6.3.2 二项式系数的性质（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·选择性必修第三册 6.3.2二项 课程标准 :1.掌握二项式系数的性质及其应用 :2.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明 :3.掌握二项式定理的应用 课前0 [情境引入] 杨辉三角 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一 般形式如下： 1 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由 数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数 之和. 杨辉，字谦光，钱塘（今杭州）人，我国南宋时期杰 出的数学家，与秦九韶、李治、朱世杰并称宋元四大数 学家，他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分 重要的地位 杨辉对幻方的研究源于一个小故事.当时杨辉是 台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉 问明原因方知是一孩童在地上做一道数学题，杨辉一 听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题.原来这 个孩童在算一位老先生的一道题：把1到9的数字分 行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等 于15.杨辉看到这个算题时想起来他在西汉学者戴 编纂的《大戴礼》一书中也见过.杨辉想到这儿，和孩 童一起算了起来，直到午后，两人终于将算式摆出来 了，后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论 起数学问题来.老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》 一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七， 戴九履一，五居中央.’”杨辉听了，这与自己与孩童摆 出来的完全一样，便问老先生：“你可知这个九宫图是 如何造出来的？”老先生说不知道.杨辉回到家中，反 复琢磨.一天，他终于发现一条规律，并总结成四句 话：“九子斜排，下下对易，左右相更，四维挺出”，就是 说：先把1~9九个数依次斜排，再把上1下9两数对 调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外 面挺出，这样三阶幻方就填好了.杨辉研究出三阶幻 方（也叫络书或九宫图）的构造方法后，又系统的研究 式系数的性质 素养解读 1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的 素养 2.借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养 预习学案 对应学生用书P32 了四阶幻方至十阶幻方，在这几种幻方中杨辉只给出 了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨 辉只画出图形而未留下作法.但他所画的五阶、六阶 乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶 幻方的构成规律. 结合杨辉三角与二项展开式中二项式系数，你能 发现什么联系？ [知识梳理] [知识点一]对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.这一 性质可直接由C=C"得到.直线r=号将函数 f(x)=C”的图象分成对称的两部分，它是图象的 对称轴。 门思考1.二项式的系数取得最大值的项的系数 一定是系数中最大的吗？ 提示：不一定.如果项的系数中还有其他的常数， 则该项的系数不一定最大 2.C1,C”,C”+1之间有什么关系？ 提示：C+=C+C [知识点二]增减性与最大值 1.当<”时，C随k的增加而增大，当>”十 2 2 时，C随的增加而减小 2.当n是偶数时，中间的一项C?取得最大值，当n是 奇数时，中间的两项C宁与C宁相等，且同时取得 最大值。 [知识点三]各二项式系数的和 1.C9+C+C%+…+C”=2"; 2.C+C3+C+…=C9+C%+C+…=2m-1 [知识点四]杨辉三角的特点 1.在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的 项的系数相等. 2.在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它 “肩上”两个数的和，即C+1=C,1十C [预习自测] 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”）。 (1)二项展开式中系数最大项是中间一项（共奇数项） 或中间两项（共偶数项）. ( ) (2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和. ( (3)二项展开式项的系数是先增后减的. (4)杨辉三角中每行两端的数都是1. 提示：(1)×二项展开式中项的系数与二项式系数 是不同的，二项式系数最大项是中间一项（共奇数项） 或中间两项（共偶数项），但是项的系数的最大值与项 和其他数字因数的大小有关。 (2)×在二项式(a+b)”中只有当a,b的系数都为 1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和， (3)×二项式系数是随n的增加先增后减的，二项 式项的系数和a,b的系数有关. (4)/根据杨辉三角的特点可知正确. 2(+厂的展开式中第8项是常数，则展开式中 系数最大的项是 ● 课堂。 题型一求二项展开式中有关系数的和 [例1]在二项式(2x一3y)的展开式中，求： (1)二项式系数之和： (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和. 〔思路点拨了设出展开式的形式，再适当赋值. 解：设(2x-3y)°=anx+a1x8y+a2x2y2+… +agy°. (1)二项式系数之和为C9十C。十C十…+C9=2. (2)各项系数之和为ao十a1十a2十…十ag, 令x=1,y=1,得 a0十a1+a2+…十ag=(2-3)9=-1. (3)由(2)知ao十a1十a2+…十ag=-1, 令x=1,y=-1,可得an-a1十a2-…-ag=5°. 将两式相如，可得a,十，十a,十a,十a-5”,即 为所有奇数项系数之和. (4)法-：ao|+a1+a2+…+ag=ao-a1十 a2一a3十·-agy 令x=1,y=-1,则|ao|+|a1|+|a2|十…+ag =a0一a1十a2-a3十…-ag=5°； 法二：a。+|a1|+|a2十…+|ag|即为(2x+ 3y)°的展开式中各项系数和，令x=1,y=1,得 ao+a1+|a2+…+ag|=5. ·4 第六章计数原理 A.第8项 B.第9项 C.第8项和第9项 D.第11项和第12项 解析：D[二项展开式的通项公式为T,+1= C·(x)””·(x1)'=C·xn- 令一7，则日 =0,解得n=21,通项公式可化简 为C1·2→.由于n=21,C1一共有22项，其中 最大的项为r=10,11两项，即展开式的第11项和 第12项.] 3.(2x一1)°的展开式中各项系数的和为 ;各项的 二项式系数和为 解析：令展开式左、右两边x=1,得各项系数和为 1;各二项式系数之和为2=64. 答案：164 4.若(2-x)"=a十a1x十a2x2+…十a1nz°，则a8= 解析：由题意可知a8是x3的系数，所以a8=C。· 22=180. 答案：180 互动学案 对应学生用书P34 规律方法 1.解决二项式系数和问题的思维流程 求 对式子中的x赋值，目的是将二项式 切入点 的系数分离出来 怎样对x赋值 一项式系数的和 思考点 展开式的常数项和最高次项系数如何求出 如何得到所求值的代数关系 思维流程 对x赋值—变形结论 2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用 的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值. 要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x =0可得常数项，令x=1可得所有项系数之 和，令x=一1可得偶次项系数之和与奇次项 系数之和的差. -般地，若f(x)=an十a1x十a2x2十…十 anx”,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为ao十a2十a4十… =f1)+f(-1) 2 偶数项系数之和为a1十a3十a5十… f(1)-f(-1) 2 数学·选择性必修第三册 ◇[变式训练] 1.设(1-2)2=a,十ax十a2.x2十…十a225·x225(x ∈R). (1)求a十a1十a2十…十a225的值； (2)求a1十a3十as十…十a22s的值； (3)求ao|+a1|+|a2|+…+a22s1的值. 解：(1)令x=1,得 a,十a1十a2十…十a225=(-1)225=-1.① (2)令x=-1,得a-a1十a2-…-a22s=322.② ①一②得 2(a1十a3+…十a225)=-1-32025, 六a1十a,十a+…+as=二13 2 （3):T,+1=Cs（-2x)y=(-1)'·C·(2x)y, .a2k-1<0(k∈N),a2k>0(k∈N). ①+②得2(a,十a2十…十a224)=-1十3225，∴a。 十a,十…十ae:=-1+32吧 2 ∴.|ao|+la1|+|a2|+a3|+…+|a22s =an一a1十a2-a3十…-a202s=32025. 题型二求二项展开式中有关系数最大的项】 [例2](1十2x)”的展开式中第6项与第7项的系数 相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大 的项。 汇思路点拨]根据已知条件可求出n,再根据n的 奇偶性，确定出二项式系数最大的项. 解：T6=C(2x)5,T,=C(2x),依题意有C2= C92→n=8. .(1十2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为 T,=C8·(2x)=1120x.设第r十1项系数最大， 则有 C8·2≥Cg1·21 →5≤r≤6..r=5或r=6. (C%·2≥Cg+1·2+1 r∈{0,1,2，…，8}， .系数最大的项为T6=1792.x,T7=1792x. 规律方法 1.二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性 质对(a+b)”中的n进行讨论. (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 44 续表 2.展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最 大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变 化情况进行分析.如求(a+bx)”(a,b∈R)的 展开式中系数的最大项，一般采用待定系数 法.设展开式中各项系数分别为A。,A1,A2, …,An,且第r十1项最大，应用 A≥A1'解 A≥A+1, 出r,即得出系数的最大项. 3.理解运算对象，选择运算方法，求得运算结果. 通过运算促进数学思维发展，提升数学运算的 核心素养。 ◇[变式训练] 2已知二项式(2+2小八： (1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系 数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的 系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求 展开式中系数最大的项， 解：(1)由题意，得C4十C=2C, 所以n2-21n+98=0, 所以n=7或n=14. 当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T,和 T工的系数为C×(2)×2-2工，的系数 为C× （2)×2=70 故展开式中二项式系数最大项的系教分别为5， 21 70.当n=14,展开式中二项式系数最大的项是T8, 所以T。的系数为C× 3)×2=3482 故展开式中二项式系数最大项的系数为3432. (2)由题意知C十C,+C=79, 解得n=12或n=-13(舍去). 设展开式中第(r十1)项的系数最大。 (1+4x)12, 则：·4≥Cg1·4, {C2·4≥C1.4+, 所以9.4≤r≤10.4. 又r∈{0,1,2，…，12}，所以r=10, 所以系数最大的项为T1,且T1= 2 (4x)10=16896.x". 题型三 与“杨辉兰角”有关的问题 [例3]如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方， 从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2， 3,3,6,4,10,5,….记其前n项和为Sn,求S1g的值. 15-10/1051 R [思路点拨]由图知，数列中的首项是C,第2项 是C2,第3项是C,第4项是C,…,第17项是 C。,第18项是C。,第19项是C 解：Sg=(C+C)+(C+C)+(C+C)+…+ (C。十C)+C =(Cg十C+C+…十C)+(C+Cg+…十C+C) =(2+3+4+…+10)+C2 2+10)x9+C,=2+10)X9 220=274. 2 2 规律方法 “杨辉三角”问题解决的一般方法 观察 对数据要横看、竖看、斜看、连续 看、隔行看、多角度观察 通过观察找出每一行的数之间， 规律 行与行之间的数据规律 表达 将发现的规律用数学式子表示出来 结论一由数学表达式得出结论 ◇[变式训练] 3.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 行中从左至右的第14个数与第15个数 的比为2：3. 第0行 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行 15101051 …… 解析：由题意设第n行的第14个数与第15个数的 比为2：3，它等于二项展开式的第14项和第15项 的二项式系数的比，所以C:C=2:3,即14 n-13 解得n=34,所以第34行中，从左至右 个数与第15个数的比是2：3. 答案：34 ·4 第六章计数原理 题型四利用二项式定理解决整除问题或求余数问题 [例4](1)用二项式定理证明：111一1能被100 整除； (2)求912被100除所得的余数. [思路点拨](1)111°-1=(1十10)°-1，展开求 证即可； (2)912=（100-9),92=(10-1)2,展开求解即可. 解：(1)证明：，11°-1=(10+1)1°-1 =(10"+C。·10°+C。·103+…+C。·10+1)-1 =10°+C1。·10°+C,·108+…+102 =100(103+C10·102+C。·10+…+1), .11-1能被100整除. (2)912=(100-9)2=C92·1002-C02·1001·9 +C2·1000·92-…+C9792,展开式中前92项 均能被100整除，只需求最后一项除以100的 余数. .92=(10-1)2=C92·102-C02·101+…+ C·102-C82·10十1，前91项能被100整除，后 两项和为一919，因余数为正，可从前面的数中分离 出1000，结果为1000-919=81，故912被100除 所得余数为81. 规律方法 1.利用二项式定理解决整除问题的基本思路 利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙 地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式 子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按 二项式定理展开后的各项均能被另一个式子 整除.因此，一般先将被除式化为含有相关除 式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消 去法”，结合整除的有关知识来处理. 2.利用二项式定理求余数的注意点 求余数时，要注意余数的范围，即余数大于零且 小于除数.利用二项式定理展开变形后，若剩余 部分是负数，要注意进行转化。 ◇[变式训练] 4.(1)求证32m+2-8n-9(n∈N*)能被64整除； (2)求2"-3除以7的余数. (1)证明：32+2-8n-9=(8十1)+1-8n-9=C+ 8"+1+C+18”+…十C+1-8n-9 =C%+18+1+C+18”+…+Cg+82+C+1·8+1- 8n-9 =C8+18+1十C+18”+…十C%+82. 该式每一项都含因式8，故能被64整除. (2)解：230-3=(23)10-3=810-3 =(7+1)10-3 =Ci71"+C17°+…+C9.7+C8-3 =7X(C979+C1,73+…十C)-2. 又余数不能为负数（需转化为正数），.20一3除 以7的余数为5. 数学·选择性必修第三册 [当堂达标] 1.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是（) 121 1331 14a41 15101051 A.8 B.6 C.4 D.2 解析：B[由题图知，下一行的数是其肩上两数的 和，所以4十a=10,得a=6.] 2.在(a十b)1的二项展开式中与第3项二项式系数相 同的项是 ) A.第8项 B.第7项 C.第9项 D.第10项 解析：C[根据二项展开式的性质，与首末等距离 的两项的二项式系数相等，C正确.] 3.(1一2x)15的展开式中的各项系数和是 ( ) A.1 B.-1 C.215 D.315 解析：B[令x=1即得各项系数和，∴.各项系数和 为-1.] 4已知（冬+2）的展开式中前三项的二项式系数 的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的 系数为 解析：由C+C+C=37,得1+n+2n(n-1)= 37.解得n=8(负值舍去)，则第5项的二项式系数 最大， 课后。 1.二项式(x一1)”的奇数项二项式系数和是64，则n等于 A.5 B.6 C.7 D.8 解析：C[二项式(a十b)”的展开式中，奇数项的 二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， .2”-1=64,.n=7.故选C.] 2025 2.(丘-)的展开式中的常数项是 A.第673项 B.第674项 C.第675项 D.第676项 解析：D [由三项式(6-) 的展开式为 T1=G()(-2)=(-2yG x2学兰，令2025-3r=0,解得r=675,此时T676= （一2》C,所以二项式(G-兰)的展开 式的常数项为第676项.] 4 T,=C××(2)=器，孩项的系敛为 答案：智 5.求(1-3x)12的展开式中： (1)各项二项式系数之和： (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和. 解：(1)各项二项式系数和为C2十C2+C2十…十 C1=212=4096. (2)奇数项二项式系数和为C2十C2十C2十…+ C8=211=2048. (3)偶数项二项式系数和为C2十Ci2十C2十…十 C12=211=2048. (4)(1-3.x)2=C2-C2·3x+C2(3x)2-C2 (3x)3十…十C1(3x)12,令x=1,得各项系数和为 (1-3)12=4096. (5)令x=一1，得各项系数的绝对值和为(1十3)2 =412=16777216. (6)令奇数项系数和为A,偶数项系数和为B. 令x=1得A十B=212;令x=-1得A-B=412 号×(22+412)=8390656， .A= B=号×(22-4)=-8386560. 素养提升 对应学生课时P173 3) 10 的展开式中，系数最大的项是( A.第6项 B.第3项 C.第3项和第6项 D.第5项和第7项 解析：D[展开式第6项系数为一C。,第5项和第 7项系数分别为C10,C,且C1。=Ci] 4.若x0=a+a1(x-1)十a2(x-1)2+…十 ao(x-1)",则a8的值为 A.10B.45C.-9D.-45 解析：B[.x"=[1十(x-1)]1°=a十a1(x-1)十 a2(x-1)2+…十a1w(x-1)10, .a8=Ci=C=45.] (多选)已知口2+子}Y (a>0,n∈N)的展开式 的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的 各项系数之和为1024，则下列说法正确的是 A.展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B.展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 解析：BCD[由ax2+人） 的展开式的第5项与 第7项的二项式系数相等可知n=10. 又展开式的各项系数之和为1024，即当x=1时， (a+1)10=1024,所以a=1, 所以ar+后 1) =(x2+x)”,其展开式的各二 项式系数的和为21"=1024，则奇数项的二项式系 数的和为2×1024=512，故A错误；由n=10可 知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即 第6项的二项式系数最大，因为x2与x立的系数 均为1，所以展开式的各项的二项式系数与系数相 同，即第6项的各项的二项式系数相等且最大，故 B正确；若展开式中存在常数项，则展开式中存在x 的指数为0的项，由通项T,+1=C1x210”·x =C1”,可得当20-号r=0,即=8时，符合 要求，故C正确；由通项T,+1=C20可得，当 20-号=15时=2，所以展开式中金5项的系 数为C,=45,故D正确.故选BCD.] 6.(多选)若(1十2x)2024=an十a12十a2x2十…十a224 x224,则下列正确的是 A.a。=2024 B.an十a1十…十a224=3224 C.a-a1+a2-a3+…+a2024=1 D.a1-2a2+3a3-…-2024a224 =-2024 解析：BC[对于A:令x=0,则a,=1,故A错误； 对于B:令x=1,则a十a十…十a2e4=32g4,故B正确； 对于C:令x=一1，则a0一a1十a2一a3十…十a2024 =1,故C正确；对于D:由(1十2x)24=a。十a1x十 a2x2+…十a2ez22,两边同时求导得2024X2X (1+2x)223=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a224 x2023,令x=-1,则a1-2a2十3a3十…-2024a224 =一4048，故D错误.] 7.(1十√)”的展开式中的系数的和大于8而小于32，则 系数最大的项是一· 解析：(1十√)"=a。十a1√十a2(√)2十…十an· (√E)”,令x=1,得各项系数的和S=a。十a1十…十 an=2”,.8<2"<32.又n∈N,.n=4. 由二项式系数的性质得系数最大的项为 T3=C2(W元)2=6.x. 答案：6x 第六章计数原理 8.若(3x+1)"(n∈N)的展开式中各项系数之和是 256,则展开式中x2的系数是 解析：令x=1,得各项系数之和为4”， .4”=256,解得n=4,∴.x2的系数为C·32=54. 答案：54 9.若(.x-3)3(2x+1)5=a十a1x+a2x2+…十a8x8, 则a三 an十a2十…十a8= 解析：令x=0,得(-3)3×1=ao,所以a=一27. 令x=1,得(-2)3X35=a十a1十a2十…+ag, 令x=-1,得(-4)3(-1)°=ao-a1+a2-…+ a8,两式相加得2(a。十a2十…十ag)=-1880,所以 ao十a2+…十a8=-940. 答案：-27；-940 10.已知(a2十1)”展开式中的各项系数之和等于 得+ 的展开式的常数项，而(a2十1)”的 展开式的系数最大的项等于54，求a的值. 架：+)将 工=c(得 令T,+1为常数项，则20-5r=0,.r=4, 常数项T=C×9=16. 又(a2十1)”的展开式的各项系数之和等于2"”， 由题意得2”=16，.n=4. 由二项式系数的性质知，(a十1)”的展开式中系 数最大的项是中间项T?, .Ca4=54, ∴.a=土√3. 11.若(3.x-1)7=a2x2十ax+…十a1x十ap,求： (1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a2; (3)ao十a2十a4十a6. 解：(1)令x=0,则ao=-1; 令x=1,得a,十a6十…十a1十ao=22=128,① 所以a1十a2十…十a7=129. (2)令x=-1,得-a,十a6-a5十a4一a3十a2一a1 十a。=(-4)7,② 由①-②得2(a1+a3+a5+a,)=128-(-4)', ∴.a1+a3+a5十a,=8256. (3)由①+②得2(a十a2+a4+a)=128+(-4)', ∴.ao十a2十a4十a6=-8128. 数学·选择性必修第三册 [能力提升] 12.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何 排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详 解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉 三角”中，下列结论正确的是 杨辉三角 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 1 第3行 1331 第4行 146 41 第5行 15101051 第6行 1615201561 第7行 172135352171 第8行 18285670562881 第9行 193684126126843691 第10行 1104512021025221012045101 第11行1115516533046246233016555111 A.1+C+C+C;=Cs B.第16行所有数字之和为216 C.第2024行的第1012个数最大 D.第15行中从左到右第4个数与第5个数之比 为1：3 解析：ABD[对于A,1+C+C。+C=C4+C 十C十C=C,故A正确；对于B,由杨辉三角的 每行系数和性质可知，第0行所有数字之和为1= 2°，第1行所有数字之和为1十1=2，第2行所有 数字之和为1十2十1=22，第3行所有数字之和为 1十3十3十1=2，第4行所有数字之和为1+4+6 十4十1=2，以此类推，第16行所有数字之和为 26,故B正确；对于C,由杨辉三角图可知，第n行 有个”十1数字，如果n是奇数，则第”和第 ”空+1个数字最大，且这两个数字一样大：如果 n是偶数，则第艺十1个数字最大，故第2024行 的第2024+1=1013个数最大，故C错误；对于 2 D,由题意，第15行，第4个数为C= 15×14X13=455,第5个数为C15= 3×2×1 15×14×13×12=1365,即Cs:C=455：1365 4×3×2×1 =1:3,故D正确.门 13.已知f(x)=(x+3x2)”的展开式中各项的系 数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项： 解：令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)= (1十3)”=4”，又展开式中各项的二项式系数之和 为2”.由题意知，4”一2”=992. .(2")2-2”-992=0, .(2”+31)(2"-32)=0, .2”=-31(舍去)或2”=32，.n=5. ·48 (1)由于n=5为奇数，.展开式中二项式系数最 大的项为中间的两项，它们分别为T=C() ·(3x2)2=90x,T=C(x)2·(3x2) =270x号 (2)展开式的通项公式为T,+1=C·3 ·2(5+2 假设T,+1项系数最大， 则有C3≥C1·31, C3≥Ct+13+1, 3×5! 5！ (5-)川7产(6-r)1(-1D1' 5！ 51 (5-r！月产(4-r)1(r+1X3, 即 ,r∈N,r=4,.展开式中系数最大的项为T写 =Cx号(3x2)=405x9」 [素养培优] 4在3a≠7，且n∈N)的展环式中 (1)若所有二项式系数之和为256，求展开式中二 项式系数最大的项； (2)若第3项的系数的14倍是第2项与第4项的 系数的绝对值之和的9倍，求展开式中各项的系 数的绝对值之和. 解：(1)由已知得C+C十…十C”=256, ∴2"=256，n=8,.二项式系数最大的项为 Ts=C) 87 2)易得- 1 3 的展开式的通项为 ,第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系 数的绝对值之和的9倍. cX14=(C+C)×9,解得=10或n =7(舍去). 因为V 1 1 3√E 的展开式中各项的系数的绝对 值之和与 +1 10 的展开式中各项的系数之 和相等， 所以对于+)八◆=1，格1写） 3 的展开式中各项的系数 的德对值之和为（）