第6章 计数原理 章末归纳提升（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章计数原理 章未归纳提升 对应学生课时P38 [知识整合·思维导图] 定义：完成一件事有2类不同的方案 分类加法计数原理 公式：N=m十n 分类加法计数原理与 定义：完成一件事需要2个步骤 分步乘法计数原理 分步乘法计数原理 公式：N=m×n 两个计数原理的 区别：一个分类，一个分步 关系及综合应用 综合应用：(1)明确是先分类还是先分步： ()确定分类标准和分步流程 排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤) 个元素，按照一定的顺序排成一列 排列数及其公式：A=n(1-1)(1-2) 排列 (n-m+1)= (n-m刀n,m∈N*,m≤） n! 排列应用题：元素分析法、位置分 析法、捆绑法、插空法 组合的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤)个元素作为一组 计数原理 排列与组合 组合 组合数及其公式：C=A 牙m(m-m刀，m∈N,m≤n 组合数的性质：Cw=C”m,C=CW+C1 组合应用题：直接法、间接法、隔板法 排列、组合综合应用题 先选后排 二项式定理的内容：(a+b)”=Ca”+Calb +…+Cab+…十C沙”(n∈N*) 二项式定理 二项式定理 项展开式的通项Tk+1=Cab “杨辉三角”中数的排列规律 “杨辉三角”与三 项式系数的性质 二项式系数的性质：(1)对称性，CW=Cm;(2)增减性与最大值； (3)各二项式系数的和，C%+C,十C%+…+C”=2”,C+C+C +…=C%十C%+CW十…=21 ·49· 数学·选择性必修第三册 [题型梳理·素养聚焦] [考点一] 逻辑推理，数学运算—一两个计数原 每组2人，有CCC(种)分法（不是CCC):第三 理的应用 A 步；将医生和护士搭配成3队，使每队有1医2护， [例1](1)3名医生和6名护士被分配到3所学校为 有A种搭配方法；第四步，将所得三队分配到3所 学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不 不同的学校，有A种分配方法，由分步乘法计数原 同的分配方法有 ( ) A.90种 B.180种 理知，共有不同分配方法 CC.·A=540(种). A C.270种 D.540种 故选D, (2)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进 (2)D[根据所用颜色的种数分类，第一类：用4种 行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜 颜色涂，有A=4×3×2×1=24(种). 色，则不同的着色方法共有 第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色： 有CCA号=48（种）. 第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色有A 4×3=12(种).共有24十48+12=84（种）.故选D.] A.144种 B.72种 C.64种 D.84种 规律方法 解析：(1)D法一：分两步，首先将3名医生派往3 1.利用两个计数原理解题，搞清两个原理的含义 所学校，有A种，其次将6名护士派往3所学校， 及区别，解题时，通过数学逻辑推理，知道证明 先从6名护士中任选2名派往第一所学校有C种 题是利用哪个原理去解题，关键是分类还是分 方法，再从剩下的4名护士中选2名派往第二所学 步，进而通过正确的数学运算求解。 校有C种方法，最后把剩下的2名护士派往第三 2.综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并 且遵循两个原则：一是按元素的性质进行分 所学校有C种方法，故派护士共有CCC种方 类；二是按事件发生的过程进行分步 法，由分步乘法计数原理知，共有不同的分配方法 AC%CC号=540（种）.故选D. ◇[变式训练] 法二：分两步：首先组成三个体检队，给第一名医生 1.(1)2023年10月17日至18日，北京召开第三届 “一带一路”国际合作高峰论坛，组委会要从6个国 可配备2名护士，不同方法数为C;接着给第二名 内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进 医生配备2名护士有C?种方法；然后将剩下的2 行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有 名护士配备给第三名医生，只有1种方法.因此，组 国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同 成三个体检队，每队1医2护，不同的组队方法共 提问方式的种数为 有CC=90(种)，将3个体检队派往3所学校，每 A.198 B.268 所学校1队，不同的分配方法有A种，由分步乘法计 C.306 D.378 数原理知，共有不同的分配方法CCA=540(种). (2)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字 故选D. 组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必 法三：分三步：首先选1名医生和2名护士去第一 须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应 所学校，有CC种.其次从剩下的人员中选1名医 排在其他数字的前面，那么这样不同的三位数共有 生和2名护士去第二所学校有CC种方法；最后 个.（用数字作答） 把剩下的1名医生和2名护士派往第三所学校，只 (1)A[分两种情况：若选两个国内媒体团，一个 有1种方法.由分法乘法计数原理知，共有不同的 国外媒体团，有CCA=90(种)不同提问方式；若 分配方法(CC%)(C2C)=540(种).故选D. 选两个国外媒体团、一个国内媒体团，有CCA 法四：分四步：第一步，将3名医生分成3组，每组 108(种)不同提问方式，所以共有90+108=198种 一人只有一种方法；第二步，将6名护士分成3组， 不同提问方式.故选A.] ·50· 第六章计数原理 (2)解析：1与3是特殊元素，以此为分类标准进行 目中间（即图中“×”的位置），这样相当于从7个 分类 “×”中选4个来排，一共有A=840(种). 分三类：①没有数字1和3时，有A个： 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604800（种）. ②只有1和3中的一个时，有2A个； ③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种 ③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4 排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节 个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有 目演出的方式有 10 A2=132(种)排法. C·C个.所以满足条件的三位数共有A3+2A十 A10 C·C=60(个). 规律方法 答案：60 1.处理排列组合应用题的一般步骤 [考点二] 逻辑推理数学直观一排列、组合 (1)认真审题，弄清楚是排列（有序）还是组合（无 的应用 序)，还是排列与组合混合问题. [例2]（1)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名 (2)抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个 新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团 基本原理进行“分类与分步”， 体比赛，则人选的3名队员中至少有1名老队员且 2.处理排列组合应用题的规律 1、2号中至少有1名新队员的排法有 种. (1)两种思路：直接法，间接法 (用数字作答) (2)两种途径：元素分析法，位置分析法. (2)在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4 3.排列组合应用题的常见类型和解决方法 个舞蹈节目. ①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的 (1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略. 节目安排顺序？ (2)合理分类与准确分步的策略， ②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱 (3)正难则反，等价转化的策略. 节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ (4)相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略， ③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵 (5)元素定序，先排后除的策略. 和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺 (6)排列、组合混合题先选后排策略， 序，有多少种不同的节目演出顺序？ (7)复杂问题构造模型策略 解析：(1)①只有1名老队员的排法有 ◇[变式训练] CCA=36种. 2.从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数， ②有2名老队员的排法有CCCA=12种.所以 试问： 共有 (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ 36+12=48(种). (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ 答案：48 (3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排 (2)①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1 在一起的有几个？ 个节目，与6个演唱节目一起排，有A=5040(种)方 (4)在(1)中任意两个偶数不相邻的七位数有几个？ 法；第二步，再松绑，给4个节目顺序，有A=24(种) 解：(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可 方法 有C种取法；第二步，在5个奇数中取4个，可有 根据分步乘法计数原理，一共有5040×24= C种取法；第三步，3个偶数、4个奇数进行排列， 120960(种)方法. ②第一步，将6个演唱节目排成一列（如下图中的 可有A?种排法.所以符合题意的七位数有C·C “☐”)，一共有A=720(种)方法. ·A7=100800(个). ×口×口×口×口×□×口× (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C·C 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节 ·A·A=14400(个). ·51· 数学·选择性必修第三册 (3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也 规律方法 排在一起的有C·C·A·A·A=5760(个). 1.区分“项的系数”与“二项式系数”.项的系数与 (4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数 a,b有关，可正可负，二项式系数只与n有关， 排好，再将3个偶数分别插入5个空中，共有C· 恒为正 C·A·A=28800(个). 2.理解“常数项”，“有理数（字母指数为整数）”， [考点三] 数学运算数学抽象一二项式 “系数最大的项”等概念 定理及其应用 3.求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不 的展开式中第三项与第 能仅仅说明是第几项. 4.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常 五项的系数之比为一是其中子=-1，则展开式中 赋的值为0，±1. 系数为实数且最大的项为 ⊙[变式训练] A.第三项 B.第四项 +x)展开式中x的系数为( C.第五项 D.第五项或第六项 31+) (2)已知x2+x"=aw十a1(x+1)十…十a(.x+1)十 A.15 B.20 an(x十1)°，则a的值为 C.30 D.35 (3)在(x+y)”的展开式中，系数为有理数的项 共有 项。 2)在（丘+ 1 的展开式中，x的幂指数是整数 解析：(1)C[T,=-Cx2m5,T,=Cxm-1 的项共有 由-C:C= 音得-5n一50=0， A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 所以n=10, (3)若(x2+1)(2-3)°=a,十a1(2-2)+a2·(x-2) 又T6+1=C(-i)x2”,据此可知当k=0,2,4, 十a(x-2)3+…+a11(x-2)",则a1+a2十a3十 6,8,10时系数为实数，且当k=4时，C1。=210 …+a1,的值为 最大. 故选C.] (1)解析：C[(1十x)的展开式的通项T,+1= (2)解析：法一：所给等式即[1一(x十1)]+[1一(x C,所以(+)1十z的晨开式中r的系 十1)]”=a十a1(x+1)+…十a十ao(x+1)°，而 数为1×C%+1×C=30.] “(x十1)9”只能从[1一(.x十1)]1°中产生，根据二项 式定理，得a=-C。=一C,=一10， (2)解析：C + 的展开式的通项为 法二：因为a。与x°的系数有关，等式左边x9的系 数为0，所以等式右边x9的系数也为0. T+1 因为z°的系数为a1n=C1。=1,x°的系数为a·C9 C24·(E)24 =C24x2,故当r=0,6, 十a1w·Cw=ag十10=0，所以a=-10. 12,18,24时，幂指数为整数，共5项.] 答案：-10 (3)解析：令x=2,得a=(22+1)(2-3)°=-5. (3)解析：T,+1=C·3奇x20-·y,其系数为C0 令x=3,则a十a1十a2十a3十…十a11=(32+1)(3 3,当r=0,4,8,12,16,20时，其系数为有理数，所 -3)9=0,所以a1十a2十a3十…a1=-a0=5. 以共有6项. 答案：6 答案：5 ·52·