件，则P(BA)=1-P(BA). 青团员的概率又是多少？ [预习自测] [知识梳理] L.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. [知识点一]条件概率 (1)若事件A,B互斥，则P(BA)=1. (×) 一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0,我 (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A, 们称P(BA)A为在事件A发生的条件下， B同时发生， (×) P(A) (3)P(BA)≠P(A∩B). (/) 事件B发生的条件概率，简称条件概率， 2.设A,B为两个事件，且P(A)>0,若P(A∩B)=3: 1 2思考1.P(BA)和P(AB)的意义相同吗？为 什么？ P(A)-号，则PBA) ( 提示：不同.P(BA)是指在事件A发生的条件 下，事件B发生的概率，而P(AB)是指在事件B A.2 c D. 发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(BA) 1 和P(AB)的意义不同. 2.古典概型中的条件概率还可以怎样计算？ 解析：A[由P(BA)=PANB)=三-1」 P(A) 2 3 提示：P(BA)=n(AB) n(A). 故选A.门 3.设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到 [知识点二]概率的乘法公式 25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则 对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)= 它活到25岁的概率是 P(A)·P(BA). 特例：当P(A)>0,当且仅当事件A与B相互独立 解析：根据条件概率公式知P-。-0.5 时，有P(BA)=P(B). 答案：0.5 ·53· 数学·选择性必修第三册 课堂。互动学案 对应学生用书P42 题型一 利用定义求条件概率 题型二利用基本事件个数求条件概率 [例1]一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回 [例2]现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节 地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A;事 目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个 件“第二次抽到黑球”为B. 节目，求： (1)分别求事件A,B,A∩B发生的概率； (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)求P(BA). (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到 汇思路点拨]首先弄清“这次试验”指的是什么，然 舞蹈节目的概率. 后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公 汇思路点拨]第(1)、(2)问属古典概型问题，可直 式求解 接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问 解：由古典概型的概率公式可知 的结论，也可以直接利用基本事件个数求解： IPA)=号 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到 舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈 P(B)=2X1+3X2=8=2 5×4 20=51 节目为事件A∩B. P(AnB)-21-1 (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为 5×4-10 n(2)=A;=30, 根据分步乘法计数原理n(A)=AA=20,于是 (2)P(B|A)= P(A∩B)_10_ P(A) 2 4 P(A)=nA)-202 n(2)3031 规律方法 (2)因为n(A∩B)=A=12,于是P(A∩B)= n(A∩B)_122 1.用定义法求条件概率P(BA)的步骤 n(2) =30=51 (1)分析题意，弄清概率模型； (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的 (2)计算P(A),P(A∩B): 条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)= (3)代入公式求P(BA)=P(AnB) 2 P(A) P(A∩B)5 3 2.结合古典概型分别求出事件A,B的概率，从 P(A) 2 3 而求出P(BA),弄清楚P(A),P(B)和P(B 法二：因为n(A∩B)=12,n(A)=20, A)三者之间的关系. 所以P(BA)=n(A∩B)-123 ◇[变式训练] n(A) 205 1.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事 规律方法 件A,“第二次出现正面”为事件B,则P(B引A)等于 利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法 ( 将原来的基本事件全体2缩小为已知的条件事 件A,原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含 A.2 有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相 c n 等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型 解析：A[由题知本题是一个条件概率，第一次出 公支计室车件概率，即PB》,这里刀 现正西的瓶率是P(A)=子，第一次出现正面且第 (A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范 围的 二次也出现正面的桃率是P(AB)=×号-日， ◇[变式训练] 2.一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二 等品，从中取两次，每次任取1个，做不放回抽取. 则P(BA)= AB)4=. P(A) 1 设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为 2 “第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B引A). ·54· 第七章随机变量及其分布 解：将产品编号为1,2,3号的看作一等品，4号为 P(AC)1.11 二等品，以(i,j)表示第一次，第二次分别取得第 P(A) 30÷10=3 号，第j号产品，则试验的基本事件空间2={(1,2)， 所以P(BUCIA)=P(B|A)+P(C|A)= 21 93 (1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3, 4),(4,1),(4,2),(4,3)},事件A有9种情况，事件 号，所以所求的藏率为号。 AB有6种情况，P(BA)=n(AB)=6=2 n(A)9-3 题型四 利用乘法公式求概率 题型三 条件概率的综合应用 [例4幻 一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球（不放回），求两次取到 [例3]一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字 的均为黑球的概率， 都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机 上取钱时，忘了密码的最后一位数字.求： [思路点拨]P(AB)=P(A)P(BA),分别求 (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的 P(A)和P(BA). 概率； 解：设A表示事件“第i次取到的是黑球”(i=1,2), (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2 则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”.由题设 次就按对的概率. 知P(A1)= 品P(AA)=号，于是根蒂乘法公 [思路点拨](1)不超过2次，即第1次按对或第 1次未按对第2次按对； 式，有PAA)=PA,PA,A,)高×号- (2)利用互斥事件的条件概率公式求解 规律方法 解：设第i次按对密码为事件A,(i=1,2),则A= 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法， A1U(A1A2)表示不超过2次按对密码. 即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出 (1)因为事件A1与事件A1A2互斥，由概率的加法 P(A)及P(BA)或先求出P(B)及P(AB),再 公式得P(A)=P(A)+P(A,A,)=0十0X9 1+9×1 利用乘法公式P(AB)=P(A).P(B|A)=P(B) P(AB)求解即可. ◇[变式训练] (2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B) 4.某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射 -PAB)+P有，A)B-吉+-是 击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第 一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目 规律方法 标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为 1.利用公式P(BUCA)=P(BA)+P(CA)可使 条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的 解析：记“射中第一个目标”为事件A,“射中第二个 使用前提是“B与C互斥” 目标”为事件B,则P(A)=0.8,P(BA)=0.5. 2.为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分 所以P(AB)=P(BA)·P(A)=0.8×0.5=0.4, 为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率 即这个选手过关的概率为0.4. 后，相加即可得到复杂事件的概率. 答案：0.4 ◇[变式训练] [当堂达标] 3.在一个袋子中装有10个球，其中有1个红球，2个 1L.设A,B为两个事件，若P(AnB)=子，P(B)= 1 黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在 则P(AB)= 第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球 A B.3 c D. 4 的概率. 解：设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸出第二 1 个球为黄球”为事件B,“摸出第二个球为黑球”为 解析：C[P(AB) P(A∩B)_ 4-3 事件C P(B) 4· 3 则P(A)= 10P(AB)= 10X9=46P(AC)= 1×2-1 2.某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文 1×31 不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生 10×930 数学不及格，则他的语文也不及格的概率是() 所以PBA)=有品-号，PCaA A .0 3 c ·55· 数学·选择性必修第三册 解析：A[设A为事件“数学不及格”，B为事件 “语文不及格”， n(AB)=4,所以P(BA)=n(AB)-4 n(A) P(B1A)=PAB)-003=日，所以当数学不及格 P(A)0.155 答案：号 时，该学生语文也不及格的概丰为] 5.考虑恰有两个小孩的家庭. (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； 3.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为 (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩 0.8,在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成 (相当于第二个也是男孩)的概率（假定生男生女为 幼苗的概率为 等可能). 解析：记“种子发芽”为事件A,“种子长成幼苗”为 解：2={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）} 事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为 设B=“有男孩”，则B={(男，男)，（男，女），（女，男）} P(B|A)=0.8,又P(A)=0.9,故P(AB) A=“有两个男孩”，则A={(男，男)}， =P(B1A)·P(A)=0.72. B=“第一个是男孩”，则B1={(男，男)，（男，女）}， 答案：0.72 4.分别用集合M={2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两 于是得(IP(B)=,PBA)=P(A)=子， 个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个 元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分 所以P(AIB)=P(BA)=1 P(B) =3 数的概率是 解析：设“取出的两个元素中有一个是12”为事件 (2)PB,)=2PB,A)=PA)= A,“取出的两个元素构成可约分数”为事件B, 所以P(AB,)= P(BA)1 P(B1)-2· 则n(A)=7. 课后。素养提升 对应学生课时P175 [基础过关] 中（有3道选择和2道填空题），不放回地依次随机 1.某次射击比赛中，某选手射击一次击中10环的概 抽取2道题作答，设事件A为“第一次抽到选择 率是号，连续两次均击中10环的概率是7，若该选 题”，事件B为“第二次抽到选择题”，则P(B引A)= ( 手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是 A. c 0.2 5 A号 B景 c D.告 解析：D [P(A)=- ，P(AB)=-亮所以 解析：B[设事件A表示“射击一次击中10环”， P(BA)= P(AB)10 B表示“随后一次击中10环”，则P(A)= P(A) 5 P(AB)=?,根据条件概率的计算公式得， 4.盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不 放回地依次取出2个球，在第一次取到新球的条件 1 2 下，第二次也取到新球的概率为 P(BIA)= P(AB) P(A) 4 8,故选B.] 5 A 8品 c. D号 2.若P(B)=号PMB)=则PAB)为 3 解析：C[设事件A表示“第一次取到新球”，事件 B表示“第二次取到新球”，则n(A)=CC,n(AB)= A是 B号 C. D eca=器-号】 解析：A[P(AB)=PB)PAB)=多X号-0： 5.(多选)下列说法不正确的是 A.P(BA)<P(AB) 故选A.] 3.为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学 RPBA)-P界是可能的 生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活 C.0<P(BA)<1 动，以班级为单位参加比赛.某班级在5道党史题 D.P(A|A)=0 ·56· 第七章随机变量及其分布 解析：ACD[由条件概率公式P(BA)=PAB) 由题意可得P(B)= 3×3 31 P(A) 27 3,P(AB)=27=9 及0<P(A)≤1知P(BA)≥P(AB),故A错误； 1 当事件A包含事件B时，有P(AB)=P(B),此时 所以P(A|B)= P(AB) 9 P(B) 3 PCBA=器益B五确：由于0EPBA, 3 P(AA)=1,故C、D错误.] 答率 6.(多选)设A,B是一个随机试验中的两个事件，且 9.将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A表示 P(A) 号PB)=是PA-= 5 则下列说法 “三个点数之和等于15”，B表示“至少出现一个5点”， 则概率P(AB)等于 正确的是 ( ) 解析：至少出现一个5点的情况有63一53=91种， A.P(AB)= 4 B.P(AB)= 6 至少出现一个5点的情况下，三个，点数之和等于15 C.P(BIA)=3 有以下两类： D.PBI)-号 ①只出现一个5点，则另两个点数只能是4和6，共有 解析：ABC[因为P(A)= ,P(B)= 2 2,P(A+ C×C=6(种)情况； ②出现两个5点，则另一个点数也只能是5，共有1 B)=名且PA+B)=PA+PB-PAB所 种情况.P(AB)=AB=6+1=1 n(B)-91-131 以PAB=PCA)-P(-PA+B》=号+是 答案：日 5=故A正确：P(AB)=P(B)-P(AB)= 10.饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张 1 仲景发明，最初作为药用.在包饺子时，人们常常 -日故B正确：P(BA) P(AB)4 3 将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日 P(A) 8 2 子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬 P(BA)1-P(A+B) 币代表财源不断.已知小江一家过年时，在一盘饺 故C正确；P(BA)= P(A) 1-P(A) 子(20个)中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬 币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃 1一6 1 到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有 12 ,故D错误] 不同特殊馅的饺子的概率为 3 解析：记事件A为“小江随机夹的3个饺子中吃到 7.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2 1个含有硬币的饺子”，事件B为“小江随机夹的3 张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则 第2张也是假钞的概率为 个饺子中吃到2个含有不同特殊馅的饺子”，所以 解析：设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B P(A)= C-是PaB)-CC-1,所 为“2张中至少有一张假钞”，而P(AB)= C-1 C19' 以P(BA)= P(AB)_70 P(A) 171 P(B) C+CC4=1 C 8 答案：册 所以P(AB)= P(AB)2 11.一个不透明的袋子中放有大小相同的5个小球， P(B)17 其中3个黑球，2个白球，不放回地依次取出2个 答案品 球.求： 8.由0,1,2组成的三位数密码中，若用事件A表示 (1)第一次取出的是黑球的概率； “第二位数字是2”，B表示“第一位数字是2”，则 (2)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球 P(AB)= 的概率； 解析：由0,1,2组成的三位数密码，共有3×3×3= (3)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出 27(种)情况， 的是白球的概率， ·57· 数学·选择性必修第三册 解：设事件A表示“第一次取出的是黑球”，B表示 13.已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次取1个， “第二次取出的是白球”. 不放回地取两次，求两次均取到不合格球的概率. (1)黑球有3个，球的总数为5， 解：法一：所求事件的概率P=2X1=1 -6×515 所以P(A)=三 法二：用A表示第i次取到不合格球，i=1,2. (2)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球 ×品 则PA,)-3,PA:A,)=, 的概率P(AB)= (3)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出 PA,A:)=PA,PAIA)=3×写5 3 [素养培优] 的是白球的概率P(B|A)= P(AB) P(A) 14.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.若从袋 5 1 中任意模出2个球，至少有1个白球的板率为子。 2 (1)求白球的个数； [能力提升] (2)现从中不放回地取球，每次取1个球，取2次， 12.高三毕业时，小红、小鑫、小芸等五位同学站成一 已知第1次取得白球，求第2次取得黑球的概率. 排合影留念，已知小红、小鑫两人相邻，则小鑫、小 解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白 芸相邻的概率是 球”为事件A,记袋中白球的个数为x,则P(A)= 解析：设“小红、小鑫两人相邻”为事件A,“小鑫、 小芸两人相邻”为事件B,则所求概率为P(B 1一-子，解得=5，即白球的个数为5。 A),而P(A)= 三A=号AB表示事件“小鑫与小 (2)记“第1次取得白球”为事件B,“第2次取得 红，小芸事相你，故P(B)哭-0于足 球分幸件cMPU0)-是号-部-高 CC+CC4_25+20_1 1 P(B)= ClC 90 Γ2 10 P(BA) 5 2 4 P(C B)= P(BC) 185 5 P(B) 1 9 答案： 2 7.1.2全概率公式 课程标准 素养解读 1.理解并掌握全概率公式 1.通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养 2.了解贝叶斯公式 2.借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养 3.会用全概率公式及贝叶斯公式解题 课前。预习学案 对应学生用书P45 [情境引入] [知识梳理] 有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3 [知识点一]全概率公式 红球1黑球，3号装有2红球2黑球.某人从中随机取 1.公式：一般地，设A1,A2,…An是一组两两互斥的 一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率， 事件，A1UA2U…UAn=2,且P(A,)>0,i=1,2, …,n,则对任意的事件B三2，有P(B)= P(A )P(BIA). 2.特点：①任意两个事件均互斥，即AA,=心，i,j= 1,2,…,n,i≠j； ②A1十A2+…+Am=2; 问题：如何求取得红球的概率？ ③P(A)>0,i=1,2,…,n. ·58·