6.3.2 二项式系数的性质（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

世五维课堂 数学·选择性必修第三册 6.3.2二项式系数的性质 课程标准 素养解读 1.通过学习二项式系数的性质，培养 1.掌握二项式系数的性质及其应用 逻辑推理的素养 2.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明 2.借助杨辉三角的学习，提升数学抽 3.掌握二项式定理的应用 象的素养 课前。预习学案 [情境引入] 于15.杨辉看到这个算题时想起来他在西汉 杨辉三角 学者戴编纂的《大戴礼》一书中也见过.杨辉想 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形 到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，两人 数表，一般形式如下： 终于将算式摆出来了，后来，杨辉随孩童来到 1 老先生家里，与老先生谈论起数学问题来.老 11 先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写 121 过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴 1331 九履一，五居中央.’”杨辉听了，这与自己与孩 14641 童摆出来的完全一样，便问老先生：“你可知这 15101051 个九宫图是如何造出来的？”老先生说不知道 1615201561 杨辉回到家中，反复琢磨.一天，他终于发现一 杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边 条规律，并总结成四句话：“九子斜排，下下对 都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它 易，左右相更，四维挺出”，就是说：先把1~9 肩上的两个数之和 九个数依次斜排，再把上1下9两数对调，左7 杨辉，字谦光，钱塘（今杭州）人，我国南宋 右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面 时期杰出的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并 挺出，这样三阶幻方就填好了.杨辉研究出三 称宋元四大数学家，他在我国古代数学史和数 阶幻方（也叫络书或九宫图）的构造方法后，又 学教育史上占有十分重要的地位. 系统的研究了四阶幻方至十阶幻方，在这几种 杨辉对幻方的研究源于一个小故事.当时 幻方中杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法 杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一 的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未 孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在地上 留下作法.但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻 做一道数学题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到 方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方 孩童旁问是什么算题.原来这个孩童在算一位 的构成规律， 老先生的一道题：把1到9的数字分行排列， 结合杨辉三角与二项展开式中二项式系 不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等 数，你能发现什么联系？ ·32· 第六章计数原理 五维课堂兰 [知识梳理] [知识点三]各二项式系数的和 [知识点一]对称性 1.C9+C+C%+…十C=2”; 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 2.C+C十C+…=C9+C%+C4+…=2m-1 等.这一性质可直接由 得 [知识点四]杨辉三角的特点 到.直线r=将函数f(x)=C:的图象分 1.在同一行中，每行两端都是 ,与这 两个1等距离的项的系数 成对称的两部分，它是图象的对称轴， 2.在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等 思考1.二项式的系数取得最大值的项的系 于它“肩上”两个数的 ,即C%+1= 数一定是系数中最大的吗？ C+C. [预习自测] 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”）. (1)二项展开式中系数最大项是中间一项（共 奇数项)或中间两项（共偶数项）.() 2.C1,Cm,C%+1之间有什么关系？ (2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数 和. () (3)二项展开式项的系数是先增后减的， ( ) (4)杨辉三角中每行两端的数都是1.( 2(+) 的展开式中第8项是常数，则展 开式中系数最大的项是 [知识点二]增减性与最大值 A.第8项 B.第9项 1.当<时，C随k的增加而 2 C.第8项和第9项 D.第11项和第12项 当k>”生时，C心随的增加而 3.(2x一1)°的展开式中各项系数的和为 2.当n是偶数时，中间的一项 取得最 各项的二项式系数和为 大值，当n是奇数时，中间的两项 4.若(2-x)10=a十a1x十a2x2+…十aox0, 与 相等，且同时取得最大值 则ag=」 ·33· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 课堂。互动学案 题型一求二项展开式中有关系数的和 规律方法 1.解决二项式系数和问题的思维流程 [例1]在二项式(2x一3y)9的展开式中，求： 对式子中的x赋值，目的是将二项式 (1)二项式系数之和； 求 切入点 的系数分离出来 怎样对x赋值 (2)各项系数之和； 项式系数 思考点 展开式的常数项和最高次项系数如何求出 (3)所有奇数项系数之和； 如何得到所求值的代数关系 思维流程 对x赋值 变形结论 (4)系数绝对值的和， 2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数 思路点拨了“设出展并式的形式，再适当 常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字 赋值， 母不同值.要使展开式中项的关系变为系 数的关系，令x=0可得常数项，令x=1 可得所有项系数之和，令x=一1可得偶 次项系数之和与奇次项系数之和的差. 一般地，若f(x)=a。十a1x十a2x2+…十 anx”,则f(x)展开式中各项系数之和 为f(1), 奇数项系数之和为ao十a2十a4十 =f1)+f(-1) 2 偶数项系数之和为a1十a3十a5十… =f(1)-f(-1) 2 ⊙[变式训练] 1.设(1-2x)225=a十a1x十a2x2+…十a2s· x2025(x∈R) (1)求ao十a1十a2+…+a225的值； (2)求a1十a3十a5十…十a22s的值； (3)求|a|+|a1「+a2|+.+|a2o2s 的值 ·34· 第六章计数原理 五维课堂兰 题型二求三项展开式中有关系数最天的项 规律方法 [例2](1+2x)”的展开式中第6项与第7项 1.二项式系数的最大项的求法 的系数相等，求展开式中二项式系数最大的 求二项式系数的最大项，根据二项式系数 的性质对(a十b)”中的n进行讨论」 项和系数最大的项， (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数 汇思路点拨]根据已知条件可求出，再 最大 根据n的奇偶性，确定出二项式系数最大 (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数 的项。 最大. 2.展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系 数最大项是不同的，需要根据各项系数的 正、负变化情况进行分析.如求(a十bx)” (a,b∈R)的展开式中系数的最大项， 般采用待定系数法.设展开式中各项系数 分别为A,A1,A2,…,An,且第r十1项最 大，应用 A,≥A1'解出，即得出系数 A≥A+1, 的最大项 3.理解运算对象，选择运算方法，求得运算 结果.通过运算促进数学思维发展，提升 数学运算的核心素养， ⊙[变式训练] 2.已知二项式(2+2x: (1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二 项式系数成等差数列，求展开式中二项式系 数最大项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项， ·35· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 题型与“杨辉三角”有关的问题 ⊙[变式训练] [例3]如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的 3.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角 上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿 中，第 行中从左至右的第14个数 形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项 与第15个数的比为2：3. 和为Sn,求Sg的值. 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 15-10/1051 …官 第5行 15101051 汇思路点拨了由图知，数列中的首项是 。 。g 。。 C%,第2项是C,第3项是C,第4项是 题型四利用二项式定理解决整除问题或求余数问题 C3,…,第17项是C。,第18项是C10,第 [例4](1)用二项式定理证明：111-1能被 19项是C1· 100整除； (2)求912被100除所得的余数 [思路点拨](1)1110-1=(1+10)10-1， 展开求证即可； (2)912=(100一9)2,92=(10一1)2，展开求 解即可， 规律方法 “杨辉三角”问题解决的一般方法 对数据要横看、竖看、斜看、连续 观察 看、隔行看、多角度观察 通过观察找出每一行的数之间， 规律 行与行之间的数据规律 表达一将发现的规律用数学式子表示出来 结论一由数学表达式得出结论 ·36· 第六章计数原理 五维课堂坐 规律方法 2.在(a+b)10的二项展开式中与第3项二项式 1.利用二项式定理解决整除问题的基本 系数相同的项是 () 思路 A.第8项 B.第7项 利用二项式定理解决整除问题的关键是 C.第9项 D.第10项 巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证 3.(1一2x)15的展开式中的各项系数和是 明一个式子能被另一个式子整除，只需 证明这个式子按二项式定理展开后的各 A.1 B.-1 项均能被另一个式子整除.因此，一般先 C.215 D.315 将被除式化为含有相关除式的二项式， 再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”， 4已知(+2z厂 的展开式中前三项的二项 结合整除的有关知识来处理， 式系数的和等于37，则展开式中二项式系 2.利用二项式定理求余数的注意点 数最大的项的系数为 求余数时，要注意余数的范围，即余数大于 5.求(1一3x)12的展开式中： 零且小于除数.利用二项式定理展开变形 (1)各项二项式系数之和； 后，若剩余部分是负数，要注意进行转化. (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； ◇[变式训练] (4)各项系数和； 4.(1)求证32m+2-8n-9(n∈N*)能被64 (5)各项系数绝对值和； 整除； (6)奇数项系数和与偶数项系数和. (2)求23一3除以7的余数. [当堂达标] 1.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是 ) 121 1331 14a41 15101051 A.8 B.6 ©温馨提 学习至此，请完成配套训练 C.4 D.2 ·37·参考答案 法三：乐式=[（2x-2)]-(22-)月 T+1=c2a)8-(-)）=(-1)*28-c8-, 由8-2k=0,得k=4, 所以常数项为(-1)4X24C8=1120.] 当堂达标 1.C[由n+1=12,可知n=11.] 2.C[由题意可知第6项的二项式系数为C.] 3.解析：T7=C0(-x)6=210x6. 答案：210x6 4.解析：C号x2a3=80x2→a=2. 答案：2 5.解：(1)由已知得二项展开式的通项为 T+1=c2回9-.（) =(-1)'C6·26-r·x3-r .T6=-12x-号， 第6项的二项式系数为C唱=6. 第6项的系数为C%·(-1)·2=-12. 6.3.2二项式系数的性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一 Cm=Cnm [思考] 1.提示：不一定.如果项的系数中还有其他的常数，则该项 的系数不一定最大， 2.提示：Cn+1=Cm1+C. 知识点二 1.增大减小 2.C培C学C 知识点四 1.1相等2.和 预习自测 1.提示：(1)×二项展开式中项的系数与二项式系数是不 同的，二项式系数最大项是中间一项（共奇数项）或中间 两项（共偶数项），但是项的系数的最大值与项和其他数 字因数的大小有关 ·1 五维课堂 (2)×在二项式(a十b)n中只有当a,b的系数都为1 时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和 (3)×二项式系数是随n的增加先增后减的，二项式项 的系数和a,b的系数有关. (4)√根据杨辉三角的特点可知正确. 2.D[二项展开式的通项公式为T,+1= C%·(x)n-r·(x1)r=C·xm-r, 令，=7，则号-号=0，解得=21，通项公式可化简为C1 ·x学.由于n=21,C1一共有22项，其中最大的项为r =10,11两项，即展开式的第11项和第12项.] 3.解析：令展开式左、右两边x=1,得各项系数和为1；各二 项式系数之和为26=64. 答案：164 4.解析：由题意可知ag是x8的系数，所以ag=C。·22 =180. 答案：180 课堂互动学案 [例1]解：设(2x-3y)9=a0x9十a1x8y+a2x7y2+… +asy. (1)二项式系数之和为C8十C十C名十…十C8=29, (2)各项系数之和为a0十a1十a2十…十ag, 令x=1,y=1,得 a0+a1+a2+…十ag=(2-3)9=-1. (3)由(2)知a0十a1十a2十…+a9=一1， 令x=1,y=-1,可得a0-a1十a2-…-ag=59. 将两式相加，可得 a十ag十a:十as十ag-5,甲为所有专数项系数之和， (4)法-：ao|+|a1|+a2|+…+|ag|=ao-a1十a2 a3十…-ag, 令x=1,y=-1,则|ao|+|a1|+|a2|+…+|ag|=ao a1十a2-a3十…-ag=59; 法二：lao|+|a1|+|a2+…+|ag|即为(2x+3y)9的展 开式中各项系数和，令x=1,y=1,得|ao|十|a1|十|a2 +…十|ag=59. 5 世五维课堂 变式训练 1.解：(1)令x=1,得 a0十a1十a2+…+a2025=(-1)2025=-1.① (2)令x=-1,得a0-a1十a2--a2025=32025.② ①一②得 2(a1十a3+…+a2025)=-1-32025, a1+ag+ag++a202s=-1-32025 2 (3)T,+1=C2025(-2x)'=(-1)y·C3025·(2x)', .a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N). ①十②得2(a0十a2十…十a2024)=-1+32025,∴.a0十a2 +…+a2024=1+32035 2 ∴.lao|+la1l+la2|+|a3+…+|a2o2sl =a0-a1十a2-a3十…-a2025-32025. [例2]解：T6=C5(2x)5,T7=C(2x)6,依题意有C25= Ci26→n=8. ∴.(1十2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5= C·(2x)4=1120x4.设第r十1项系数最大，则有 Cg·2r≥Cg1·2r-1 →5≤r≤6..r=5或r=6. (Cg·2r≥Cg1·2r+1 r∈{0,1,2，…，8}， .系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6. 变式训练 2.解：(1)由题意，得C十C%=2C, 所以n2-21n十98=0， 所以n=7或n=14. 当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5, 工的系数为C心×（合）'×23=5，I的系数为C× (合)×24=70， 故展开式中二项式系数最大项的系数分别为，70。 当n=14,展开式中二项式系数最大的项是T8,所以T8 的系数为C×(合)'×27=3432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为3432. (2)由题意知C9+C十C%=79, 解得n=12或n=一13（舍去）. 设展开式中第(r+1)项的系数最大. 由于（合+2✉）”=（合）“a+4, ·1 数学·选择性必修第三册 1Ci2·4≥C121·4-1, 则 (C2·4≥CE1·4+1, 所以9.4≤r≤10.4. 又r∈{0,1,2，…，12}，所以r=10, 所以系数最大的项为T1,且T1= (合).c· (4x)10=16896.x10 [例3]解：S1g=(C3+C2)+(C号+C)十(C+C)+…+ (C。+Co)+C =(C2+Cg+C+…+Co)+(C3+C+…+C。+C2) =(2+3+4+…+10)+C32 =(2+10)X9+C32=2+10)X9+220=274. 2 2 变式训练 3.解析：由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为 2:3,它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系 数的比，所以C:C=2:3,即n43=号，解得m=34, 所以第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是 2：3. 答案：34 [例4]解：(1)证明：.1110-1=(10十1)10-1 =(1010+C0·109+C0·108+…+C0·10+1)-1 =1010+C0·109+C30·108+…+102 =100(108+C10·107+C70·106+…+1), ,1110-1能被100整除. (2)9192=(100-9)92=C92·10092-C2·10091·9+ C号2·10090·92一…十C7992,展开式中前92项均能被 100整除，只需求最后一项除以100的余数. :992=(10-1)92=C82·1092-C2·1091+…+C88· 102-C2·10十1，前91项能被100整除，后两项和为 919,因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为 1000-919=81,故9192被100除所得余数为81. 变式训练 4.(1)证明：32m+2-8n-9=(8十1)n+1-8n-9=C%+18m+1 +Ch+18m+…+C+1-8n-9 =C%+18m+1+Ch+18"+…十CnF182+C%+1·8+1-8n -9 =C%+18m+1+Ch+18m+…+C82. 该式每一项都含因式82，故能被64整除 26 参考答案 (2)解：230-3=(23)10-3=810-3 =(7+1)10-3 =C9o710+C1o79+…+C9o7+C8-3 =7X(C9079+C1078+…+C10)-2. 又，余数不能为负数（需转化为正数），230一3除以7 的余数为5. 当堂达标 1.B[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4十a =10,得a=6.] 2.C[根据二项展开式的性质，与首末等距离的两项的二 项式系数相等，C正确.] 3.B[令x=1即得各项系数和，.各项系数和为-1.] 4.解析：由C+C以+C=37,得1+n+2nn-1)=37. 解得n=8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大， 1飞=C×X(21=要，该项的系数为5 答案：智 5.解：(1)各项二项式系数和为C2十C2十C2十…十C= 212=4096. (2)奇数项二项式系数和为C2十C2十C2十…十C形= 211=2048. (3)偶数项二项式系数和为C2+C2+C2十…+C= 211=2048. (4)(1-3x)12=C92-C12·3x+C2(3x)2-C32(3x)3+ …十C强(3x)12,令x=1,得各项系数和为(1-3)12= 4096. (5)令x=一1，得各项系数的绝对值和为(1十3)12=412 =16777216. (6)令奇数项系数和为A,偶数项系数和为B. 令x=1得A十B=212;令x=-1得A-B=412. ÷A=号×(22+4)=8390656， B=2×(21-42)=-8386560. 章末归纳提升 [例1](1)D法一：分两步，首先将3名医生派往3所学 校，有A种，其次将6名护士派往3所学校，先从6名 护士中任选2名派往第一所学校有C种方法，再从剩 ·121 五维课堂色 下的4名护士中选2名派往第二所学校有C种方法， 最后把剩下的2名护士派往第三所学校有C种方法， 故派护士共有C哈CC种方法，由分步乘法计数原理知， 共有不同的分配方法ACCC号=540（种）.故选D. 法二：分两步：首先组成三个体检队，给第一名医生可配 备2名护士，不同方法数为C:接着给第二名医生配备 2名护士有C?种方法；然后将剩下的2名护士配备给第 三名医生，只有1种方法.因此，组成三个体检队，每队1 医2护，不同的组队方法共有CC=90(种)，将3个体 检队派往3所学校，每所学校1队，不同的分配方法有 A种，由分步乘法计数原理知，共有不同的分配方法 C号CA=540(种).故选D. 法三：分三步：首先选1名医生和2名护士去第一所学 校，有CC?种.其次从剩下的人员中选1名医生和2名 护士去第二所学校有CC?种方法；最后把剩下的1名 医生和2名护士派往第三所学校，只有1种方法.由分法 乘法计数原理知，共有不同的分配方法(CC)(CC)= 540(种).故选D. 法四：分四步：第一步，将3名医生分成3组，每组一人只 有一种方法；第二步，将6名护士分成3组，每组2人，有 C3CC(种)分法（不是C唱CC3);第三步：将医生和护士 A 搭配成3队，使每队有1医2护，有A种搭配方法；第 四步，将所得三队分配到3所不同的学校，有A种分配 CCC 方法，由分步乘法计数原理知，共有不同分配方法 A ·A3·A3=540(种).故选D. (2)D[根据所用颜色的种数分类，第一类：用4种颜色 涂，有A4=4×3×2×1=24(种). 第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色：有 C2CA?=48(种). 第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色有A?=4×3= 12(种).共有24+48十12=84（种）.故选D.] 变式训练 1.(1)A[分两种情况：若选两个国内媒体团，一个国外蝶 体团，有C号CA经=90（种）不同提问方式；若选两个国外 媒体团、一个国内媒体团，有CCA=108(种)不同提问 方式，所以共有90+108=198种不同提问方式.故选A.]