6.2.4 第2课时 组合数的性质及应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

世五维课堂 (2)解：由组合数定义知： 10≤5-n≤n (0≤9-n≤n+1, 所以4≤n≤5，又因为n∈N, 所以n=4或5. 当n=4时，C%-”+C%+1=C+C=5; 当n=5时，C-n+C9+7=Cg+C4=16, [例3]解：(1)这批产品一共有100+80+30=210（个），从 其中任取10个进行检验，共有C0种抽取结果. (2)这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有 C80种抽取结果. (3)抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10 个进行检验.而二等品和三等品共有80十30=110（个）， 所以抽不到一等品的抽取结果共有C种. (4)恰抽取5个一等品，剩下的5个产品从二等品和三等 品中抽取， 分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一等品. 根据分步乘法计数原理，一共有C0·C10种抽取结果. (5)恰抽到1个一等品，2个二等品，剩下的7个产品从三 等品中抽取 分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品，最后抽 取7个三等品. 根据分步乘法计数原理，一共有C·C·C30种抽取结果. (6)“抽取的10个产品中，至少有一个一等品”是“没有抽 到一等品”的反面，因此，用所有的抽取结果数减去没有 抽到一等品的结果数即可 所以至少抽到一个一等品的结果共有C0一C90种. 变式训练 3.解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C3=8X7X6=56. 3×2×1 (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个 白球中弄取出2个，取法特载是C--21, (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白 球中取出3个娘，取法种致是c号-写淡=35. ·1g 数学·选择性必修第三册 当堂达标 1.C「A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题.] 2.A[A=m(a-1D(m-2》,c2=n-1D, 所以n(m-1D(n-2)=12×2(n-1. 由n∈N*,且n≥3，解得n=8.] 3.A[某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这6门 课程中选择4门报名参加合格性考试，若语文、数学这2 门课程同时入选，则只需要从剩余4门课程中选择2门即 可，故不同选法共有C=6种.] 4.解析：从五个，点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个 点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C层= 10(条).再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列 次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列 数是A=20.所以有向线段共有20条. 答案：1020 5.解：由原方程及组合数性质可知， 3n+6=4n-2或3n+6=18-(4n-2), 所以n=8或n=2,而当n=8时， 3n十6=30>18，不符合组合数定义，故舍去， 因此n=2. 第2课时组合数的性质及应用 课前预习学案 知识梳理 知识点一 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n! m! m！(n-m)! 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/ 2.A[分3类完成：男生甲参加，女生乙不能参加，有C种 选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C种选法；两人都 不参加，有C种选法，所以共有2C十C=25(种)不同的 选派方案.] 3.解析：这是一个从5人中选3人的组合问题，有C=10(种). 答案：10 课堂互动学案 [例1]解：(1)从余下的34名学生中选取2名， 有C4=561(种)，.不同的选法有561种. (2)从34名可选学生中选取3名，有C1种， 或者C35-C号4=C34=5984(种). ,.不同的选法有5984种. 0 参考答案 (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有 C20C5=2100(种). '.不同的选法有2100种 (4)选取2名女生有C20C种，选取3名女生有C种，共 有C20C5+C5=2100+455=2555(种)..不同的选法 有2555种. (⑤)选取3名的总数有C3,至多有2名女生在内的选取方 式有C35-C35=6545-455=6090(种). .不同的选法有6090种。 变式训练 1.解：(1)选2名男生，有C2种选法；选3名女生，且某女生 必须在，有C?种选法 所以符合条件的不同选法有C·C=36(种). (2)方法一（直接法）：符合条件的选法有三类： 第1类，2名男生，3名女生的选法有C?·C种； 第2类，3名男生，2名女生的选法有C·C号种； 第3类，4名男生，1名女生的选法有C4·C种： 所以男生不少于2名的不同选法有C·C+C·C号十 C4·C=105(种). 方法二（排除法）：因为从9名学生中，选5名代表的选法 共有C种，其中包括1男4女和5女0男两种不符合条 件的情况， 所以男生不少于2名的不同选法有C一C·C一C 105(种). 故共有105种不同的选法. (3)先安排甲组有C种分法，再安排乙组有C种分法， 余下的学生为丙组有C种分法 所以符合条件的不同分法有C·C·C=1680(种). 故共有1680种不同分法. [例2]解：(1)根据分步乘法计数原理得到C喝CC=90(种). (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C%CC号种方法，这个 过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有工 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A? 种方法.根据分步乘法计数原理可得：CCC=xA,所 以x C号CC竖=15.因此分为三份，每份两本一共有 A 15种方法. ·1 五维课堂到 (3)这是“不均匀分组”问题，一共有CC号C 60(种)方法. (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CC号CA =360(种)方法. (5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”，即(1)中的分配情 况，有CCC2=90(种)方法；②“1、2、3型”即(4)中的分 配情况，有CCCA=360(种)方法；③“1,1,4型”，有 CA=90(种)方法. 所以一共有90十360十90=540（种）方法. 变式训练 2.C[平均分组问题，先分组有CCCC=10(种)，再排 A 序有10A4=240(种).] [例3]解：(1)法一：可作出三角形C十C%·C+C·C =116(个). 法二：可作出三角形C。-C=116(个)， 其中以C1为顶点的三角形有C好=36（个）. (2)可作出四边形C十C·C号十C号·C号=360（个）. 变式训练 3.解：法一：（直接法)，共线的4点记为A,B,C,D. (1)第一类：A,B,C,D确定1条直线； 第二类：A,B,C,D以外的5个点可确定C号条直线； 第三类：从A,B,C,D中任取1点，其余5点中任取1点 可确定CC条直线. 根据分类加法计数原理，共有不同直线1+C十CC= 1+10+20=31(条). (2)第一类：从A,B,C,D中取2个点，可得CC个三 角形； 第二类：从A,B,C,D中取1个点，可得CC号个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3，点，可得C个三角形. 共有CC+C1C名+C=80(个)三角形. (3)分三类：从其余5个，点中任取4个，3个，2个点共得 Cg十CC十C号C=105(个)四边形. 法二：（间接法）： (1)可确定直线C号-C?十1=31（条）. (2)可确定三角形C一C=80(个). (3)可确定四边形C-C1-CC}=105(个). 世五维课堂 [例4]解：(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1 女4男，有CC号+CC种取法，后排有A种，故共有 (CC号+CgC3)·A=5400(种). (2)除去该女生后，先取后排，有C·A4=840(种). (3)先取后排，但先安排该男生，有C·C·A1=3360 （种). (4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C种， 再安排该男生有C种，其余3个全排有A种，共C· Cg·A=360(种). 变式训练 4.B[分两种情况根据分组与分配问题的求解方法求解 即可.若没有人参加“打授作壁”，则有C3CC.A=1 A 680种不同的方法，若有一人参加“打埂作畦”，则有 c(.A+SC.A)8o种不月的方责， A 所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加 方法数为1680+8400=10080.] 当堂达标 1.C[间接法：C-C=52(种).] 2.D[由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分 一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C种.] 3.解析：一、二、三等奖，三个人获得，有A=24(种).一、二、 三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C号A =36(种)，共有24十36=60（种）不同的获奖情况， 答案：60 4.解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线 的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故 组成三角形的个数为C号-3=32. 答案：32 5.解析：(1)根据题意，在6个学校中选出4个，再在每个学 校的2人中再选出1人即可，有CCC2C2C2=240种安 排方法； (2)根据题意，在12人中选出4人，有C12种排法，其中只 有男生的选法有C种，只有女生的选法有C种，则4人 中有男有女有C12-2C=495种-30种=465种， (3)①根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在 空位中，则有AA=144种安排方法； ·1 数学·选择性必修第三册 ②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同 侧情况即可，有A一2AA4=432种排法. 答案：(1)240(2)465(3)①144；②432 6.3二项式定理 6.3.1二项式定理 课前预习学案 知识梳理 知识点一 r+1 [思考] 1.提示：Ca"-b是(a十b)m的第r+1项. 2.提示：不能，(a十b)”的展开式中的第r十1项为C%a”-r b',(b十a)”的展开式中的第r十1项为Cbn-'a',两者是 有区别的，所以在应用二项式定理时，Q和b不能随便交 换位置。 3.提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念. 二项式系数是指C%,C,…,C%,而项的系数是指该项中 除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且 也与a,b的值有关. 预习自测 1.提示：(1)×二项展开式中项的系数与二项式系数不一 定相等，只有当a,b的系数都为1时两者相等. (2)/(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5. (3)X(a+b)”的展开式中通项Cman-'b'的次数不一 定为0. 的展开式共有n十1项，所以n十1=11， 故n=10.] 3.C[二项式(1-2x)9=C8+Cg(-2x)十…+C(-2x) 十…十C8(一2x)9,其展开式中x6的系数为C8(一2)6 =C826.] 4解析：(2x+)°的展开式的通项为 T+1=c2x3)-(）厂'-2-rCs…x8- 令18-4r=6,解得r=3, 所以x6的系数是23C=160. 答案：160 2世五维课堂 数学·选择性必修第三册 第2课时组合数的性质及应用 课程标准 素养解读 1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题 通过组合解决实际问题，提升逻辑推 2.能解决无限制条件的组合问题 理和数学运算的素养 课前。预习学案 [情境引入] 2.有限制条件的组合应用题的解法 新高考改革后，在取消文理分科后， 常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为 全国大多数地区实行“3十1十2”模式，即语、 特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置 数、外三科为国家统考，所有考生必选，然后从 选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取 物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、 的元素个数的多少分类 政治和地理中任选2科参加高考.选科前大家 [预习自测] 普遍认为，传统的“大文大理”（即“数理化”“政 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 史地”组合)还依然是主流，那么选考的组合方 式一共有多少种可能的情况？ (1)Cn十C=Cm+1(m≥2且m∈N*).( 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理 (2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1 的情况又分别有多少种？ 名女生的选法共有C2C6种。 [知识梳理] (3)把4本书分成3堆，每堆至少一本，共有C [知识点一]组合数公式 种不同分法。 Cm= 2.某中学要从4名男生和3名女生中选4人 参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时 (n,m∈N*,m≤n).特别 参加，则不同的选派方案共有 () 地，C8=C%=1. A.25种B.35种C.820种D.840种 [知识点二]组合应用题的解法 3.从5名学生中选3人参加会议，共有选法 1.无限制条件的组合应用题的解法步骤为： 一、判断；二、转化；三、求值；四、作答 种. 课堂。互动学案 题型一 有限制条件的组合问题 (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有 [例1]高二(1)班共有35名同学，其中男生 多少种？ 20名，女生15名，现从中选出3名同学参 (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多 加活动， 少种？ (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有 (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多 多少种？ 少种？ ·22· 第六章计数原理 五维课堂型 (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多 ⊙[变式训练] 少种？ 1.有4名男生，5名女生 汇思路点拔了“可从整体上分析，进行合理 (1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名， 分类，弄清关键词“恰有”“至少”等字眼， 且某女生必须在内，有多少种选法？ 使用两个计数原理解决， (2)从中选5名代表，要求男生不少于2名， 有多少种选法？ (3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种 分法？ 规律方法 求解有限制条件的组合问题的方法 1.“含”或“不含”某些对象的组合问题： “含”，则先将这些对象取出，再取其他对 象；“不含”，则先将这些对象剔除，再从 剩下的对象中去选取. 2.“至少”或“至多”含有几个对象的组合问 题：解这类题必须十分重视“至少”与 “至多”这两个关键词的含义，防止重复 与漏解.用直接法和间接法都可以求解 此类问题，当用直接法处理较复杂时，可 考虑用间接法处理。 ·23· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 题型二】 分组，分配问题 规律方法 [例2]6本不同的书，按下列要求各有多少种 分组、分配问题的求解策略 不同的选法： 1.分组问题属于“组合”问题，常见的分组问 (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； 题有三种 (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份 (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等； 三本； (2)部分均匀分组，应注意不要重复，若有 (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两 组均匀，最后必须除以n!; 本，一人三本； (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复 (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本 现象 配思路点拨](1)是平均分组问题，与顺序 2.分配问题属于“排列”问题. 无关，相当于6本不同的书平均分给甲、 乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分 取；(2)是“均匀分组问题”；(3)是分组问 组后再分配. 题，分三步进行；(4)分组后再分配；(5)明 ⊙[变式训练] 确“至少一本”包括“2、2、2型”“1、2、3型” 2.将5名哈尔滨亚冬会志愿者分配到花样滑 “1、1、4型” 冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培 训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项 目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案 共有 A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 题型 写几何有关的组合应用题 [例3]如图，在以AB为直径的半圆周上，有 异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB 上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4 C.C c C A DD.D.D.B ·24· 第六章计数原理 五维课堂兰 (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多 规律方法 少个三角形？其中含C,点的有多少个？ 1.图形多少的问题通常是组合问题，要注意 (2)以图中的12个点（包括A,B)中的4个 共点、共线、共面、异面等情形，防止多算， 点为顶点，可作出多少个四边形？ 常用直接法，也可采用间接法， 2.在处理几何问题中的组合问题时，应将几 思路点拨了根据几何图形寻找规律，防 何问题抽象成组合问题来解决。 止重复和遗漏。 ◇[变式训练] 3.平面上有9个点，其中有4个点共线，除此 外无3点共线， (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三 角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四 边形？ ·25· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 题型四 排列、组合综合问题 规律方法 [例4幻有5个男生和3个女生，从中选出5人 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 担任5门不同学科的课代表，求分别符合下 1.按事情发生的过程进行分步； 列条件的选法数： 2.按元素的性质进行分类，解决时通常从三 (1)有女生但人数必须少于男生； 个途径考虑； (2)某女生一定担任语文课代表； (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的 (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课 代表； 要求，再考虑其他元素； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生 (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的 必须担任课代表，但不担任数学课代表， 要求，再考虑其他位置； 汇思路点拨了“先选后排”，注意“选”和“不 (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合 选”应优先考虑 数，再减去不合要求的排列或组合数 ◇[变式训练] 4.为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能， 认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级 在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定 植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项 目.某宿舍8名同学积极参加，若每名同学 必须参加且只能参加1个项目，且每个项目 至多三人参加，则这8个人中至多有1人参 加“打埂作哇”的不同参加方法数为() A.2730B.10080C.20160D.40320 [当堂达标] 1.某研究性学习小组有4名男生和4名女生， 次问卷调查活动需要挑选3名同学参加， 其中至少一名女生，则不同的选法种数为 A.120 B.84 C.52 D.48 2.5个代表分4张同样的参观券，每人最多分 一张，且全部分完，那么分法一共有() A.A种 B.45种 C.54种 D.Cg种 ·26· 第六章计数原理 五维课堂兰 3.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余 (1)4人均来自不同学校有多少种安排； 5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每 (2)4人中有男有女同学的有多少种安排； 人2张，则不同的获奖情况有 种. (3)若4人已经选出，请分别解答下列两个 (用数字作答) 问题 4.正六边形的顶点和中心共7个点，可组成 ①4名同学不相邻； 个三角形 ②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧， 5.2024年4月21号，激情澎湃的2024淮安西 游乐园准安马拉松暨大运河马拉松系列赛 (淮安站)盛大开跑，淮安市协作体6所联盟 学校每校安排一男一女两位同学共12人参 加此次盛事，主办方安排这12位同学中的 四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问 题：（用数字表示） ©温攀提 学习至此，请完成配套训练 6.3二项式定理 6.3.1二项式定理 课程标准 素养解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的 式定理 素养 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题， 简单问题 提升数学运算的素养 课前。预习学案 [情境引入] 走进了大学餐厅.有一次，他在向一位姑娘求 牛顿的故事 婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷 牛顿善于观察日常生活 量的二项式定理.他抓住姑娘的手指，错误地 中的小事，结果取得了科学 把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得 史上一个个重要的发现.作 姑娘大叫，离他而去.牛顿也因此终生未娶，那 为大学教授，牛顿常常忙得 么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅 不修边幅，往往不打领带，不 力在哪里？ 系好鞋带和马裤的纽扣，就 ·27·