专题05 二项式定理十大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题05 二项式定理十大常考题型 题型一：二项式定理展开式 题型二：求指定项的二项式系数 题型三：二项式系数和问题 题型四：求指定项的系数 题型五：二项展开式各项系数和 题型六：求系数最大项问题 题型七：奇次项与偶次项的系数和 题型八：三项展开式问题 题型九：两个二项式乘积展开式问题 题型十：二项式定理的应用 题型一：二项式定理展开式 1．被9除的余数是 . 2．若的展开式中存在含的项，则的值可能是（   ） A．6 B．11 C．15 D．20 3．在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 4．已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 5．在（n为正整数）的展开式中， (1)若，求展开式中无理项的个数； (2)若，求展开式中系数最大的项 题型二：求指定项的二项式系数 6．（1）展开式中第3项的二项式系数为______． （2）展开式中的系数为，则______． （3）已知在的展开式中，第6项为常数项．求展开式中所有的有理项． 7．的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有7项 B．常数项为20 C．第二项与第四项的二项式系数相等 D．各项系数之和为0 8．的展开式的第二项的二项式式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 9．已知二项式，求： (1)二项展开式第3项的二项式系数； (2)二项展开式第8项的系数． 10．的展开式的第4项的二项式系数为 ． 题型三：二项式系数和问题 11．已知，则（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 12．若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则 ，该展开式每一项的系数之和为 . 13．已知展开式中共有8项．则下列结论正确的是（    ） A． B．奇数项的二项式系数和为64 C．二项式系数最大项为第4项 D．有理项共有4项 14．在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数为 ． 15．以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（   ） A．第100行中，从左到右看第50个数最大 B．第100行的所有数的和为 C． D． 题型四：求指定项的系数 16．在的二项展开式中，第4项的系数是 . 17．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 18．的展开式中的系数为（    ） A．12 B．60 C．160 D．240 19．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．若的展开式中存在含的项，则的值可能是（    ） A．2 B．11 C．15 D．20 题型五：二项展开式各项系数和 21．已知，求的值． 22．若二项式，则 . 23．已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 24．关于的二项展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式在合并同类项之后共有7项 B．展开式中常数项为15 C．展开式的系数之和为1 D．展开式的最后一项的系数最大 25．已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的有理项． 题型六：求系数最大项问题 26．已知的展开式中有一项是． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中系数最大的项． 27．求的展开式中二项式系数最大的项、系数最大的项． 28．的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．各二项式系数之和为64 C．展开式中项的系数为 D．展开式中系数最大的项为70x 29．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ） A．展开式的各项系数之和为4096 B．展开式中含项的系数为45 C．展开式中存在常数项 D．展开式中第6项的系数最大 30．已知二项式，则下列结论正确的是（    ） A．第5项的二项式系数最大 B．所有项的系数之和为1 C．有且仅有第6项的系数的绝对值最大 D．展开式中共有4项有理项 题型七：奇次项与偶次项的系数和 31．已知的展开式中的系数为15，则（   ） A． B．展开式中，中间项的系数为 C．展开式中，奇数项的系数和为32 D．当时，的末两位数字是61 32．若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的展开式中偶数项的二项式系数之和为 D．的展开式中二项式系数最大项为 33．展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和. 34．已知二项式. (1)求二项展开式中的常数项； (2)记二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求. 35．已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若，则 ． 题型八：三项展开式问题 36．的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 37．（1）的展开式中的系数为 ． （2）的展开式中的系数为 ． 38．（1）求的展开式中按的升幂排列的第3项； （2）求的展开式的常数项； （3）求的展开式中的系数. 39．的展开式中的系数为 . 40．的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 题型九：两个二项式乘积展开式问题 41．的展开式中的系数为（    ） A．60 B．50 C．40 D．20 42．的展开式中含项的系数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 43． 的展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．200 44．的展开式中的系数为（    ） A．20 B． C．28 D． 45．已知的展开式中，常数项为，则（    ） A． B．2 C． D．1 题型十：二项式定理的应用 46．（1）证明：能被7整除． （2）求精确到0.01的近似值． 47．关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．第项的二项式系数最大 B．当时，被除的余数为 C．展开式中存在常数项 D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列 48．已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 49．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（    ）    A． B． C． D． 50．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二项式定理十大常考题型 题型一：二项式定理展开式 题型二：求指定项的二项式系数 题型三：二项式系数和问题 题型四：求指定项的系数 题型五：二项展开式各项系数和 题型六：求系数最大项问题 题型七：奇次项与偶次项的系数和 题型八：三项展开式问题 题型九：两个二项式乘积展开式问题 题型十：二项式定理的应用 题型一：二项式定理展开式 1．被9除的余数是 . 【答案】7 【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数. 【详解】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 2．若的展开式中存在含的项，则的值可能是（   ） A．6 B．11 C．15 D．20 【答案】ABD 【分析】根据二项式展开式的通项公式结合题意求得正确答案. 【详解】由题意得展开式的通项， 展开式的通项， 要使的展开式中存在含的项， 则或，即或，其中， 所以的值可能是，不可能的是. 故选：ABD. 3．在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 【答案】(1)，常数项的值为 (2) 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，结合条件，得到，可得，即可求解； （2）通过赋值，令，即可求解. 【详解】（1）因为的展开式的通项公式为， 由题知时，，得到，解得， 所以常数项的值为. （2）由（1）知，令，得到， 所以展开式中所有项的系数之和为. 4．已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【详解】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 5．在（n为正整数）的展开式中， (1)若，求展开式中无理项的个数； (2)若，求展开式中系数最大的项 【答案】(1)15个 (2) 【分析】（1）由求出，求出展开式的通项公式，再由的指数不为整数可得答案； （2）求出展开式的通项公式由，解不等式可得答案． 【详解】（1）若，则，即，解得或（舍去）． 则的通项为，且， 所以当，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29时，为无理项（无理项指的是x的指数不为整数的项）， 所以共有15个无理项． （2）设的通项为， 且， 因为系数为，所以最大的项为偶数， 则，解得， ， 所以展开式中系数最大的项为.． 题型二：求指定项的二项式系数 6．（1）展开式中第3项的二项式系数为______． （2）展开式中的系数为，则______． （3）已知在的展开式中，第6项为常数项．求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）55；（2）；（3） 【分析】（1）利用二项式定理求出通项，再得到二项式系数即可. （2）利用二项式定理结合题意建立方程，求解参数即可. （3）先结合题意求出，再利用二项式定理求解有理项即可. 【详解】（1）由二项式定理得展开式的通项为， 令，解得，则第3项的二项式系数为． （2）由二项式定理得展开式的通项为， 令，可得含的项为第4项，即， 而的系数为，得到，解得． （3）由二项式定理得展开式的第6项为， 因为第6项为常数项，所以，解得， 由二项式定理得展开式的通项为， 而展开式中的有理项需要满足，且，解得． 故展开式中的有理项为． 7．的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有7项 B．常数项为20 C．第二项与第四项的二项式系数相等 D．各项系数之和为0 【答案】AD 【分析】利用二项式定理性质逐一计算即可. 【详解】对A，展开式一共有项，故正确； 对B，常数项为，故错误； 对C，第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，不相等，故错误； 对D，令，所以各项系数之和为0，故正确. 故选：AD 8．的展开式的第二项的二项式式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案. 【详解】的展开式的第二项的二项式式系数为. 故选：B. 9．已知二项式，求： (1)二项展开式第3项的二项式系数； (2)二项展开式第8项的系数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据展开式的通项公式可求第3项的二项式系数； （2）仍由展开式的通项公式可求第8项的系数. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 故二项展开式第3项的二项式系数为． （2）二项展开式第8项为， 故二项展开式第8项的系数为16． 10．的展开式的第4项的二项式系数为 ． 【答案】35 【分析】先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解. 【详解】因为的展开式的通项公式为. 所以第4项的二项式系数为. 故答案为：35. 题型三：二项式系数和问题 11．已知，则（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A，通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项B，通过展开式的通项公式，得到，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项C，通过，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D，进行赋值即可得出结果的正误. 【详解】选项A，因为， 令，得到，所以选项A正确； 选项B，因为二项展开式的通项公式为（，）， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数， 所以， 由，令，得到， 令，得到， 所以，所以选项B错误； 选项C，因为， 所以除以5所得的余数是1，选项C正确； 对于选项D，令，得到， 所以选项D正确. 故选：ACD. 12．若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则 ，该展开式每一项的系数之和为 . 【答案】 【分析】由二项式系数和性质求，赋值法求系数和. 【详解】由已知可得，解得； 令，则展开式每一项的系数之和为 故答案为：，. 13．已知展开式中共有8项．则下列结论正确的是（    ） A． B．奇数项的二项式系数和为64 C．二项式系数最大项为第4项 D．有理项共有4项 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及二项式系数的性质逐项判断. 【详解】对于A，由的展开式共有8项，得，则，A正确； 对于B，所有项的二项式系数和为，奇数项的二项式系数和为64，B正确； 对于C，由二项式系数的性质知，最大二项式系数为，因此第4项和第5项的二项式系数最大，C错误； 对于D，的展开式的通项公式为， 由为整数，得r的值可以为，则二项展开式中有理项共有4项，D正确. 故选：ABD 14．在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数为 ． 【答案】1120 【分析】利用奇数项与偶数项的二项式系数关系求n，再根据二项式系数的性质求最值． 【详解】奇数项与偶数项的二项式系数之和相等，则的展开式中二项式系数之和为256， 即，解得，二项式系数最大的项为， 故二项式系数最大的项的系数为1120． 故答案为：1120 15．以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（   ） A．第100行中，从左到右看第50个数最大 B．第100行的所有数的和为 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二项式系数的增减性判断A，根据组合数运算及性质计算判断B，C，D. 【详解】对于A选项，由二项式系数的增减性可知，第100行中共有101个数，从左到右看第51个数最大，A错误； 对于B选项，第100行的所有数的和为，B正确； 对于C选项，由组合数的性质可得，C正确； 对于D选项， ，D正确． 故选：BCD． 题型四：求指定项的系数 16．在的二项展开式中，第4项的系数是 . 【答案】 【分析】写出二项式的通项公式，代入计算即得. 【详解】二项式的展开式的通项为， 取，即得，故第4项的系数是. 故答案为：. 17．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 【答案】7 【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，可得，写出展开式的通项公式，令，求得k值，代入即可求出答案. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，即， 所以展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：7 18．的展开式中的系数为（    ） A．12 B．60 C．160 D．240 【答案】B 【分析】先写出的二项展开式的通项，令，求出值，再代入通项中，计算即可得解. 【详解】因为的二项展开式的通项为 ， 令，解得，所以， 所以的展开式中的系数为60. 故选：B 19．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】ABC选项，利用赋值法进行求解；D选项，得到展开式的通项公式，从而求出，，故，D正确. 【详解】A选项，中，令得，A正确； B选项，中，令得 ， 又，故，B错误； C选项，中，令得 ， 与相加可得， 故，C错误； D选项，展开式的通项公式为， 故，，故，D正确. 故选：AD 20．若的展开式中存在含的项，则的值可能是（    ） A．2 B．11 C．15 D．20 【答案】BD 【分析】由二项式的展开式通项得或，其中，且，对分四种情况讨论即可求解. 【详解】展开式的通项，展开式的通项. 因为的展开式中存在含的项，所以或， 即或，其中，且. 经检验知，当时，，，不符合题意， 当时，，不存在，符合题意； 当时，不存在，也不存在，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 故选：BD. 题型五：二项展开式各项系数和 21．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求解即可. 【详解】依题意，取，得， 取，得， 所以. 22．若二项式，则 . 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式可得:，结合和，化简可得即可求解. 【详解】由题可得：， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 则 故选答案为： 23．已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)1 (2)180 (3) 【分析】（1）依据题意得到，然后令计算； （2）写出二项式的通项公式，然后令计算； （3）根据二项式系数的对称性可知结果. 【详解】（1）由题意知，或（舍去），所以， 故令，可得展开式中各项系数的和为． （2）由于二项式的通项公式为， 令，求得， 故展开式中的常数项为． （3）要使二项式系数最大，只要最大，故， 故二项式系数最大的项为第6项． 24．关于的二项展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式在合并同类项之后共有7项 B．展开式中常数项为15 C．展开式的系数之和为1 D．展开式的最后一项的系数最大 【答案】AC 【分析】根据二项式展开式的性质即可求解A，根据通项即可求解BD，利用赋值法即可求解C. 【详解】对于A，由于，故展开式共有7项，A正确， 对于B，的通项为， 故常数项为，故B错误， 对于C，令则系数和为，故C正确， 对于D， 展开式的最后一项的系数为，因此最后一项的系数并不是最大的，故D错误， 故选：AC 25．已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的有理项． 【答案】(1)， (2)有理项有3项，分别为 【分析】（1）利用赋值法可得各项系数和，结合题意列式计算可得，由二项式系数性质可得二项式系数最大项； （2）求得展开式通项公式，令，且，计算即可. 【详解】（1）令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为， 则，解得， 展开式有5项，二项式系数最大的为第3项; （2）二项式的展开式的通项公式为， 令，且，解得， 则展开式中含的有理项有3项，分别为. 题型六：求系数最大项问题 26．已知的展开式中有一项是． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)11； (2)，； (3). 【分析】（1）根据二项式写出展开式的通项，结合已知项列方程求参数值； （2）由二项式性质确定二项式系数最大项，利用展开式写出对应项； （3）由（2）项系数为，作商法比较大小确定最大系数，即可得. 【详解】（1）的展开式的通项． 由题意，解得，，，故的值是11． （2）由二项式系数的性质知，的展开式中二项式系数最大的项是第6项与第7项，其值分别为： ， ． （3）的展开式的第项的系数，其中． 当时，． 因此，当时，，即；当时，，即． 所以，，所以最大. 故的展开式的第7项的系数最大，且. 27．求的展开式中二项式系数最大的项、系数最大的项． 【答案】 【分析】利用二项式系数的性质求出二项式系数最大的项；求出展开式的通项公式，再利用不等式法求出系数最大的项. 【详解】依题意，的展开式中二项式系数最大的项为； 展开式的通项， 由，得， 即，解得， 因此，所以系数最大的项为. 28．的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．各二项式系数之和为64 C．展开式中项的系数为 D．展开式中系数最大的项为70x 【答案】BC 【分析】由二项展开式的性质可得AB，写出通项，令可得C，举反例令可判断D. 【详解】对于A，由二项式展开式的性质可得，展开式共有7项，故A错误； 对于B，各二项式系数之和为，故B正确； 对于C，通项为， 令，代入可得展开式中项的系数为，故C正确； 对于D，由通项可得，当时，，故D错误； 故选：BC 29．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ） A．展开式的各项系数之和为4096 B．展开式中含项的系数为45 C．展开式中存在常数项 D．展开式中第6项的系数最大 【答案】BCD 【分析】依题意得，求出，令，求出各项系数之和，判断A；求出通项，令，判断B；令，求出，判断C；展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的系数最大，判断D. 【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，得，解得， 令，得，即展开式的各项系数之和为1024，故A错误； 由通项，令，解得， 所以展开式中含项的系数为，故B正确； 若展开式中存在常数项，令，解得，故C正确； 由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的系数最大，故D正确. 故选：BCD. 30．已知二项式，则下列结论正确的是（    ） A．第5项的二项式系数最大 B．所有项的系数之和为1 C．有且仅有第6项的系数的绝对值最大 D．展开式中共有4项有理项 【答案】AB 【分析】根据给定条件，利用二项式定理展开式的通项及二项式系数性质逐项分析判断. 【详解】对于A，展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确； 对于B，取，得所有项的系数和为，B正确； 对于D，展开式的通项公式， 当时，是有理项，共有5项有理项，D错误； 由，得，即，解得， 则或，因此第6项和第7项的系数的绝对值最大，C错误． 故选：AB 题型七：奇次项与偶次项的系数和 31．已知的展开式中的系数为15，则（   ） A． B．展开式中，中间项的系数为 C．展开式中，奇数项的系数和为32 D．当时，的末两位数字是61 【答案】ACD 【分析】根据对应项系数得，根据二项式系数的性质及展开式的应用依次判断各项的正误. 【详解】由题设，展开式通项为，，又，可得，A对； 所以展开式通项为，，共有7项，则时为中间项，系数为，B错； 由上，奇数项的系数和为，C对；时，，故末两位数字为，D对. 故选：ACD 32．若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的展开式中偶数项的二项式系数之和为 D．的展开式中二项式系数最大项为 【答案】D 【分析】根据二项式定理的展开式性质采用赋值法可判断选项A和B；根据二项式系数的性质可判断选项C和D. 【详解】对于A，令可得，故A正确； 对于B，展开式的通项为， 所以系数， 所以， 令，即可得，所以，故B正确； 对于C，因为，的展开式中偶数项的二项式系数之和为，故C正确； 对于D，因为为偶数，的展开式中二项式系数最大项为第6项， 即，故D错误. 故选：D. 33．展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和. 【答案】(1)512 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二项式系数和的性质直接计算即可. （2）令，即可求得各项系数之和. （3）令，得，结合（2）的结果相加即可求解. （4）结合展开式通项可知各项系数的符号，有，令，即可求得. 【详解】（1）设. 二项式系数之和为. （2）令，，得各项系数之和. （3）令，，得， 又， 两式相加得， 故所有奇数项系数之和为. （4）， ，，，，. ， 令，，得. 34．已知二项式. (1)求二项展开式中的常数项； (2)记二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求. 【答案】(1)70 (2)256 【分析】（1）先求二项展开式的通项公式，令的指数为零即可求出常数项； （2）求出，即可求得的值. 【详解】（1）的二项展开式的通项为， 令，得，所以的二项展开式中的常数项为. （2）的二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为， 因为的二项展开式的通项为， 所以，， . 35．已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若，则 ． 【答案】 【分析】 ，由于的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，可得，解得，即可得的值． 【详解】 ， 的二项展开式的奇数项二项式系数和为64， ，解得． 则． 故答案为：． 题型八：三项展开式问题 36．的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】写出展开式的通项，然后可得答案. 【详解】的通项公式， 令，则，所以的系数为 故选：B 37．（1）的展开式中的系数为 ． （2）的展开式中的系数为 ． 【答案】 5 210 【分析】（1）将目标式合理变形，再结合二项式定理和赋值法求解系数即可. （2）法一将含有的项合理分为三种情况，再把三种情况的系数相加即可，法二将目标式合理变形后两次使用二项式定理展开，得到的展开式通项，再得到，最后结合赋值法求解即可. 【详解】（1）由题意得， 由二项式定理得的通项为， 令，则中含的项为， 令，则中含的项为， 故的展开式中的系数为5. （2）法一：欲求的展开式中含有的项， 则选法如下，当选两个，三个时，系数为， 当选一个，两个，两个时，系数为， 当选个，个，1个时，系数为， 综上，含项的系数为. 法二：将看成二项式展开， 由二项式定理得的通项为， 由二项式定理得的通项为， 则的通项为， 令，解得，而，解得， 此时中含的项为， 当时，系数为，当时，系数为， 当时，系数为， 综上，含项的系数为. 故答案为：5；210 38．（1）求的展开式中按的升幂排列的第3项； （2）求的展开式的常数项； （3）求的展开式中的系数. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用二项式定理分类求解. （2）求出展开式的通项公式，进而确定常数项即可. （3）利用二项式定理求出含的项，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】（1）的展开式中升幂排列第三项为项， 而， 则当，时，为， 当，时，为， 当，时，为， 因此项为，所以升幂排列的第3项为. （2）由题意知， 当时，解得，则，所以常数项为. （3）依题意，， 当时，， ，当时，， 因此的项为，所以的系数为. 39．的展开式中的系数为 . 【答案】30 【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解. 【详解】由， 其展开式的通项为，，， 令，得的展开式的通项为，，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故答案为：30. 40．的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【答案】A 【分析】根据题意，令，即可求得所有项的系数之和，得到答案． 【详解】由多项式，令，可得所有项的系数之和为． 故选：A. 题型九：两个二项式乘积展开式问题 41．的展开式中的系数为（    ） A．60 B．50 C．40 D．20 【答案】A 【分析】先求出展开式的通式公式，然后根据题意可得所求的系数为展开式中的系数减去2倍的的系数. 【详解】的展开式的通项为， 则的展开式中的系数为. 故选：A 42．的展开式中含项的系数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】分别求展开式中含项的系数以及含项的系数，进而可得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 所以的展开式中含项为， 的展开式中含项的系数5. 故选：A. 43． 的展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．200 【答案】B 【分析】将原式化为，结合的展开式通项，即可求含项的系数即可. 【详解】的展开式通项为，， 因为， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 因此，展开式中项的系数为. 故选：B 44．的展开式中的系数为（    ） A．20 B． C．28 D． 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】依题意，的系数为. 故选：B 45．已知的展开式中，常数项为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，的通项公式为， 令，则， 令，则不符合题意， 所以的常数项为， 解得． 故选：. 题型十：二项式定理的应用 46．（1）证明：能被7整除． （2）求精确到0.01的近似值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）先对目标式合理变形，再利用二项式定理证明整除性即可. （2）对目标式合理变形，再利用二项式定理将其展开，忽略掉其他项，进而估值即可. 【详解】（1）由二项式定理得 ， 因为上式中每一项均能被7整除，所以能被7整除． （2）由二项式定理得， 可得第三项，以后各项的绝对值更小， 故． 47．关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．第项的二项式系数最大 B．当时，被除的余数为 C．展开式中存在常数项 D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列 【答案】D 【分析】利用二项式系数的单调性可判断A选项；利用二项展开式可判断B选项；利用二项展开式通项可判断C选项；假设、、成等差数列，利用等差中项的性质结合组合数公式求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，的展开式有项，其中第项的二项式系数最大，A错； 对于B选项，当时，， 因为能被整除，故被整除的余数为，B错； 对于C选项，的展开式通项为， 由得，故展开式中不存在常数项，C错； 对于D选项，由C选项可知，展开式中每一项的系数都为其二项式系数， 不妨设、、成等差数列， 所以，即， 整理得，解得或，合乎题意，D对. 故选：D. 48．已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 【答案】C 【分析】根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案. 【详解】因为， 能被11整除， 所以能被11整除， 由选项知当时，符合题意． 故选：C. 49．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由，再利用二项式展开式可得答案. 【详解】因为 ， 所以被2024除所得的余数为，所以. 故选：AC. 50．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $